2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试综合能力测试数学试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(2014江苏,1)已知集合a=-2,-1,3,4,b=-1,2,3,则ab=. 答案:-1,3解析:由题意,得ab=-1,3.2.(2014江苏,2)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为. 答案:21解析:由题意,得z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其实部为21.3.(2014江苏,3)下图是一个算法流程图,则输出的n的值是. 答案:5解析:本题实质上是求不等式2n&g

2、t;20的最小整数解,2n>20的整数解为n5,因此输出的n=5.4.(2014江苏,4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是. 答案:13解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为1,2,1,3,1,6,2,3,2,6,3,6共6个基本事件,其中乘积为6的有1,6,2,3两个基本事件,因此所求事件的概率为p=26=13.5.(2014江苏,5)已知函数y=cos x与y=sin(2x+)(0<),它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是. 答案:6解析:由题意cos3=sin2×3+,即si

3、n23+=12,23+=k+(-1)k·6(kz).因为0<,所以=6.6.(2014江苏,6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间80,130上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100 cm. 答案:24解析:由题意,在抽测的60株树木中,底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.7.(2014江苏,7)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是. 答案:4解析:设公比

4、为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.8.(2014江苏,8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1,s2,体积分别为v1,v2,若它们的侧面积相等,且s1s2=94,则v1v2的值是. 答案:32解析:设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2r1h1=2r2h2,h1h2=r2r1.又s1s2=r12r22=94,所以r1r2=32,则v1v2=r12h1r22h2=r12r22·h1h2=r1r2=32.9.(2014江苏,9)在平面直角坐标系xoy中

5、,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为. 答案:2555解析:圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为c(2,-1),半径r=2,圆心c到直线x+2y-3=0的距离为d=|2+2×(-1)-3|12+22=35,所求弦长l=2r2-d2=24-95=2555.10.(2014江苏,10)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是. 答案:-22,0解析:根据题意,得f(m)=m2+m2-1<0,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0,解得-22<

6、;m<0.11.(2014江苏,11)在平面直角坐标系xoy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点p(2,-5),且该曲线在点p处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是. 答案:-3解析:由曲线y=ax2+bx过点p(2,-5),得4a+b2=-5.又y'=2ax-bx2,所以当x=2时,4a-b4=-72,由得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.12.(2014江苏,12)如图,在平行四边形abcd中,已知ab=8,ad=5,cp=3pd,ap·bp=2,则ab·ad的值是. 答案:22解析:由题意知,ap=ad+d

7、p=ad+14ab,bp=bc+cp=bc+34cd=ad-34ab,所以ap·bp=ad+14ab·ad-34ab=ad2-12ad·ab-316ab2,即2=25-12ad·ab-316×64,解得ab·ad=22.13.(2014江苏,13)已知f(x)是定义在r上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x)=x2-2x+12.若函数y=f(x)-a在区间-3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是. 答案:0,12解析:作出函数f(x)=x2-2x+12,x0,3)的图象(如图),f(0)=12,当x=1时

8、,f(x)极大值=12,f(3)=72,方程f(x)-a=0在-3,4上有10个根,即函数y=f(x)的图象和直线y=a在-3,4上有10个交点.由于函数f(x)的周期为3,则直线y=a与f(x)的图象在0,3)上应有4个交点,因此有a0,12.14.(2014江苏,14)若abc的内角满足sin a+2sin b=2sin c,则cos c的最小值是. 答案:6-24解析:由sin a+2sin b=2sin c及正弦定理可得a+2b=2c.故cos c=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+2b222ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,当且仅

9、当3a2=2b2,即ab=23时等号成立.所以cos c的最小值为6-24.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)(2014江苏,15)已知2,sin =55.(1)求sin4+的值;(2)求cos56-2的值.分析:(1)先结合范围,运用平方关系求出cos ,再用两角和的正弦公式求值;(2)由(1)运用二倍角公式求出sin 2,cos 2,再用两角差的余弦公式求值.解:(1)因为2,sin =55,所以cos =-1-sin2=-255.故sin4+=sin4cos +cos4sin =22

