2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013辽宁,理1)复数z=1i-1的模为(). a.12b.22c.2d.

2、2答案:b解析:z=1i-1=-i-1(-i-1)(i-1)=-12-12i,|z|=-122+-122=22,故选b.2.(2013辽宁,理2)已知集合a=x|0<log4x<1,b=x|x2,则ab=().a.(0,1)b.(0,2c.(1,2)d.(1,2答案:d解析:0<log4x<1log41<log4x<log441<x<4,即a=x|1<x<4,ab=x|1<x2.故选d.3.(2013辽宁,理3)已知点a(1,3),b(4,-1),则与向量ab同方向的单位向量为().a.35,-45b.45,-35c.-35,4

3、5d.-45,35答案:a解析:与ab同方向的单位向量为ab|ab|=(3,-4)32+(-4)2=35,-45,故选a.4.(2013辽宁,理4)下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为().a.p1,p2b.p3,p4c.p2,p3d.p1,p4答案:d解析:如数列为-2,-1,0,1,则1×a1=2×a2,故p2是假命题;如数列为1,2,3,则ann=1,故p3是假命题.故选d.5.(2013辽宁,理5)某班的全体学生参加英语测

4、试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:20,40),40,60),60,80),80,100.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是().a.45b.50c.55d.60答案:b解析:由频率分布直方图,低于60分的同学所占频率为(0.005+0.01)×20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50.故选b.6.(2013辽宁,理6)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若asin bcos c+csin bcos a=12b,且a>b,则b=().a.6b.3c.23d.56答案:a解析:根据正弦定理:asin bcos c+csin bcos

5、a=12b等价于sin acos c+sin ccos a=12,即sin(a+c)=12.又a>b,a+c=56,b=6.故选a.7.(2013辽宁,理7)使3x+1xxn(nn+)的展开式中含有常数项的最小的n为().a.4b.5c.6d.7答案:b解析:3x+1xxn展开式中的第r+1项为cnr(3x)n-rx-32r=cnr3n-rxn-52r,若展开式中含常数项,则存在nn+,rn,使n-52r=0,故最小的n值为5,故选b.8.(2013辽宁,理8)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出s=().a.511b.1011c.3655d.7255答案:a解析:当n=10时

6、,由程序运行得到s=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1=11×3+13×5+15×7+17×9+19×11=1211-13+13-15+15-17+17-19+19-111=12×1011=511.故选a.9.(2013辽宁,理9)已知点o(0,0),a(0,b),b(a,a3).若oab为直角三角形,则必有().a.b=a3b.b=a3+1ac.(b-a3)b-a3-1a=0d.|b-a3|+b-a3-1a=0答案:c解析:若b为直角,则ob·ab=0,即a2+a3(a3-b)=0,又a0,故b=

7、a3+1a;若a为直角,则oa·ab=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若o为直角,则不可能.故b-a3=0或b-a3-1a=0,故选c.10.(2013辽宁,理10)已知直三棱柱abc-a1b1c1的6个顶点都在球o的球面上.若ab=3,ac=4,abac,aa1=12,则球o的半径为().a.3172b.210c.132d.310答案:c解析:过c点作ab的平行线,过b点作ac的平行线,交点为d,同理过c1作a1b1的平行线,过b1作a1c1的平行线,交点为d1,连接dd1,则abcd-a1b1c1d1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=32+42+1222=132.故

8、选c.11.(2013辽宁,理11)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设h1(x)=maxf(x),g(x),h2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记h1(x)的最小值为a,h2(x)的最大值为b,则a-b=().a.16b.-16c.a2-2a-16d.a2+2a-16答案:b解析:f(x)-g(x)=2x2-4ax+2a2-8=2x-(a-2)x-(a+2),h1(x)=f(x),x(-,a-2,g(x),x(a-2,a+2),f(x),xa+2,+),h2(x)=

9、g(x),x(-,a-2,f(x),x(a-2,a+2),g(x),xa+2,+),可求得h1(x)的最小值a=f(a+2)=-4a-4,h2(x)的最大值b=g(a-2)=-4a+12,a-b=-16.故选b.12.(2013辽宁,理12)设函数f(x)满足x2f'(x)+2xf(x)=exx,f(2)=e28,则x>0时,f(x)().a.有极大值,无极小值b.有极小值,无极大值c.既有极大值又有极小值d.既无极大值也无极小值答案:d解析:令f(x)=x2f(x),则f'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=exx,f(2)=4·f(2)=e22.由

