2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷) (2)

1、1 / 9 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山山东卷东卷) 文科数学文科数学 第卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2017 山东,文 1)设集合 m=x|x-1|1,n=x|x2,则 mn=( ) a.(-1,1) b.(-1,2) c.(0,2) d.(1,2) 解析由|x-1|1,得-1x-11,即 0 x2.所以 m=x|0 x2,所以 mn=(0,2). 答案 c 2.(2017 山东,文 2)已知 i是虚数单位,若复数 z满足 zi=1+i

2、,则 z2=( ) a.-2i b.2i c.-2 d.2 解析(方法一)z=1+ii=1+1i=1-i, z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (方法二)由 zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以 z2=-2i. 答案 a 3.(2017 山东,文 3)已知 x,y满足约束条件-2 + 5 0, + 3 0, 2,则 z=x+2y的最大值是( ) a.-3 b.-1 c.1 d.3 解析可行域为如图所示阴影部分(包括边界). 把 z=x+2y变形为 y=-12x+12z,作直线 l0:y=-12x 并向上平移,当直线过点 a 时,z 取最大值,易求点 a的坐标

3、为(-1,2),所以 zmax=-1+2 2=3. 答案 d 4.(2017 山东,文 4)已知 cos x=34,则 cos 2x=( ) 2 / 9 a.-14 b.14 c.-18 d.18 解析 cos 2x=2cos2x-1=2 (34)2-1=18. 答案 d 5.(2017 山东,文 5)已知命题 p:xr,x2-x+10;命题 q:若 a2b2,则 ab.下列命题为真命题的是 a.pq b.pq c.pq d.pq 解析当 x=0时,x2-x+1=10,故命题 p 为真命题. 取 a=1,b=-2,则 a2b,故命题 q 为假命题,所以 pq 为真命题. 答案 b 6.(201

4、7 山东,文 6) 执行右侧的程序框图,当输入的 x 的值为 4 时,输出的 y 的值为 2,则空白判断框中的条件可能为( ) a.x3 b.x4 c.x4 d.x5 解析因为输入的 x的值为 4,输出的 y的值为 2,所以程序运行 y=log24=2. 故 x=4不满足判断框中的条件,所以空白判断框中应填 x4. 答案 b 7.(2017 山东,文 7)函数 y=3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) a.2 b.23 c. d.2 解析因为 y=3sin 2x+cos 2x=2(32sin2 +12cos2)=2sin(2 +6),所以其最小正周期 t=22=. 答案 c 8.

5、(2017 山东,文 8) 3 / 9 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x和 y的值分别为( ) a.3,5 b.5,5 c.3,7 d.5,7 解析甲组数据为 56,62,65,70+x,74;乙组数据为 59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以 y=5. 又两组数据的平均值相等,所以 56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得 x=3. 答案 a 9.(2017 山东,文 9)设 f(x)=,0 1,2(-1), 1.若 f(a)=f(a

6、+1),则 f(1)=( ) a.2 b.4 c.6 d.8 解析 f(x)的图象如图所示. 又 f(a)=f(a+1),所以 0a1,=2(a+1-1),所以 a=14. 所以 f(1)=f(4)=2 (4-1)=6. 答案 c 10.(2017 山东,文 10)若函数 exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 m性质.下列函数中具有 m性质的是( ) a.f(x)=2-x b.f(x)=x2 c.f(x)=3-x d.f(x)=cos x 解析 a项,令 g(x)=ex 2-x, 则 g(x)=(e2),因为e21, 所以

7、g(x)在 r 上单调递增,具有 m 性质; b项,令 g(x)=ex x2,则 g(x)=ex(x2+2x)=x(x+2) ex,令 g(x)=0,得 x1=0,x2=-2,g(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,不具有 m性质; c项,令 g(x)=ex 3-x, 则 g(x)=(e3),因为 0e30,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . 解析直线+=1过点(1,2),1+2=1. a0,b0,2a+b=(2a+b)(1+2)=4+(+4)4+24=8. 当且仅当 b=2a时“=”成立. 答案 8 13.(2017 山东,文 13)由一个长方

8、体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为 . 解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积 v=2 1 1+214 12 1=2+2. 答案 2+2 14.(2017 山东,文 14)已知 f(x)是定义在 r 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)= . 解析由 f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,其周期 t=6. 又 f(x)为偶函数,所以 f(919)=f(153 6+1)=f(1)=f(-1)=61=6. 答案 6 15.(2017 山东,文 15)在平面直角坐标系 xoy 中,双曲线2

