2019-2020学年河南省中原名校上学期期末联考高三数学理科试题 (2)

1、1 / 18 20192020 学年学年中原名校上中原名校上学学期期未联考期期未联考 高三数学（理）试题高三数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1.已知集合2|230ax xx=，|21xby y=+，则ab =（ ） a. b.(1,3 c.(0,3 d.(1,)+ 2.已知20191zi= +，则2zi=（ ） a.10 b.2 2 c.2 d.2 3.若1tan3=，则cos2=（ ） a.45 b.15 c.15 d.45 4.若直线1yx=+和曲线ln2yax=+相切，则实数a的值为（ ） a.1

2、2 b.1 c.2 d.32 5.已知各项均为正数的等比数列 na中，ns是它的前n项和，若174a a =，且47522aa+=，则5s =（ ） a.29 b.30 c.31 d.32 6.函数|2 |( )lncosxf xx=的部分图像大致为（ ） a. b. 2 / 18 c. d. 7.如图所示，半径为 1的圆o是正方形mnpq的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形mnpq内，用a表示事件“豆子落在圆o内”，b表示事件“豆子落在扇形oef（阴影部分）内”，则(|)p b a =（ ） a.4 b.14 c.16 d.18 8.我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的

3、原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） a.12 b.8 c.122 d.122 3 / 18 9.设实数x，y满足不等式组00152xyyxyx，(2,1)是目标函数zaxy= +取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（ ） a.(0,1) b.(0,1 c.(, 2) d.(, 2 10.已知数列 na的前n项和为ns，且11a =，2(1)nnsann=+()*nn，则数列13nsn+的

4、前 10项的和是（ ） a.922 b.611 c.12 d.511 11.函数2log,0( )2 ,0 xx xf xx=，则函数2( )3( )8 ( )4g xfxf x=+的零点个数是（ ） a.5 b.4 c.3 d.6 12.已知圆1c：22(3)(2 2)1xy+=和焦点为f的抛物线2c：28yx=，n是1c上一点，m是2c上一点，当点m在1m时，|mfmn+取得最小值，当点m在2m时，|mfmn取得最大值，则12m m=（ ） a.2 2 b.3 2 c.4 2 d.17 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）

5、 13.“关注夕阳、爱老敬老”某马拉松协会从 2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x年（2013年是第一年）与捐赠的现金y（万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程0.35ymx=+，则预测 2019 年捐赠的现金大约是_万元. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 4 / 18 14.某年级有 1000名学生，一次数学测试成绩的分布为()2105,10xn，(95105)0.34px=，则该年级学生数学成绩在 115 分以上的人数大约为_. 15.已知412(1)xaxx+的展开式中含3x的项的系数为 5，则a =_. 16.三棱锥pabc中，

6、点p到a，b，c三点的距离均为 8，papb，papc，过点p作po 平面abc，垂足为o，连接ao，此时6cos3pao=，则三棱锥pabc外接球的体积为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且3,sin3maa=.，(cos, )nc c=，bm n=. （1）求角a的大小； （2）若3a =，求abc的周长l的取值范围. 18.如图四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，pbbc，pdcd，且paab=，e

7、为pd中点. （1）求证：pa 平面abcd； （2）求二面角abec的正弦值. 19.如图在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心在坐标原点o，其右焦点为(1,0)f，且点31,2在椭圆c上. 5 / 18 （1）求椭圆c的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为a、b，m是椭圆上异于a，b的任意一点，直线mf交椭圆c于另一点n，直线mb交直线4x =于q点，求证：a，n，q三点在同一条直线上. 20.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各 50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这 100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患

8、病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照)0,0.2，)0.2,0.4，)0.4,0.6，)0.6,0.8，0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.81.0 x时，认定该户为“低收入户”；当00.2x时，认定该户为“亟待帮助户”.已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的 24%. （1）完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关： 甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 6 / 18 （2）某干部决定在这两村贫困指标处于)0,0

9、,4的贫困户中，随机选取 3户进行帮扶，用x表示所选 3 户中“亟待帮助户”的户数，求x的分布列和数学期望ex. 附：22()()()()()n adbckab cd ac bd=+，其中nabcd=+. ()20p kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 21.已知函数2( )ln2f xxxaxx=+，ar. （1）若( )f x在(0,)+内单调递减，求实数a的取值范围； （2）若函数( )f x有两个极值点分别为1x，2x，证明：1212xxa+. 【选考题】【选考题】 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果

10、多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为1cos1sinxtyt= += +（t为参数，0），以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为(1 cos2 )8cos=. （1）判断直线l与曲线c的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线l与曲线c交于不同的两点a，b，点(1, 1)p，若114|3papb=，求tan的值. 23.已知函数( ) |1|f xxax=+. （1）当2a =时，求不等式( )8f xx+的解集； 7 / 18 （2）若关于x的不等式( ) |5|f xx的解集包含

