2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷2) (2)

1、1 / 10 绝密 启用前 试卷类型:a 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷 2,文) 本试题共 23题,共 150分,共 4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用 2b铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持

2、卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i(2+3i)= a.3-2i b.3+2i c.-3-2i d.-3+2i 2.已知集合 a=1,3,5,7,b=2,3,4,5,则 ab= a.3 b.5 c.3,5 d.1,2,3,4,5,7 3.函数 f(x)=e-e-2的图像大致为 4.已知向量 a,b 满足|a|=1,a b=-1,则 a (2a-b)= a.4 b.3 c.2 d.0 5.从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区

3、服务,则选中的 2人都是女同学的概率为 a.0.6 b.0.5 c.0.4 d.0.3 6.双曲线2222=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为 2 / 10 a.y= 2x b.y= 3x c.y=22x d.y=32x 7.在abc 中,cos 2=55,bc=1,ac=5,则 ab= a.42 b.30 c.29 d.25 8. 为计算 s=1-12+1314+1991100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 a.i=i+1 b.i=i+2 c.i=i+3 d.i=i+4 9.在正方体 abcd-a1b1c1d1中,e 为棱 cc1的中点,则异面直线 ae 与 cd所成

4、角的正切值为 a.22 b.32 c.52 d.72 10.若 f(x)=cos x-sin x 在0,a是减函数,则 a的最大值是 a.4 b.2 c.34 d. 11.已知 f1,f2是椭圆 c 的两个焦点,p是 c 上的一点,若 pf1pf2,且pf2f1=60 ,则 c的离心率为 a.1-32 b.2-3 c.3-12 d.3-1 12.已知 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= a.-50 b.0 c.2 d.50 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲

5、线 y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 3 / 10 14.若 x,y满足约束条件 + 2-5 0,-2 + 3 0,-5 0.则 z=x+y 的最大值为 . 15.已知 tan(-54) =15,则 tan = . 16.已知圆锥的顶点为 s,母线 sa,sb 互相垂直,sa与圆锥底面所成角为 30 .若sab 的面积为 8.则该圆锥的体积为 . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(12分) 记 sn为等差数列an

6、的前 n 项和,已知 a1=-7,s3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求 sn,并求 sn的最小值. 18.(12分) 下图是某地区 2000 年至 2016年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模型.根据2000年至 2016 年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,17)建立模型;=-30.4+13.5t;根据 2010 年至 2016年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,7)建立模型:y=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018年的环境基础设施投资额

7、的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 19.(12分) 4 / 10 如图,在三棱锥 p-abc 中,ab=bc=22,pa=pb=pc=ac=4,o 为 ac 的中点. (1)证明:po平面 abc; (2)若点 m 在棱 bc上,且 mc=2mb,求点 c 到平面 pom 的距离. 20.(12分) 设抛物线 c:y2=4x的焦点为 f,过 f 且斜率为 k(k0)的直线 l与 c交于 a,b两点,|ab|=8. (1)求 l的方程. (2)求过点 a,b且与 c的准线相切的圆的方程. 21.(12分) 已知函数 f(x)=13x3-a(x2+x+1). (1

8、)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c的参数方程为 = 2cos, = 4sin( 为参数),直线 l的参数方程为 = 1 + cos, = 2 + sin(t为参数). 5 / 10 (1)求 c 和 l的直角坐标方程; (2)若曲线 c 截直线 l所得线段的中点坐标为(0,2),求 l 的斜率. 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 设函数 f(x)=5-|x+

9、a|-|x-2|. (1)当 a=1时,求不等式 f(x)0的解集; (2)若 f(x)1,求 a的取值范围. 数学(全国卷 2,文) 1.d i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 2.c 集合 a、b 的公共元素为 3,5,故 ab=3,5. 3.b f(-x)=e-e2=-f(x),f(x)为奇函数,排除 a,令 x=10,则 f(10)=e10-1e101001,排除 c、d,故选 b. 4.b a (2a-b)=2a2-a b=2-(-1)=3. 5.d 设 2 名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男

