2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学（六）试题（解析版）

1、1 / 19 100 所名校高考模拟金典卷所名校高考模拟金典卷数学（六）数学（六） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.已知集合2|20ax xx=， |13bxx=，则()rab =（ ） a. | 13xx b. | 11xx c. |12xx d. |23xx 【答案】a 【解析】 【分析】 由集合a求出ar，进而求出()rab即可. 【详解】2|20 | 12rx xxxax= ，() | 13rbxax= 故选：a 【

2、点睛】本题主要考查集合的运算，考查学生的运算求解能力 2.已知复数z满足(1)4zi+=，则1z =（ ） a. 2 b. 5 c. 3 d. 10 【答案】b 【解析】 【分析】 先求出z，再计算1z . 【详解】由(1)4(1)(1)4(1)ziziii+=+=得22zi=， 则()22|1| |1 2 |125zi=+ = 故选：b 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模的计算，考查学生的基本运算能力. 3.已知函数3( )log (1)f xx=的定义域为a，则函数21( )()2xg xxa=的值域为（ ） a. (,0 b. (,1 c. (1,)+ d. 1,)+ 【答案】d

3、 2 / 19 【解析】 【分析】 先求出集合a，再判断出函数( )g x的单调性，从而求出函数( )g x的值域. 【详解】由310log (1)0 xx 得2x ，所以)2,a=+ 又因为函数( )g x在r上单调递增，所以当xa时，( )1g x 故选：d 【点睛】本题主要考查了对数函数，指数函数的性质，考查了函数单调性的判断，考查了学生的运算求解能力. 4.若x、y 满足约束条件4201xyxyy+，目标函数2zxy=+取得的最大值为（ ） a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 【答案】c 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线2zxy=+，找出使得直线2zxy=+

4、在x轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得出结果. 【详解】作出不等式组4201xyxyy+所表示的可行域如下图所示： 3 / 19 联立140yxy=+=，得31xy=，得点()3,1a， 平移直线2zxy=+，当该直线经过可行域的顶点a时，直线2zxy=+在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即max2 3 17z= + =. 故选：c. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 5.已知abc的面积为 4，且2sinsinsinabc=，则ab的长为（ ） a. 4 b. 2 2 c.

5、 2 d. 2 【答案】a 【解析】 【分析】 由正弦定理得2sinbcbab=，又1sin42bc abb=，故可求得ab. 【详解】2sinsinsinabc=，由正弦定理得2sinbcbab=， 又1sin42bc abb=， 216ab =，得4ab = 故选:a 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生运算求解能力. 6.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是说：“有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到

6、达水面问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为（ ） a. 12尺 b. 10尺 c. 9尺 d. 14尺 【答案】a 【解析】 【分析】 设水深为x尺，根据题意列出有关x的方程，进而可求得x的值，即可得出结论. 【详解】设水深为x尺，依题意得()22215xx+=，解得12x = 4 / 19 因此，水深为12尺. 故选：a. 【点睛】本题考查中国数学史，考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为（ ） a. 2 2 b. 3 c. 2 3 d. 4 【答案】c 【解析】 【分析】 作出三棱锥的直观图，结合三视图中的数据计算出三棱

7、锥各条棱的棱长，进而可得出结果. 【 详 解 】 该 三 棱 锥 直 观 图 如 图 所 示 ， 其 中2bd =，2215accbcd=+ =，22222 2ab =+=，222 3adabbd=+=， 因此，该三棱锥的最长棱的棱长为2 3ad =. 故选：c. 【点睛】本题考查三视图，考查考生的空间想象能力，属于中等题. 8.已知抛物线2:4c yx=的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是线段pf与抛物线c的一个交点，5 / 19 若3pffq=，则点q到y轴的距离为（ ） a. 2 b. 43 c. 32 d. 13 【答案】d 【解析】 【分析】 设点()1,pt，点(),q m n

8、，由3pffq=得3pfqf=，利用向量的坐标运算可求出点q的横坐标，由此可计算出点q到y轴的距离. 【详解】设点()1,pt，点(),q m n，易知点()1,0f， 由3pffq=得3pfqf=，则()()2,3 1,tmn=，则()3 12m=，解得13m =， 因此，点q到y轴的距离为13. 故选：d. 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的计算，涉及共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于中等题. 9.把 3 男 2女共 5 名新生分配给甲、乙、丙三个班，每个班分配的新生不少于 1 名但不多于 2 名，则甲班恰好被分配 1名男生和 1名女生的概率为（ ） a. 13 b. 25 c. 14