11、0,2，求实数a的取值范围. 中原名校中原名校 20192020学年上期期末联考学年上期期末联考 高三数学（理）参考答案高三数学（理）参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 b a d b c b b a c d a d 1.【解析】由已知解得1,3a= ，(1,)b =+，所以(1,3ab =. 2.【解析】由201911zii= += ，所以22|2 | |1 3 |1310zii=+=. 3.【解析】222222cossincos2cossinc

12、ossin=+，分子分母同时除以2cos，即得： 22111tan49cos211tan519=+. 4.【解析】设切点为()00, ln2x ax +，因为ayx =，故切线的斜率01akx=，所以0 xa=， 所以ln21aaa+=+，因为0a ，故1a =. 5.【解析】因为174a a =，所以244a =，0na ，42a =.因为47522aa+=， 所以714a =.所以318q =，所以12q =，116a =，所以55116 1231112s=. 6.【解析】因为|2()|()lncos()( )xfxxf x=，所以( )f x为偶函数，排除 a，d； 当2x =时，4(2

13、)lncos20f=，排除 c. 8 / 18 7.【解析】如图所示，半径为 1 的圆o是正方形mnpq的内切圆， 将一颗豆子随机地扔到正方形mnpq内，用a表示事件“豆子落在圆o内”，b表示事件“豆 子落在扇形oef（阴影部分）内”，则221( )24p a=，22114()216p ab=， ()116(|)( )44p abp b ap a=. 8.【解析】根据该几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为 2的正方体，右边 是一个长为 1，宽和高为 2 的长方体截去一个底面半径为 1，高为 2的半圆柱，所以几何体 的体积为212 2 22 2 112122v= + =.故选 a.

14、9.【解析】如图，作出不等式组对应的平面区域，为阴影部分oabc.则 (1,0)a，(2,1)b，(0,5)c，由zyax=得yaxz=+，平移直线yaxz=+，则直线的截距 最大时，z也最大.当0a =时，yz=在c处的截距最大，此时不满足条件；当0a 时， 直线yaxz=+，在c处的截距最大，此时不满足条件；当0a 时，直线yaxz=+，要 使(2,1)是目标函数zyax=取最大值的唯一最优解，则yaxz=+在b处的截距最大，此 时目标函数的斜率a须小于直线bc的斜率2，即2a . 9 / 18 10.【解析】由2(1)nnsann=+()*nn得2 (1)nnsnan n=.则当2n 时

15、， 11(1)4(1)nnnnnassnanan=，整理得14nnaa=， 所以 na是公差为 4 的等差数列，又11a =，所以43nan=*()nn， 从而()1233222 (1)2nnn aasnnnnn n+=+=+=+， 所以111 1132 (1)21nsnn nnn=+， 故数列13nsn+的前 10 项的和10115121111s=. 11.【解析】函数2( )3( )8 ( )43 ( )2( )2g xfxf xf xf x=+=的零点，即方程 2( )3f x =和( )2f x =的根，函数2log,0,( )2 ,0 xx xf xx=的图象如图所示： 由图可得方程

16、2( )3f x =和( )2f x =共有 5个根，即函数2( )3( )8 ( )4g xfxf x=+有 5 个零点. 12.【解析】由已知得：()13,2 2c，(2,0)f，记2c的准线为l，如图，过点m作l的垂线， 垂足为d，过点1c作l的垂线，垂中为1d，则 10 / 18 111| | |11mfmnmdmnmdmcc d+=+ ，当且仅当m，1c，d三点共 线，且点n在线段1mc上时等号成立，此时|mfmn+取得最小值，则点1m的坐标为 ()1,2 2，()111| |1|1 | 1mfmnmfmcmfmcfc=+ +，当且仅当点 m为线段1fc的延长线与抛物线的交点，且点n

17、在线段1mc上时等号成立，此时 |mfmn取得最大值，又直线1fc的方程为2 2(2)yx=，由22 2(2)8yxyx=，解 得12 2xy= ，或44 2xy=，所以2m的坐标为()4,4 2， 所以2212(4 1)(4 22 2)17m m=+=. 二、填空题二、填空题 13.5.25 14.160 15.2 16.256 3 13.【解析】由已知得样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入0.35ymx=+， 得3.54.50.35m=+，即0.7m =，所以0.70.35yx=+，取7x =，得 0.7 70.355.25y = +=，预测 2019年捐赠的现金大约是 5.25

18、 万元. 14.【解析】考试的成绩x服从正态分布()2105,10n，考试的成绩x关于105x =对 11 / 18 称，(95105)0.34px=，1(115)(1 0.68)0.162p x =，该班数学成绩在 115分以上 的人数为0.16 1000160=. 15.【解析】由题意知原式展开为44412(1)(1)(1)xxxaxx+，所以 412(1)xaxx+的展开式中含3x的项为224334412()()()x cxxacxx+， 即3(134 )a x，由已知条件知1345a=，解得2a =. 16.【解析】因为papb，papc，pbpcp=，故pa 平面pbc， 因为8pa