10、1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共 10 种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故 p=310=0.3. 6.a e= 3,22=2+22= ()2+1=3.= 2. 双曲线交点在 x轴上,渐近线方程为 y=x,渐近线方程为 y=2x. 7.a cos c=2cos22-1=-35,ab2=bc2+ac2-2bc accos c=1+25+21535=32. ab=42. 6 / 10 8.b 由于 n=0,t=0,i=1,n=0+11=1,t=0+11+1=12,i=3,n=1+1

11、3,t=12+14,i=5最后输出 s=n-t=1-12+1314+1991100,一次处理1与1+1两项,故 i=i+2. 9.c 取 dd1的中点 f,连接 ac,ef,af,则 efcd,故aef为异面直线 ae与 cd所成的角.设正方体边长为 2a,则易知 ae=2+ 2=3a,af=2+ 2= 5a,ef=2a. cosaef=(3)2+(2)2-(5)2232=23. sinaef=53. tanaef=52. 10.c f(x)=cos x-sin x =2(22cos-22sin) = 2cos( +4), (方法 1)作图如图所示. 易知 amax=34. (方法 2)f(x

12、)在 2kx+42k+,kz 上为减函数, 2k-4x2k+34,kz,令 k=0可知 x-4,34,amax=34. 11.d 不妨设椭圆方程为22+22=1(ab0),f1,f2分别为椭圆的左、右焦点,则|pf1|+|pf2|=2a. f2pf1=90 ,pf2f1=60 , 3c+c=2a,即(3+1)c=2a. e=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)= 3-1. 7 / 10 12.c f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期为 4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(

13、0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2. 13.y=2x-2 y=(2ln x)=2,当 x=1 时,y=2.切线方程为 y=2(x-1),即 y=2x-2. 14.9 由题意,作出可行域如图.要使 z=x+y 取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9. 15.32 tan(-54) =tan-tan541+tantan54=tan-11+tan=15, 5tan -5=1+tan .tan =32. 16.8 sasb, ssa

14、b=12 sa sb=8. sa=4.过点 s连接底面圆心 o,则sao=30 . so=2,oa=23. v=13r2h=13(23)22=8. 17.解 (1)设an的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15. 由 a1=-7得 d=2. 所以an的通项公式为 an=2n-9. (2)由(1)得 sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当 n=4 时,sn取得最小值,最小值为-16. 18.解 (1)利用模型,该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.519=226.1(亿元). 利用模型,该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 8 / 10 =

15、99+17.59=256.5(亿元). (2)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t上下,这说明利用 2000 年至 2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述 2010 年以后的

16、环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于 2016年的环境基础设施投资额 220亿元,由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠. (以上给出了 2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 19.解 (1)因为 ap=cp=ac=4,o为 ac的中点,所以 opac,且 op=23. 连接 ob,因为 ab=bc=22ac,所以abc为等腰直角三角形,且 obac,ob=12ac=2. 由 op2+ob2=pb2知,opob. 由 opob,opac知 po平

17、面 abc. (2)作 chom,垂足为 h.又由(1)可得 opch,所以 ch平面 pom.故 ch的长为点 c 到平面pom 的距离. 由题设可知 oc=12ac=2,cm=23bc=423,acb=45 . 所以 om=253,ch=sin=455. 所以点 c 到平面 pom的距离为455. 20.解 (1)由题意得 f(1,0),l的方程为 y=k(x-1)(k0). 设 a(x1,y1),b(x2,y2). 由 = (-1),2= 4得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 9 / 10 =16k2+160,故 x1+x2=22+42. 所以|ab|=|af|+|bf|=(x1

18、+1)+(x2+1)=42+42; 由题设知42+42=8,解得 k=-1(舍去),k=1. 因此 l的方程为 y=x-1. (2)由(1)得 ab 的中点坐标为(3,2),所以 ab 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 0= -0+ 5,(0+ 1)2=(0-0+1)22+ 16.解得0= 3,0= 2或0= 11,0= -6. 因此所求圆的方程为 (x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 21.解 (1)当 a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3. 令 f(x)=0,解得 x=3-23或 x=3+23. 当 x(-,3-23)(3+23,+)时,f(x)0; 当 x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以 f(x)=0 等价于32+1-3a=0. 设 g(x)=32+1