9、 d. 310 【答案】b 【解析】 【分析】 由题知，把 5 名新生按每个班分配的新生不少于 1 名但不多于 2 名，分配给甲、乙、丙三个班，共有12354322c c aa种分配方案，其中甲班恰好被分配 1 名男生和 1 名女生的分配方案有11123232c c c a种，运用古典概率公式即可求出概率. 【详解】把 5 名新生按每个班分配的新生不少于 1 名但不多于 2 名，分配给甲、乙、丙三个班，共有12354322c c aa种分配方案，其中甲班恰好被分配 1 名男生和 1 名女生的分配方案有11123232c c c a种，则所求概率为111232321235432225c c c

10、ac c aa= 6 / 19 故选：b 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，分组分配问题的求解，古典概率的计算. 10.将函数sin 26yx=+的图象向右平移()0m m 个单位长度，得到函数( )yf x=的图象，( )yf x=在区间5,12 12上单调递增，则m的最小值为（ ） a. 12 b. 6 c. 4 d. 3 【答案】c 【解析】 【分析】 求得函数( )yf x=的解析式为( )sin 226f xxm=+，由5,12 12x 计算出26xm+的取值范围，根据题意得出关于m的不等式，由此可得出结果. 【详解】将函数sin 26yx=+的图象向右平移()0m m 个单位长度

11、，得到函数( )yf x=的图象，则( )sin 226f xxm=+， 当5,12 12x 时，22226mxmm+， 由于函数( )yf x=在区间5,12 12上单调递增，则()2 ,22,222mmkkkz+， 222222mkmk+，解得()4mkkz=， 0m ，则当0k =时，m取得最小值4. 故选：c. 【点睛】本题考查利用三角函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 7 / 19 11.已知圆柱的表面积为定值3，当圆柱的容积v最大时，圆柱的高h的值为（ ） a. 1 b. 2 c. 3 d. 2 【答案】b 【解析】

12、 【分析】 设圆柱的底面半径为r，则s圆 柱底22 r=，s圆 柱侧2 rh=，则可得2322rhr=，则圆柱的体积为32322rrvr h=，利用导数求出v最大值，确定h值. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则s圆柱底22 r=，s圆柱侧2 rh=， 2223rrh+=，22323222rrhrr=，则圆柱的体积32322rrvr h=， 236( )2rv r=，由( )0v r得202r，由( )0v r得22r ， 当22r时，( )v r取极大值，也是最大值，即2h = 故选：b 【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识. 12.已知双

13、曲线22221(0,0)xyabab=的左、右焦点分别为1f，2f，过1f作圆222xya+=的切线，交双曲线右支于点m，若1245fmf=，则双曲线的离心率为（ ） a. 3 b. 2 c. 2 d. 5 【答案】a 【解析】 【分析】 设切点为 n，连接 on，作2f作2f nmn，垂足为 a，由ona=，得到12f ab=， 在直角三角形2mf a中，可得22 2mfa=，得到122mfba=+，再由双曲线的定义，解得2ba=，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为 n，连接 on，作2f作2f nmn，垂足为 a， 8 / 19 由ona=，且on为12ff a的中位线

14、，可得22212 ,f aa fncab=， 即有12f ab=， 在直角三角形2mf a中，可得22 2mfa=，即有122mfba=+， 由双曲线的定义可得12222 22mfmfbaaa=+=，可得2ba=， 所以223caba=+=，所以3=cea，故选 a. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出, a c ，代入公式cea=；只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式，转化为, a c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围) 二、填空题：本题共二、填空题：

15、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13.在6232xxx+的展开式中，常数项为_（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】 由题知6232xxx+的展开式的通项为8 4162rrrrtcx+=，令840r=得2r，即可得常数项. 【详解】由题知6232xxx+展开式的通项为268 4166322rrrrrrrtxcxcxx+=， 令840r=得2r，则常数项为226260c = 故答案为：60 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 14.若3sin63=，则sin26+=_ 9 /

16、 19 【答案】13 【解析】 【分析】 利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】2231sin2cos2cos212sin126263633+=+= = = 故答案：13. 【点睛】本题考查三角恒等变换求值，涉及诱导公式和二倍角余弦公式的应用，考查考生的逻辑推理能力与计算能力，属于中等题. 15.在abc中，60bac=，5ab =，4ac =，d是ab上一点，且5ab cd=，则|bd =_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由题可设adab=，则2()5ab cdabadacabab ac=，由条件算出，则可得|bd. 【详解】设adab=，cdadac=， 2()5ab c

17、dabadacabab ac=，得2515=，35=， 2| 25bdab= 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算和数量积，考查学生的运算求解能力 16.如图，在直三棱柱111abcabc中，2abac=，120bac=，d是ab上一点，且2addb=，e是1aa的中点，f是1cc上一点当1cf =时，/bf平面cde，则三棱柱111abcabc外接球的表面积为_ 10 / 19 【答案】32 【解析】 【分析】 连接af交ec于m，连接dm，则bfdm，可得2ae =，设外接球球心o在平面abc的射影为点1o，则点1o为abc的外接圆的圆心，计算可得abc的外接圆的半径为2r，

