2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅲ) (2)

1、1 / 13 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷,理) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2019 全国,理 1)已知集合 a=-1,0,1,2,b=x|x21,则 ab=( ) a.-1,0,1 b.0,1 c.-1,1 d.0,1,2 解析 a=-1,0,1,2,b=x|-1x1,则 ab=-1,0,1.故选 a. 答案 a 2.(2019 全国,理 2)若 z(1+i)=2i,则 z=( ) a.-1-i b.-1+i c.1-i d.1+i 解析 z=2i1+i=2i

2、(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选 d. 答案 d 3.(2019 全国,理 3)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位,阅读过红楼梦的学生共有 80 位.阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) a.0.5 b.0.6 c.0.7 d.0.8 解析由题意得,阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的

3、估计值为70100=0.7.故选 c. 答案 c 4.(2019 全国,理 4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为( ) a.12 b.16 c.20 d.24 解析(1+2x2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为c43+2c41=4+8=12.故选 a. 答案 a 5.(2019 全国,理 5)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15,且 a5=3a3+4a1,则 a3=( ) a.16 b.8 c.4 d.2 解析设等比数列an的公比为 q(q0), 2 / 13 则1(1-4)1-= 15,14= 312+ 41,解得1= 1, = 2, 所以 a3=a1q

4、2=122=4.故选 c. 答案 c 6.(2019 全国,理 6)已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则( ) a.a=e,b=-1 b.a=e,b=1 c.a=e-1,b=1 d.a=e-1,b=-1 解析y=aex+ln x+1, k=y|x=1=ae+1=2, ae=1,a=e-1. 将点(1,1)代入 y=2x+b,得 2+b=1, b=-1. 答案 d 7.(2019 全国,理 7)函数 y=232+2-在-6,6的图像大致为( ) 解析设 y=f(x)=232+2-, 则 f(-x)=2(-)32-+2=-232+2-=-f(x), 故

5、 f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项 c. f(4)=24324+2-40,排除选项 d. f(6)=26326+2-67,排除选项 a. 故选 b. 答案 b 3 / 13 8.(2019 全国,理 8)如图,点 n 为正方形 abcd的中心,ecd为正三角形,平面 ecd平面 abcd,m是线段 ed的中点,则( ) a.bm=en,且直线 bm,en是相交直线 b.bmen,且直线 bm,en是相交直线 c.bm=en,且直线 bm,en是异面直线 d.bmen,且直线 bm,en是异面直线 解析如图,连接 bd,be. 在bde中,n为 bd 的中点,m为 de 的中点, b

6、m,en 是相交直线, 排除选项 c、d. 作 eocd于点 o,连接 on. 作 mfod 于点 f,连接 bf. 平面 cde平面 abcd,平面 cde平面 abcd=cd,eocd,eo平面 cde, eo平面 abcd. 同理,mf平面 abcd. mfb 与eon 均为直角三角形. 设正方形 abcd的边长为 2,易知 eo=3,on=1,mf=32,bf=22+94=52, 则 en=3 + 1=2,bm=34+254= 7, bmen.故选 b. 答案 b 9.(2019 全国,理 9)执行下边的程序框图,如果输入的 为 0.01,则输出 s 的值等于( ) 4 / 13 a.

7、2-124 b.2-125 c.2-126 d.2-127 解析 x=1,s=0,s=0+1,x=120.01,s=0+1+12,x=140.01,s=0+1+12+126,x=127f(2-32)f(2-23) 5 / 13 b.f(log314)f(2-23)f(2-32) c.f(2-32)f(2-23)f(log314) d.f(2-23)f(2-32)f(log314) 解析f(x)是 r 上的偶函数, f(log314)=f(-log34)=f(log34). 又 y=2x在 r 上单调递增, log341=202-23 2-32. 又 f(x)在区间(0,+)内单调递减, f(l

8、og34)f(2-23)f(2-23)f(log314).故选 c. 答案 c 12.(2019 全国,理 12)设函数 f(x)=sin( +5)(0),已知 f(x)在0,2有且仅有 5个零点,下述四个结论: f(x)在(0,2)有且仅有 3个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有 2个极小值点 f(x)在(0,10)单调递增 的取值范围是125,2910) 其中所有正确结论的编号是( ) a. b. c. d. 解析f(x)=sin( +5)(0)在区间0,2上有且仅有 5 个零点, 52+56, 解得1252910,故正确. 画出 f(x)的图像(图略),由图易知正确,不正确. 当 0