10、15;-255+22×55=-1010.(2)由(1)知sin 2=2sin cos =2×55×-255=-45,cos 2=1-2sin2=1-2×552=35,所以cos56-2=cos56cos 2+sin56sin 2=-32×35+12×-45=-4+3310.16.(本小题满分14分)(2014江苏,16)如图,在三棱锥p-abc中,d,e,f分别为棱pc,ac,ab的中点.已知paac,pa=6,bc=8,df=5.求证:(1)直线pa平面def;(2)平面bde平面abc.分析:(1)证明线面平行可由线线平行证得,由

11、条件中中点较多,故可用中位线构造线线平行证明;(2)证明面面垂直可由线面垂直证得.利用中位线结合勾股定理证明deef,再由(1)结合已知可证deac,用线面垂直的判定定理证得de平面abc,从而证明面面垂直.证明:(1)因为d,e分别为棱pc,ac的中点,所以depa.又因为pa平面def,de平面def,所以直线pa平面def.(2)因为d,e,f分别为棱pc,ac,ab的中点,pa=6,bc=8,所以depa,de=12pa=3,ef=12bc=4.又因为df=5,故df2=de2+ef2,所以def=90°,即deef.又paac,depa,所以deac.因为acef=e,ac

12、平面abc,ef平面abc,所以de平面abc.又de平面bde,所以平面bde平面abc.17.(本小题满分14分)(2014江苏,17)如图,在平面直角坐标系xoy中,f1,f2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点b的坐标为(0,b),连结bf2并延长交椭圆于点a,过点a作x轴的垂线交椭圆于另一点c,连结f1c.(1)若点c的坐标为43,13,且bf2=2,求椭圆的方程;(2)若f1cab,求椭圆离心率e的值.分析:(1)利用椭圆的几何性质可得bf2=a=2,再把点c的坐标代入即可求出椭圆方程;(2)写出b,f2的坐标,用b,c表示直线ab的方程,联

13、立椭圆方程表示出点a的坐标,利用点a与点c的对称性,表示出点c的坐标,利用直线f1c的斜率及kf1c·kab=-1建立a,b,c的关系,再结合平方关系求离心率.解:设椭圆的焦距为2c,则f1(-c,0),f2(c,0).(1)因为b(0,b),所以bf2=b2+c2=a.又bf2=2,故a=2.因为点c43,13在椭圆上,所以169a2+19b2=1.解得b2=1.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)因为b(0,b),f2(c,0)在直线ab上,所以直线ab的方程为xc+yb=1.解方程组xc+yb=1,x2a2+y2b2=1,得x1=2a2ca2+c2,y1=b(c2-a2)

14、a2+c2,x2=0,y2=b.所以点a的坐标为2a2ca2+c2,b(c2-a2)a2+c2.又ac垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点c的坐标为2a2ca2+c2,b(a2-c2)a2+c2.因为直线f1c的斜率为b(a2-c2)a2+c2-02a2ca2+c2-(-c)=b(a2-c2)3a2c+c3,直线ab的斜率为-bc,且f1cab,所以b(a2-c2)3a2c+c3·-bc=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15.因此e=55.18.(本小题满分16分)(2014江苏,18)如图,为保护河上古桥oa,规划建一座新桥bc,同时设立一个圆形保护区.规划要求

15、:新桥bc与河岸ab垂直;保护区的边界为圆心m在线段oa上并与bc相切的圆,且古桥两端o和a到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点a位于点o正北方向60 m处,点c位于点o正东方向170 m处(oc为河岸),tanbco=43.(1)求新桥bc的长;(2)当om多长时,圆形保护区的面积最大?分析:法一:(1)运用坐标法求bc的长,由已知建立以o为坐标原点,oc所在直线为x轴的直角坐标系.设出点b坐标,利用a,c坐标分别表示出kab,kbc,建立方程组求出点b坐标,利用两点间的距离公式求解即可;(2)求圆形保护区的最大面积,即求圆的最大半径.由条件知,可转化为求点m到直线bc距离的最

16、大值.由(1)可先求出直线bc的方程,设点m的坐标为(0,d),则半径r可用d表示,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.法二:(1)延长cb,oa交于点f,在ocf中,利用条件求of,cf.利用af=of-oa求af的长,再借助afb+ocf=90°的关系,在abf中,求出bf的长,进而利用cb=cf-bf求值;(2)设md=r m(半径),om=d m,在mdf中,利用sincfo建立r,d的关系,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.解:解法一:(1)如图,以o为坐标原点,oc所在直