18、故可求外接球的半径r，从而算出球的表面积. 【详解】 如图，连接af交ec于m，连接dm，bf平面cde，bfdm， 2addb=，2ammf=，则22aecf=， 设外接球的球心o在平面abc的射影为点1o，则点1o为abc的外接圆的圆心， 外接球的球心o到平面abc的距离12oo =， 2abac=，120bac=， 由正弦定理得，abc外接圆的半径1222sin30r =， 则所求外接球的半径2 2r =，其表面积为2432r= 11 / 19 故答案为：32 【点睛】本题主要考查线面平行的性质，直三棱柱的外接球的表面积计算，考查考生的空间想象和推理论证能力 三、解答题：共三、解答题：共

19、 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.在数列 na、 nb中，设ns是数列 na的前n项和，已知11 a =，12nnnssa+=+，1235bb+(21)21nnnnba+=+，*nn （1）求na和ns； （2）若当nk时，8nnbs恒成立，求整数k的最小值 【答案】（1）21nan=；2nsn=；（2）11 【解析】 【分析】 （1

20、）由12nnnssa+=+得12nnaa+=，可判断数列 na是等差数列，由公式求出na和ns； （2）由（1）得123357(21)2(21)1nnbbbnbn+=+，则当2n 时，11231357(21)2(23)1nnbbbnbn+=+，可得12nnb=，则有422nn，故可得整数k最小值. 【详解】（1）因为12nnnssa+=+，所以12nnaa+=+，即12nnaa+=，所以 na是等差数列， 又11a =，所以21nan=，从而2(121)2nnnsn+= （2）因为21nan=，所以123357(21)2(21)1nnbbbnbn+=+ 当2n 时，11231357(21)2(

21、23)1nnbbbnbn+=+ 由-可得1(21)2(21)nnnbn+=+，(2)n ，即12nnb=， 而11b =也满足，故()12nnbnn= 令8nnbs，则1228nn，即422nn， 因为10 42210，11 42211，依据指数增长性质，得整数k的最小值是 11 12 / 19 【点睛】本题主要考查等差数列，前n项和ns与na的关系，考查了学生的运算求解能力 18.某汽车品牌为了解客户对其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2

22、 满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等 （1）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （2）从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望 【答案】（1）111320；（2）分布列详见解析，期望为 0.7 【解析】 【分析】 （1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，即可求出概率； （2）由题知012， ，=，计算出取值相应的概率，列出分布列，计算出期望即可. 【详解】（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是25

23、01002007003501600+=， 满意的客户人数是2500.51000.32000.67000.33500.2555+=， 故所求概率为5551111600320= （2）012， ，= 设事件a为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人对型号汽车满意”， 事件b为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人对型号汽车满意”，且a、b为独立事件 根据题意，( )p a估计为 0.5，( )p b估计为 0.2 则(0)()(1( )(1( )0.50.80.4pp abp ap b=； (1)()()()( )(1( )(1( ) ( )pp ababp abp abp ap bp a p b=+=+

24、=+ 0.5 0.80.5 0.20.5=+=； 13 / 19 (2)()( ) ( )0.50.20.1pp abp a p b= 的分布列为 0 1 2 p 0.4 0.5 0.1 的期望( )00.41 0.520.10.7e=+ += 【点睛】本题主要考查了概率与统计的相关知识，考查了离散型随机变量的分布列和期望的计算，考查了学生的数据处理和运算求解能力 19.如图，在四棱锥pabcd中，pa 底面abcd，底面abcd是直角梯形，90=adcbcd，abac，2abac=，点e在ad上，且2aeed= （1）点f在bc上，2=cffb，求证：ef 平面pac； （2）若直线pc与平

25、面pab所成的角为45，求二面角apbe的余弦值 【答案】（1）详见解析；（2）2 23 【解析】 【分析】 （1）先证明四边形abfe为平行四边形，得/ /abef，则acef，又可得paef，即可证明ef 平面pac； （2）根据线面角定义找出pc与平面pab所成角，得pa的长度，然后建立空间直角坐标系，分别求出平面pab与平面pbe的法向量，再利用向量法求出二面角apbe的余弦值. 【详解】（1）abac，abac=，45acb=， 底面abcd是直角梯形，90adc=，adbc， 45acd=，即adcd=，则22=bcacad， 14 / 19 2aeed=，2=cffb，23=ae

26、bfad， 四边形abfe是平行四边形，则abef，acef， pa 底面abcd，paef， paaca=，ef 平面pac （2）paac，acab，ac 平面pab，则apc为直线pc与平面pab所成的角， 则tan1=acapcpa，即2=paac， 取bc的中点为g，连接ag，则agbc，以a点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz， 则(1, 1,0)b，(1,1,0)c，20,03e，(0,0,2)p， 51,03=eb，20, 23=ep， 设平面pbe的法向量( , , )nx y z=，则00n ebn ep =， 即5032203xyyz=+=，令3y =，则5x