10、x2f'(x)+2xf(x)=exx,得x2f'(x)=exx-2xf(x)=ex-2x2f(x)x,f'(x)=ex-2f(x)x3.令(x)=ex-2f(x),则'(x)=ex-2f'(x)=ex-2exx=ex(x-2)x.(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,(x)的最小值为(2)=e2-2f(2)=0.(x)0.又x>0,f'(x)0.f(x)在(0,+)单调递增.f(x)既无极大值也无极小值.故选d.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生

11、根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013辽宁,理13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是. 答案:16-16解析:由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为·22·4-2×2×4=16-16.14.(2013辽宁,理14)已知等比数列an是递增数列,sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则s6=. 答案:63解析:因为x2-5x+4=0的两根为1和4,又数列an是递增数列,所以a1=1,a3=4,所以q=2.所以s6

12、=1·(1-26)1-2=63.15.(2013辽宁,理15)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,bf.若|ab|=10,|af|=6,cosabf=45,则c的离心率e=. 答案:57解析:如图所示.根据余弦定理|af|2=|bf|2+|ab|2-2|ab|·|bf|cosabf,即|bf|2-16|bf|+64=0,得|bf|=8.又|of|2=|bf|2+|ob|2-2|ob|·|bf|cos abf,得|of|=5.根据椭圆的对称性|af|+|bf|=2a=14,得

13、a=7.又|of|=c=5,故离心率e=57.16.(2013辽宁,理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为. 答案:10解析:设5个班级的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x55=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)25=4,即5个整数平方和为20,最大的数比7大不能超过3,否则方差超过4,故最大值为10,最小值为4.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演

14、算步骤.17.(2013辽宁,理17)(本小题满分12分)设向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解:(1)由|a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x0,2,从而sin x=12,所以x=6.(2)f(x)=a·b=3sin x·cos x+sin2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12,当x=30,

15、2时,sin2x-6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.18.(2013辽宁,理18)(本小题满分12分)如图,ab是圆的直径,pa垂直圆所在的平面,c是圆上的点.(1)求证:平面pac平面pbc;(2)若ab=2,ac=1,pa=1,求二面角cpba的余弦值.(1)证明:由ab是圆的直径,得acbc.由pa平面abc,bc平面abc,得pabc.又paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bc平面pac.因为bc平面pbc.所以平面pbc平面pac.(2)解法一:过c作cmap,则cm平面abc.如图,以点c为坐标原点,分别以直线cb,ca,cm为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标

16、系.因为ab=2,ac=1,所以bc=3.因为pa=1,所以a(0,1,0),b(3,0,0),p(0,1,1).故cb=(3,0,0),cp=(0,1,1).设平面bcp的法向量为n1=(x,y,z),则cb·n1=0,cp·n1=0,所以3x=0,y+z=0,不妨令y=1,则n1=(0,1,-1).因为ap=(0,0,1),ab=(3,-1,0).设平面abp的法向量为n2=(x,y,z),则ap·n2=0,ab·n2=0,所以z=0,3x-y=0,不妨令x=1,则n2=(1,3,0),于是cos<n1,n2>=322=64.所以由题意可

17、知二面角cpba的余弦值为64.解法二:过c作cmab于m,因为pa平面abc,cm平面abc,所以pacm,故cm平面pab.过m作mnpb于n,连接nc,由三垂线定理得cnpb.所以cnm为二面角cpba的平面角.在rtabc中,由ab=2,ac=1,得bc=3,cm=32,bm=32,在rtpab中,由ab=2,pa=1,得pb=5.因为rtbnmrtbap,所以mn1=325,故mn=3510.又在rtcnm中,cn=305,故coscnm=64.所以二面角cpba的余弦值为64.19.(2013辽宁,理19)(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取

18、3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用x表示张同学答对题的个数,求x的分布列和数学期望.解:(1)设事件a=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有a=“张同学所取的3道题都是甲类题”.因为p(a)=c63c103=16,所以p(a)=1-p(a)=56.(2)x所有的可能取值为0,1,2,3.p(x=0)=c20·350·252·15=4125;p(x=1)=c21·351·251&

19、#183;15+c20350·252·45=28125;p(x=2)=c22·352·250·15+c21351·251·45=57125;p(x=3)=c22·352·250·45=36125.所以x的分布列为:x0123p4125281255712536125所以e(x)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.20.(2013辽宁,理20)(本小题满分12分)如图,抛物线c1:x2=4y,c2:x2=-2py(p>0)