17、线为x轴,建立平面直角坐标系xoy.由条件知a(0,60),c(170,0),直线bc的斜率kbc=-tanbco=-43.又因为abbc,所以直线ab的斜率kab=34.设点b的坐标为(a,b),则kbc=b-0a-170=-43,kab=b-60a-0=34.解得a=80,b=120.所以bc=(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥bc的长是150 m.(2)设保护区的边界圆m的半径为r m,om=d m(0d60).由条件知,直线bc的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆m与直线bc相切,故点m(0,d)到直线bc的距离是r,即r=|3d-68

18、0|42+32=680-3d5.因为o和a到圆m上任意一点的距离均不少于80 m,所以r-d80,r-(60-d)80,即680-3d5-d80,680-3d5-(60-d)80.解得10d35.故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大.所以当om=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长oa,cb交于点f.因为tanfco=43,所以sinfco=45,cosfco=35.因为oa=60,oc=170,所以of=octanfco=6803,cf=occosfco=8503,从而af=of-oa=5003.因为oaoc,所以cosafb=sinfco=45.又因为

19、abbc,所以bf=afcosafb=4003,从而bc=cf-bf=150.因此新桥bc的长是150 m.(2)设保护区的边界圆m与bc的切点为d,连接md,则mdbc,且md是圆m的半径,并设md=r m,om=d m(0d60).因为oaoc,所以sincfo=cosfco.故由(1)知sincfo=mdmf=mdof-om=r6803-d=35,所以r=680-3d5.因为o和a到圆m上任意一点的距离均不少于80 m,所以r-d80,r-(60-d)80,即680-3d5-d80,680-3d5-(60-d)80.解得10d35.故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大.所

20、以当om=10 m时,圆形保护区的面积最大.19.(本小题满分16分)(2014江苏,19)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是r上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x01,+),使得f(x0)<a(-x03+3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.分析:(1)利用偶函数定义判断即可;(2)原不等式恒成立可分离参数转化为me-x-1ex+e-x-1恒成立,即求e-x-1ex+e-x-1的最小值.设t=ex>1,换元后利用基本不等式

21、求最小值;(3)由条件构造函数g(x)=f(x)-a(-x3+3x),利用导数求出g(x)的最小值,利用g(x)min<0,求出a的取值范围.判断ea-1与ae-1的大小,即判断ln ea-1与ln ae-1的大小,即判断(a-1)-(e-1)ln a的符号.构造函数h(x)=x-1-(e-1)ln x,利用导数求出h(x)在(0,+)上的单调区间和最小值.利用h(1)=h(e)=0,对a的值分三种情况讨论h(x)的符号,从而确定ea-1与ae-1的大小.(1)证明:因为对任意xr,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)是r上的偶函数.(2)解:由条件

22、知m(ex+e-x-1)e-x-1在(0,+)上恒成立.令t=ex(x>0),则t>1,所以m-t-1t2-t+1=-1t-1+1t-1+1对任意t>1成立.因为t-1+1t-1+12(t-1)·1t-1+1=3,所以-1t-1+1t-1+1-13,当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是-,-13.(3)解:令函数g(x)=ex+1ex-a(-x3+3x),则g'(x)=ex-1ex+3a(x2-1).当x1时,ex-1ex>0,x2-10.又a>0,故g'(x)>0.所以g(x)是1,+)上的单调增函数,

23、因此g(x)在1,+)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x01,+),使ex0+e-x0-a(-x03+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>e+e-12.令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h'(x)=1-e-1x.令h'(x)=0,得x=e-1.当x(0,e-1)时,h'(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调减函数;当x(e-1,+)时,h'(x)>0,故h(x)是(e-1,+)上的单调增函数.所以h(x)在(0,+)上的最小值是h(e-1).注意到h(

24、1)=h(e)=0,所以当x(1,e-1)(0,e-1)时,h(e-1)h(x)<h(1)=0;当x(e-1,e)(e-1,+)时,h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对任意的x(1,e)成立.当ae+e-12,e(1,e)时,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,从而ea-1<ae-1;当a=e时,ea-1=ae-1;当a(e,+)(e-1,+)时,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故ea-1>ae-1.综上所述,当ae+e-12,e时,ea-1<ae-1;当a=e时,ea-1=ae-1;当a(e,+)