27、 =，2z =，(5,3,2)n =， (1,1,0)ac =是平面pab的一个法向量，532 2cos,326n ac+ =， 即平面pab与平面pbe所成锐二面角的余弦值为2 23 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明和用向量法求二面角的大小，考查学生的直观想象，运算求解和推理论证能力. 15 / 19 20.设a、b是椭圆22:142xyc+=的左、右顶点，p为椭圆上异于a、b的一点 （1）d是椭圆c的上顶点，且直线pa与直线bd垂直，求点p到x轴的距离； （2）过点()1,0e的直线l（不过坐标原点）与椭圆c交于m、n两点，且点m在x轴上方，点n在x轴下方，若2neem=，求直线l的斜

28、率 【答案】（1）4 25；（2）306. 【解析】 【分析】 （1）设点()00,p xy，根据pabd，可求得直线pa的方程，并将直线pa与椭圆c的方程联立，可求出点p的坐标，进而可求得点p到x轴的距离； （2）设点()11,m x y、()22,n xy，设直线l的方程为1xmy=+，可知10y ，20y ，将直线l的方程与椭圆c的方程联立，列出韦达定理，由2neem=得212yy= ，结合韦达定理可求得实数m的值，进而可求得直线l的斜率. 【详解】（1）设点()00,p xy，又()2,0a 、()2,0b、()0, 2d 直线pa与直线bd垂直，直线bd的斜率为022202bdk=

29、， 直线pa的斜率为2，则直线pa的方程为()22yx=+， 联立椭圆方程22142xy+=，消去y得2516120 xx+=， 解得065x = ，则04 25y =，因此，点p到x轴的距离为4 25； （2）设()11,m x y、()22,n xy，则10y ，20y ，设直线l的方程为1xmy=+， 代入椭圆c的方程消去x，得()222230mymy+=， 得12222myym+= +，12232y ym= +， 由2neem=，知2120yy+=，即212yy= ， 16 / 19 代入上式得1222mym=+，212322ym=+， 所以22223222mmm=+，解得305m =

30、 ， 12202mym=+，则0m ，所以，305m =，故直线l的斜率为1306m= 【点睛】本题考查利用直线与椭圆的位置关系求点的坐标，同时也考查了利用直线与椭圆的位置关系求直线的斜率，考查运算求解能力，属于中等题. 21.已知函数21( )ln2xf xxaxxe=+，其中e为自然对数的底数. （）当0a 时，求证：1x 时，( )0f x ； （）当1ae 时，计论函数( )f x的极值点个数. 【答案】()详见解析（）详见解析 【解析】 【分析】 （）求出( )fx，令( )( )g xfx=，求出( )gx，从而判断( )g x的单调性，由10ge=即可判断( )fx的正负情况，从

31、而求得( )f x在10,e递减，1,e+递增；当1x 时，( )( )1f xf成立，命题得证 （）对a的范围分类讨论，由( )( )g xfx=的单调性求得( )ming x，把a看作变量，求得( )ming x的单调性，从而得到( )10h ahe=（当且仅当1ae= 时取等号），再对a的范围分类讨论( )g x的单调性，从而判断( )f x的单调性，从而求得极值点个数 【详解】()由( )()1ln1fxxaxe+=+，易知10fe=，设( )( )g xfx=，则( )xagxx+=，当0a 时，( )0gx，又110fgee= 10 xe时，( )0g x ，1xe时，( )0g

32、x ，即( )f x在10,e递减，1,e+递增；所以当17 / 19 1x 时，( )( )11102f xfe=得证. （）由（）可得，当0a 时，( )f x当且仅当在1xe=处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为 1； 当10ae时，易知( )g x在()0, a递减，(), a+递增，所以( )()()min1lng xgaaae= +，又设( )()1lnh aaae= +，其中10ae，则( )()1 ln0h aa= +对10ae恒成立，所以( )h a单调递减，( )10h ahe=（当且仅当1ae= 时取等号），所以当1ae= 时，( )0g x 即( )f x在()0

33、,+单调递增，故此时极值点个数为 0； 当10ae时，10ae ，( )g x在(), a+递增，又10ge=，所以当1axe 时( )0g x ， 当1xe时( )0g x ，即( )f x总在1xe=处取得极小值；又当0 x 且0 x 时，( )+g x ，所以存在唯一()00,xa使得()00g x=，且当00 xx时( )0g x ，当0 xxa 时( )0g x ，则( )f x在0 xx=处取得极大值；故此时极值点个数为 2； 综上，当1ae= 时，( )f x的极值点个数为 0；当10ae时，( )f x的极值点个数为 2；当0a 时( )f x的极值点个数为 1. 【点睛】本题