19、pbpc=，故8 2abac=，6cos3papaoad=， 33 84 666paad=，则224 2bdabad=.pa 平面pbc， bc 平面pbc，bcpa.po 平面abc，bc 平面abc，bcpo. papop=，bc 平面pao，pd 平面pao，pdbc，8pbpc=， d为bc的中点，28 2bcbd=，222pbpcbc+=. 故pcpb，构造正方体模型可知，四面体pabc的外接球半径 2224 32papbpcr+=，所以三棱锥pabc外接球的体积为 ()344 3256 33v=. 12 / 18 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70

20、分）分） 17.【解析】 （1）由题意3,sin3maa=，(cos, )nc c=，bm n=. 所以3cossin3bacca=+，由正弦定理，可得3sinsincossinsin3bacca=+， 因为()bac=+，所以sinsin()sincoscossinbacacac=+=+， 又由(0, )c，则sin0c ，整理得tan3a=， 又因为(0, )a，所以3a=， （2）由（1）和余弦定理2222cosabcbca=+， 则2222232cos3bcbcbcbc=+=+， 即229bcbc+=，整理得2()39bcbc+=， 又由22bcbc+（当且仅当3bc=时等号成立） 从

21、而22219()3()24bcbcbc+=+，可得6bc+， 又3bca+=，36bc+，从而周长(6,9l. 18.【解析】 （1）证明：底面abcd为正方形，bcab， 又bcpb，abpbb=，bc 平面pab，bcpa. 同理cdpa，bccdc=，pa 平面abcd. 13 / 18 （2）如图，分别以ab，ad，ap所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系axyz， 不妨设正方形的边长为 2. 则(0,0,0)a，(2,2,0)c，(0,1,1)e，(2,0,0)b，则(0,1,1)ae =，(2,0,0)ab =， 设( , , )mx y z=为平面abe的一个法向量，

22、则020n aeyzn abx=+=，令1y = ，1z =，得(0, 1,1)m =. 同理，可得平面bce的一个法向量(1,0,2)n =， 故210cos,525mmmnnn=. 所以二面角abec的正弦值为155. 19.【解析】 （1）法一：设椭圆c的方程为22221xyab+=（0ab）， 一个焦点坐标为(1,0)f，另一个焦点坐标为( 1,0)， 由椭圆定义可知2222332(1 1)0(1 1)0422a=+=， 14 / 18 2a =，2223bac=，椭圆c的方程为22143xy+=. 法二：不妨设椭圆c的方程为221xymn+=（0mn）， 一个焦点坐标为(1,0)f，

23、1mn=， 又点31,2p在椭圆c上，1914mn+=， 联立方程，解得4m =，3n =，椭圆c的方程为22143xy+=. （2）设()11,m x y，()22,n xy，直线mn的方程为1xmy=+， 由方程组221,1,43xmyxy=+=消去x，并整理得：()2234690mymy+=， ()22(6 )36 340mm =+，122634myym+= +，122934y ym= +， 直线bm的方程可表示为11(2)2yyxx=， 将此方程与直线4x =联立，可求得点q的坐标为1124,2yx， ()222,anxy=+，1126,2yaqx= ()()()21121221162

24、2226222yxyxyyxxx+= ()()()2112161221212ymyymymy+=+ 15 / 18 ()12121461my yyymy+=2219646343401mmmmmy+=， 所以/anaq，又向量an和aq有公共点a， 故a，n，q三点在同一条直线上. 20.【解析】 （1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有50 0.2412=（户）， 甲、乙两村的绝对贫困户有(0.250.500.75) 0.2 10030+=（户），可得出如下列联表： 甲村 乙村 总计 绝对贫困户 12 18 30 相对贫困户 38 32 70 总计 50 50 100 22100 (12 32

25、 18 38)122.70630 70 50 507k=. 故没有 90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关. （2）贫困指标在)0,0.4的贫困户共有(0.250.5) 0.2 10015+=（户）， “亟待帮助户”共有0.25 0.2 1005=（户），依题意x的可能值为 0，1，2，3， 31031524(0)91cp xc=，2110531545(1)91c cp xc=， 1210531520(2)91c cp xc=，353152(3)91cp xc=， 则x的分布列为： 16 / 18 x 0 1 2 3 p 2491 4591 2091 291 故2445202012319191

26、9191ex = + + + =. 21.【解析】（1）因为2( )ln2f xxxaxx=+，0 x ，所以( )ln24fxxax=+. ( )f x在(0,)+内单调递减，( )ln240fxxax=+在(0,)+内恒成立， 即ln24xaxx+在(0,)x+上恒成立， 令ln2( )xg xxx=+，则21 ln( )xg xx =， 当10 xe时，( )0g x，即( )g x在10,e内为增函数； 当1xe时，( )0g x，即( )g x在1,e+内为减函数. 所以( )g x的最大值为1gee=，所以4ae，所以4ea ，则,4ea+. （2）因为函数( )f x有两个极值点分别为1x，2x， 则( )ln240fxxax=+=在(0,)+内有两根1x，2x， 则1122ln240ln240 xaxxax+=+=，两式相减，得()1212lnln4xxa xx=+. 不妨设120 xx， 当0a 时，1212xxa+恒成立； 当0a 时，要证明1212xxa+，只需证明()()12