9、 x10时,5x+510+5, 又1252910,10+529100+20100=491002, 6 / 13 正确. 综上可知正确.故选 d. 答案 d 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13.(2019 全国,理 13)已知 a,b 为单位向量,且 a b=0,若 c=2a-5b,则 cos=. 解析a,b 为单位向量, |a|=|b|=1. 又 a b=0,c=2a-5b, |c|2=4|a|2+5|b|2-45a b=9,|c|=3. 又 a c=2|a|2-5a b=2, cos=|=213=23. 答案23 14.(2019 全国,理 14)记 sn为等差数列

10、an的前 n项和.若 a10,a2=3a1,则105= . 解析设等差数列an的公差为 d. a10,a2=3a1, a1+d=3a1,即 d=2a1. 105=101+109251+542=1001251=4. 答案 4 15.(2019 全国,理 15)设 f1,f2为椭圆 c:236+220=1 的两个焦点,m为 c 上一点且在第一象限.若mf1f2为等腰三角形,则 m的坐标为 . 解析a2=36,b2=20, c2=a2-b2=16, c=4. 由题意得,|mf1|=|f1f2|=2c=8. |mf1|+|mf2|=2a=12, |mf2|=4. 设点 m 的坐标为(x0,y0)(x0

11、0,y00), 则12=12|f1f2|y0=4y0. 又12=12482-22=415, 4y0=415, 解得 y0=15. 7 / 13 又点 m 在椭圆 c上,0236+(15)220=1, 解得 x0=3 或 x0=-3(舍去). 点 m 的坐标为(3,15). 答案(3,15) 16.(2019 全国,理 16)学生到工厂劳动实践,利用 3d打印技术制作模型.如图,该模型为长方体abcd-a1b1c1d1挖去四棱锥 o-efgh后所得的几何体,其中 o 为长方体的中心,e,f,g,h分别为所在棱的中点,ab=bc=6 cm,aa1=4 cm.3d 打印所用原料密度为 0.9 g/c

12、m3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g. 解析由题意得,四棱锥 o-efgh 的底面积为 46-41223=12(cm2),点 o到平面 bb1c1c的距离为 3 cm,则此四棱锥的体积为 v1=13123=12(cm3). 又长方体 abcd-a1b1c1d1的体积为 v2=466=144(cm3), 则该模型的体积为 v=v2-v1=144-12=132(cm3).故其质量为 0.9132=118.8(g). 答案 118.8 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根

13、据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12分) (2019全国,理 17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将 200 只小鼠随机分成 a,b两组,每组 100 只,其中 a组小鼠给服甲离子溶液,b组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图: 甲离子残留百分比直方图 8 / 13 乙离子残留百分比直方图 记 c 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”,根据直方图得到 p(c)的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a

14、,b 的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15, 故 a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00. 18.(12分) (2019全国,理 18)abc的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.已知 asin+2=bsin a.

15、 (1)求 b; (2)若abc为锐角三角形,且 c=1,求abc面积的取值范围. 解(1)由题设及正弦定理得 sin asin+2=sin bsin a. 因为 sin a0,所以 sin+2=sin b. 由 a+b+c=180,可得 sin+2=cos2, 故 cos2=2sin2cos2. 因为 cos20,故 sin2=12,因此 b=60. (2)由题设及(1)知abc的面积 sabc=34a. 由正弦定理得 a=sinsin=sin(120-)sin=32tan+12. 由于abc 为锐角三角形,故 0a90,0c90. 由(1)知 a+c=120,所以 30c90, 故12a2

16、,从而38sabc32. 9 / 13 因此,abc 面积的取值范围是(38,32). 19.(12分) (2019全国,理 19)图 1是由矩形 adeb,rtabc和菱形 bfgc组成的一个平面图形,其中ab=1,be=bf=2,fbc=60.将其沿 ab,bc折起使得 be与 bf重合,连结 dg,如图 2. (1)证明:图 2 中的 a,c,g,d四点共面,且平面 abc平面 bcge; (2)求图 2 中的二面角 b-cg-a 的大小. (1)证明由已知得 adbe,cgbe,所以 adcg, 故 ad,cg 确定一个平面,从而 a,c,g,d四点共面. 由已知得 abbe,abbc