9、222=1(a0,b0)的右支与焦点为 f的抛物线 x2=2py(p0)交于 a,b两点,若|af|+|bf|=4|of|,则该双曲线的渐近线方程为 . 解析抛物线 x2=2py 的焦点 f(0,2),准线方程为 y=-2. 5 / 9 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则|af|+|bf|=y1+2+y2+2=y1+y2+p=4|of|=42=2p. 所以 y1+y2=p. 联立双曲线与抛物线方程得22-22= 1,2= 2, 消去 x,得 a2y2-2pb2y+a2b2=0. 所以 y1+y2=222=p,所以22=12. 所以该双曲线的渐近线方程为 y=22x. 答案 y=22x

10、三、解答题:本大题共 6 小题,共 75分. 16.(2017 山东,文 16)(本小题满分 12 分)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 a1,a2,a3和 3 个欧洲国家b1,b2,b3中选择 2 个国家去旅游. (1)若从这 6个国家中任选 2 个,求这 2个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个,求这 2 个国家包括 a1但不包括 b1的概率. 解(1)由题意知,从 6 个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有: a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a3,b1,a3,b2

11、,a3,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3,共 15 个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有: a1,a2,a1,a3,a2,a3,共 3 个,则所求事件的概率为 p=315=15. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有: a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a3,b1,a3,b2,a3,b3,共 9个. 包括 a1但不包括 b1的事件所包含的基本事件有: a1,b2,a1,b3,共 2个,则所求事件的概率为 p=29. 17.(2017 山东,文 17)(本小题满分 12 分)在abc中,角 a,b

12、,c的对边分别为 a,b,c.已知 b=3, =-6,sabc=3,求 a 和 a. 解因为 =-6,所以 bccos a=-6,又 sabc=3,所以 bcsin a=6,因此 tan a=-1,又 0a0,解得:a1=2,q=2,所以 an=2n. (2)由题意知:s2n+1=(2+1)(1+2+1)2 =(2n+1)bn+1, 又 s2n+1=bnbn+1,bn+10,所以 bn=2n+1. 令 cn=,则 cn=2+12, 因此 tn=c1+c2+cn =32+522+723+2-12-1+2+12. 又12tn=322+523+724+2-12+2+12+1, 两式相减得12tn=3

13、2+ (12+122+ +12-1) 2+12+1,所以 tn=5-2+52. 7 / 9 20.(2017 山东,文 20)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=13x3-12ax2,ar. (1)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程; (2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 解(1)由题意 f(x)=x2-ax,所以当 a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以 f(3)=3,因此曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是 y=3(x-3),即 3x-y-

14、9=0. (2)因为 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以 g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x =x(x-a)-(x-a)sin x =(x-a)(x-sin x). 令 h(x)=x-sin x,则 h(x)=1-cos x0,所以 h(x)在 r 上单调递增. 因为 h(0)=0,所以当 x0时,h(x)0;当 x0时,h(x)0. 当 a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x), 当 x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增; 当 x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当 x=a时 g(x)取

15、到极大值,极大值是 g(a)=-16a3-sin a, 当 x=0时 g(x)取到极小值,极小值是 g(0)=-a. 当 a=0时,g(x)=x(x-sin x),当 x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增; 所以 g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. 当 a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x) 当 x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增; 当 x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当 x=0时 g(x)取到极大值,极大值是 g(0)=-a; 当 x=a时 g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=-16a3-sin

16、a. 综上所述:当 a0 时,函数 g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=-16a3-sin a. 21.(2017 山东,文 21)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy中,已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的离心率为22,椭圆 c 截直线 y=1所得线段的长度为 22. 8 / 9 (1)求椭圆 c 的方程; (2)动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 c 于 a,b 两点,交 y轴于点 m.点 n是 m 关于 o的对称点,n 的半径为|no|.设 d为 ab的中点,de,df 与n 分别相切于点 e,f,求edf 的最小值. 解(1)由椭圆的离心率为22,得 a2=2(a2-b2), 又当 y=1 时,x2=a2-22,得 a2-22=2,所以 a2=4,b2=2. 因此椭圆方程为24+22