25、时,ea-1>ae-1.20.(本小题满分16分)(2014江苏,20)设数列an的前n项和为sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得sn=am,则称an是“h数列”.(1)若数列an的前n项和sn=2n(nn*),证明:an是“h数列”;(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若an是“h数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列an,总存在两个“h数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nn*)成立.分析:在第(1)问中,先利用an与sn的关系求出an,再根据“h数列”的定义即可证明结论;在第(2)问中,可采用由特殊到一般的方法,先取n=2,结合“h数列”

26、的定义求出d的值,然后可求出an与sn,再根据“h数列”的定义验证结论对任意的n成立;在第(3)问中,an=a1+(n-1)d,考虑到非零常数列不是“h数列”,因而应考虑将an分解改写为两个等差数列和的形式an=na1+(n-1)(d-a1),然后再分别按“h数列”的定义证明na1和(n-1)(d-a1)为“h数列”,即可证得结论.(1)证明:由已知,当n1时,an+1=sn+1-sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得sn=2n=am.所以an是“h数列”.(2)解:由已知,得s2=2a1+d=2+d.因为an是“h数列”,所以存在正整数m,使得s2=a

27、m,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,sn=n(3-n)2是小于2的整数,nn*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-sn=2-n(3-n)2,使得sn=2-m=am.所以an是“h数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nn*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(nn*).下证bn是“h数列”.设bn的前n项和为tn,则tn=n(n+1)2a1(nn*).于是对任意

28、的正整数n,总存在正整数m=n(n+1)2,使得tn=bm.所以bn是“h数列”.同理可证cn也是“h数列”.所以,对任意的等差数列an,总存在两个“h数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nn*)成立.数学(附加题)21.(2014江苏,21)【选做题】本题包括a、b、c、d四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a.选修41:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,ab是圆o的直径,c,d是圆o上位于ab异侧的两点,证明:ocb=d.分析:要证明ocb=d,因ocb=b,只需证b=d,而同弧所对的圆周角相

29、等,即b=d成立,因此得证.证明:因为b,c是圆o上的两点,所以ob=oc.故ocb=b.又因为c,d是圆o上位于ab异侧的两点,故b,d为同弧所对的两个圆周角,所以b=d.因此ocb=d.b.选修42:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵a=-121x,b=112-1,向量=2y,x,y为实数.若a=b,求x+y的值.分析:要求x+y的值,只需分别求出x,y的值,而根据等式a=b,结合矩阵的乘法可得到关于x,y的一个方程组,解出即可.解:由已知,得a=-121x2y=-2+2y2+xy,b=112-12y=2+y4-y.因为a=b,所以-2+2y2+xy=2+y4-y.故-2+2y=2+y

30、,2+xy=4-y.解得x=-12,y=4.所以x+y=72.c.选修44:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy中,已知直线l的参数方程为x=1-22t,y=2+22t(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于a,b两点,求线段ab的长.分析:求直线被抛物线所截弦长,可利用直线参数方程的几何意义解决.将直线的参数方程与抛物线方程联立可解得参数的值,代入即可.解:将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,得2+22t2=41-22t.解得t1=0,t2=-82.所以ab=|t1-t2|=82.d.选修45:不等式选讲(本小题满分10分)已知

31、x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.分析:可利用算术几何平均不等式:a+b+c33abc(a,b,c>0),将左边因式中的和化为积,实现不等式的证明.证明:因为x>0,y>0,所以1+x+y233xy2>0,1+x2+y33x2y>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)33xy2·33x2y=9xy.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)(2014江苏,22)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球

32、,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率p;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量x表示x1,x2,x3中的最大数.求x的概率分布和数学期望e(x).分析:在第(1)问中,考虑到“2个球颜色相同”可分为3种情况:“同为红球”“同为黄球”“同为绿球”,故可用互斥事件的概率公式,结合排列组合及古典概型求得结果;在第(2)问中,先分析4个球中各类球的个数情况,确定x的所有可能的取值,然后利用超几何分布求出各个概率值,列出表格即得x的概率分布,最后根据数学期望的定义计算求得结果.解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以p=c42+c32+c22c92=6+3+136=518.(2)随机变量x所有可能的取值为2,3,4.x=4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故p(x=4)=c44c94=1126;x=3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球”,故p(x=3)=c43c51+c33c61c94=20+6126=1363;于是p(x=2)=1-p(x=3)-p(x=4)=1-1363-1126=1114.所以随机变量x的概率分布如下表:x234p111413