20、.点m(x0,y0)在抛物线c2上,过m作c1的切线,切点为a,b(m为原点o时,a,b重合于o).当x0=1-2时,切线ma的斜率为-12.(1)求p的值;(2)当m在c2上运动时,求线段ab中点n的轨迹方程(a,b重合于o时,中点为o).解:(1)因为抛物线c1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x2,且切线ma的斜率为-12,所以a点坐标为-1,14,故切线ma的方程为y=-12(x+1)+14.因为点m(1-2,y0)在切线ma及抛物线c2上,于是y0=-12(2-2)+14=-3-224,y0=-(1-2)22p=-3-222p.由得p=2.(2)设n(x,y)

21、,ax1,x124,bx2,x224,x1x2,由n为线段ab中点知x=x1+x22,y=x12+x228.切线ma,mb的方程为y=x12(x-x1)+x124,y=x22(x-x2)+x224.由得ma,mb的交点m(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22,y0=x1x24.因为点m(x0,y0)在c2上,即x02=-4y0,所以x1x2=-x12+x226.由得x2=43y,x0.当x1=x2时,a,b重合于原点o,ab中点n为o,坐标满足x2=43y.因此ab中点n的轨迹方程为x2=43y.21.(2013辽宁,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1+x)e-2x,g(x)

22、=ax+x32+1+2xcos x.当x0,1时,(1)求证:1-xf(x)11+x;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:要证x0,1时,(1+x)e-2x1-x,只需证明(1+x)e-x(1-x)ex.记h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex,则h'(x)=x(ex-e-x),当x(0,1)时,h'(x)>0,因此h(x)在0,1上是增函数,故h(x)h(0)=0.所以f(x)1-x,x0,1.要证x0,1时,(1+x)e-2x11+x,只需证明exx+1.记k(x)=ex-x-1,则k'(x)=ex-1,当x(0,1)时,k&#

23、39;(x)>0,因此k(x)在0,1上是增函数,故k(x)k(0)=0.所以f(x)11+x,x0,1.综上,1-xf(x)11+x,x0,1.(2)解法一:f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+x32+1+2xcosx1-x-ax-1-x32-2xcos x=-x(a+1+x22+2cos x).设g(x)=x22+2cos x,则g'(x)=x-2sin x.记h(x)=x-2sin x,则h'(x)=1-2cos x,当x(0,1)时,h'(x)<0,于是g'(x)在0,1上是减函数,从而当x(0,1)时,g'(x)<g

24、'(0)=0,故g(x)在0,1上是减函数.于是g(x)g(0)=2,从而a+1+g(x)a+3.所以,当a-3时,f(x)g(x)在0,1上恒成立.下面证明当a>-3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立.f(x)-g(x)11+x-1-ax-x32-2xcos x=-x1+x-ax-x32-2xcos x=-x11+x+a+x22+2cosx,记i(x)=11+x+a+x22+2cos x=11+x+a+g(x),则i'(x)=-1(1+x)2+g'(x),当x(0,1)时,i'(x)<0,故i(x)在0,1上是减函数,于是i(x)在0,1上的值

25、域为a+1+2cos 1,a+3.因为当a>-3时,a+3>0,所以存在x0(0,1),使得i(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)g(x)在0,1上不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-3.解法二:先证当x0,1时,1-12x2cos x1-14x2.记f(x)=cos x-1+12x2,则f'(x)=-sin x+x.记g(x)=-sin x+x,则g'(x)=-cos x+1,当x(0,1)时,g'(x)>0,于是g(x)在0,1上是增函数,因此当x(0,1)时,g(x)>g(0)=0,从而f(x)在0,1上是

26、增函数.因此f(x)f(0)=0,所以当x0,1时,1-12x2cos x.同理可证,当x0,1时,cos x1-14x2.综上,当x0,1时,1-12x2cos x1-14x2.因为当x0,1时,f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+x32+1+2xcosx(1-x)-ax-x32-1-2x1-14x2=-(a+3)x.所以当a-3时,f(x)g(x)在0,1上恒成立.下面证明当a>-3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立.因为f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+x32+1+2xcosx11+x-1-ax-x32-2x1-12x2=x21+x+x32-(a+3)x3

27、2xx-23(a+3),所以存在x0(0,1)(例如x0取a+33和12中的较小值)满足f(x0)<g(x0).即f(x)g(x)在0,1上不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-3.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22.(2013辽宁,理22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,ab为o的直径,直线cd与o相切于e,ad垂直cd于d,bc垂直cd于c,ef垂直ab于f,连接ae,be.证明:(1)feb=ceb;(2)ef2=ad·bc.证明:(1)由直线cd与o相切,得ceb=eab.由ab为o的直径,得aeeb,从而 eab+ebf=2;又efab,得feb+ebf=2,从而feb=eab.故feb=ceb.(2)由bcce,efab,feb=ceb,be是公共边,得rtbcertbfe,所以bc=bf.类