2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(四川卷)

1、1 / 12 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(四川四川卷卷) 数学(文史类) 第卷 (选择题 共 50分) 注意事项: 必须使用 2b 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第卷共 10 小题. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(2015 四川,文 1)设集合 a=x|-1x2,集合 b=x|1x3,则 ab=( ) a.x|-1x3 b.x|-1x1 c.x|1x2 d.x|2x3 答案:a 解析:如图所示,把集合 a,b在数轴上表示出来. 所以 ab=x

2、|-1xb1”是“log2alog2b0”的( ) a.充要条件 b.充分不必要条件 c.必要不充分条件 d.既不充分也不必要条件 2 / 12 答案:a 解析:因为函数 y=log2x 在(0,+)上是增函数. 故 ab1log2alog2blog21=0. 且 log2alog2b0ab1. 故 ab1 是 log2alog2b0 的充要条件. 5.(2015 四川,文 5)下列函数中,最小正周期为 的奇函数是 ( ) a.y=sin (2 +2) b.y=cos (2 +2) c.y=sin 2x+cos 2x d.y=sin x+cos x 答案:b 解析:对于 a,y=sin (2

3、+2)=cos 2x,是最小正周期为 的偶函数;对于 b,y=cos (2 +2)=-sin 2x,是最小正周期为 的奇函数;对于 c,y=sin 2x+cos 2x=2sin (2 +4),是最小正周期为 的非奇非偶函数;对于 d,y=sin x+cos x=2sin ( +4),是最小正周期为 2 的非奇非偶函数,故选 b. 6.(2015 四川,文 6)执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为 ( ) a.-32 b.32 c.-12 d.12 答案:d 解析:这是一个循环结构,每次循环的结果依次为: k=2,不满足 k4;k=3,不满足 k4; k=4,不满足 k4;k=5,满足 k4

4、,此时 s=sin 56=sin 6=12. 7.(2015 四川,文 7)过双曲线 x2-23=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 a,b两点,则|ab|=( ) a.433 b.23 c.6 d.43 答案:d 解析:双曲线 x2-23=1 的两条渐近线方程为 y= 3x,右焦点为 f(2,0)如图所示. 3 / 12 根据题意,由 = 3, = 2,得 a(2,23). 同理可得 b(2,-23). 所以|ab|=43,故选 d. 8.(2015 四川,文 8)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718

5、为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时,在 22 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在33 的保鲜时间是( ) a.16 小时 b.20 小时 c.24 小时 d.28 小时 答案:c 解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数 y=ekx+b图象上的两个点. 所以192 = e,48 = e22+. 由得,48=e22k eb, 把代入得 e22k=48192=14,即(e11k)2=14, 所以 e11k=12. 所以当储藏温度为 33 时,保鲜时间 y=e33k+b=(e11k)3 eb=18192=24(小时). 9.(2015 四川,

6、文 9)设实数 x,y满足2 + 10, + 2 14, + 6,则 xy 的最大值为( ) a.252 b.492 c.12 d.16 答案:a 解析:作出可行域,如图所示. 令 t=xy,则 y=,由图可知,当曲线 y=与线段 ab相切时,t 最大, 4 / 12 由 + 2 = 14,2 + = 10,得 a(2,6), 由 + = 6,2 + = 10,得 b(4,2), 由 y=,得 y=-2. 设切点坐标为(x0,y0),则 20+ 0= 10,0=0,02= 2, 解得 x0=522,4,y0=5,t=252. 所以 xy 的最大值为252. 10.(2015 四川,文 10)设

7、直线 l与抛物线 y2=4x 相交于 a,b 两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点 m.且 m 为线段ab的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( ) a.(1,3) b.(1,4) c.(2,3) d.(2,4) 答案:d 解析:如图所示,设 a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0), 则12= 41,22= 42, 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). 当 l 的斜率不存在,即 x1=x2时,符合条件的直线 l 必有两条. 当 l 的斜率 k 存在,即 x1x2时,有 2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即 k=2