17、,故 ab平面 bcge. 又因为 ab平面 abc, 所以平面 abc平面 bcge. (2)解作 ehbc,垂足为 h. 因为 eh平面 bcge,平面 bcge平面 abc,所以 eh平面 abc. 由已知,菱形 bcge 的边长为 2,ebc=60,可求得 bh=1,eh=3. 以 h 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 h-xyz, 则 a(-1,1,0),c(1,0,0),g(2,0,3), =(1,0,3), =(2,-1,0). 设平面 acgd 的法向量为 n=(x,y,z), 则 = 0, = 0,即 + 3 = 0,2- = 0. 所以可

18、取 n=(3,6,-3). 又平面 bcge 的法向量可取为 m=(0,1,0), 所以 cos=|=32. 因此二面角 b-cg-a的大小为 30. 20.(12分) (2019全国,理 20)已知函数 f(x)=2x3-ax2+b. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)是否存在 a,b,使得 f(x)在区间0,1的最小值为-1且最大值为 1?若存在,求出 a,b 的所有值;若不存在,说明理由. 10 / 13 解(1)f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 令 f(x)=0,得 x=0或 x=3. 若 a0,则当 x(-,0)(3, + )时,f(x)0; 当 x(0,3)时,f(

19、x)0. 故 f(x)在(-,0),(3, + )单调递增,在(0,3)单调递减; 若 a=0,f(x)在(-,+)单调递增; 若 a0; 当 x(3,0)时,f(x)0. 故 f(x)在(-,3),(0,+)单调递增,在(3,0)单调递减. (2)满足题设条件的 a,b 存在. ()当 a0时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增,所以 f(x)在区间0,1的最小值为 f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时 a,b满足题设条件当且仅当 b=-1,2-a+b=1,即 a=0,b=-1. ()当 a3时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以 f(x)在区间0,1的最大值为 f(0

20、)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时 a,b满足题设条件当且仅当 2-a+b=-1,b=1,即 a=4,b=1. ()当 0a3 时,由(1)知,f(x)在0,1的最小值为 f(3)=-327+b,最大值为 b 或 2-a+b. 若-327+b=-1,b=1,则 a=323,与 0a3 矛盾. 若-a327+b=-1,2-a+b=1,则 a=33或 a=-33或 a=0,与 0a3矛盾. 综上,当且仅当 a=0,b=-1或 a=4,b=1时,f(x)在0,1的最小值为-1,最大值为 1. 21.(12分) (2019全国,理 21)已知曲线 c:y=22,d为直线 y=-12上的动点,过

21、 d作 c 的两条切线,切点分别为 a,b. (1)证明:直线 ab过定点; (2)若以 e(0,52)为圆心的圆与直线 ab相切,且切点为线段 ab 的中点,求四边形 adbe 的面积. (1)证明设 d(,-12),a(x1,y1),则12=2y1. 由于 y=x,所以切线 da 的斜率为 x1,故1+121-=x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 11 / 13 设 b(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线 ab的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线 ab 过定点(0,12). (2)解由(1)得直线 ab的方程为 y=tx+12. 由 = +12, =2

22、2可得 x2-2tx-1=0. 于是 x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |ab|=1 + 2|x1-x2|=1 + 2(1+ 2)2-412=2(t2+1). 设 d1,d2分别为点 d,e到直线 ab的距离, 则 d1=2+ 1,d2=22+1. 因此,四边形 adbe 的面积 s=12|ab|(d1+d2)=(t2+3)2+ 1. 设 m为线段 ab的中点,则 m(,2+12). 由于 ,而 =(t,t2-2), 与向量(1,t)平行, 所以 t+(t2-2)t=0. 解得 t=0或 t=1. 当 t=0 时,s=3;当 t=1时,s=42.

23、 因此,四边形 adbe 的面积为 3或 42. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(10分) (2019全国,理 22)选修 44:坐标系与参数方程 如图,在极坐标系 ox中,a(2,0),b(2,4),c(2,34),d(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,2),(1,),曲线 m1是弧,曲线 m2是弧,曲线 m3是弧. (1)分别写出 m1,m2,m3的极坐标方程; (2)曲线 m 由 m1,m2,m3构成,若点 p 在 m 上,且|op|=3,求 p 的极坐标. 解(1)由题设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为 =2cos ,=