8、0. 由 cmab,得 kcm=005=-02,即 x0=3. 因为点 m 在抛物线内部,所以024x0=12, 又 x1x2,所以 y1+y20, 即 00212. 因为点 m 在圆上,所以(x0-5)2+02=r2,即 r2=02+4. 所以 4r216,即 2r0; 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n0; 对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; 对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 答案: 解析:对于,因为函数 f(x)=2x单调递增, 所以 m=(1)(2)120,故该命题

9、正确; 对于,函数 g(x)=x2+ax 的对称轴为 x=-2, 故函数在(,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增. 所以当 x1,x2(,2)时,n=(1)(2)120. 所以该命题错误. 对于,若存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n,即(1)(2)12=(1)(2)12, 整理得 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 设函数 h(x)=f(x)-g(x), 则 h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax 的图象与平行于 x 轴的直线可能有两个交点. h(x)=2xln 2-2x-a, 记 p(x)=h(x),则 p(x)=2x(ln 2)2-2, 令 p(x)=0,

10、解得 2x=2(ln2)2, 故 x=log22(ln2)2=1-2log2(ln 2),记为 x0. 当 x(-,x0)时,p(x)0,函数单调递增,所以 p(x)p(x0). 显然当 p(x0)0 时,h(x)p(x0)0,此时函数 h(x)在 r 上单调,函数 h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax 的图象与平行于 x轴的直线只有一个交点,即此时 h(x)的图象与平行于 x 轴的直线不可能有两个交点. 所以该命题错误. 对于,若存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n,即(1)(2)12=-(1)(2)12, 7 / 12 整理得 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2

11、), 设函数 h(x)=f(x)+g(x), 则 q(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax 的图象与平行于 x 轴的直线可能有两个交点. q(x)=2xln 2+2x+a,显然 q(x)在 r 上单调,设 q(x)=0 的解为 t,则当 x(-,t)时,q(x)0,函数 q(x)单调递增. 所以函数 q(x)=2x+x2+ax 的图象与平行于 x 轴的直线可能有两个交点.所以该命题正确. 综上,正确的命题为. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2015 四川,文 16)设数列an(n=1,2,3,)的前

12、 n 项和 sn满足 sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列1的前 n 项和为 tn,求 tn. 解:(1)由已知 sn=2an-a1,有 an=sn-sn-1=2an-2an-1(n2), 即 an=2an-1(n2).从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3成等差数列,即 a1+a3=2(a2+1). 所以 a1+4a1=2(a1+1),解得 a1=2. 所以,数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an=2n. (2)由(1)得1=12. 所以 tn=12+122+12=121(12

13、)112=1-12. 17.(本小题满分 12 分)(2015 四川,文 17)一辆小客车上有 5 个座位,其座位号为 1,2,3,4,5,乘客 p1,p2,p3,p4,p5的座位号分别为 1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客 p1因身体原因没有坐自己的 1 号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位. (1)若乘客 p1坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就坐,则此时共有 4 种坐法.下表给出了其中两种坐法.请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空

14、格处); (2)若乘客 p1坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客 p5坐到 5 号座位的概率. 乘客 p1 p2 p3 p4 p5 座位3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 8 / 12 号 解:(1)余下两种坐法如下表所示: 乘客 p1 p2 p3 p4 p5 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客 p1坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐, 则所有可能的坐法可用下表表示为: 乘客 p1 p2 p3 p4 p5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1

15、 2 5 3 4 1 于是,所有可能的坐法共 8 种. 设“乘客 p5坐到 5 号座位”为事件 a,则事件 a中的基本事件的个数为 4. 所以 p(a)=48=12. 答:乘客 p5坐到 5 号座位的概率是12. 18.(本小题满分 12 分)(2015 四川,文 18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母 f,g,h 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 beg 与平面 ach 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线 df平面 beg. 9 / 12 (1)解:点 f,g,h 的位置如图所示. (2)解:平面 beg平面 a

16、ch.证明如下: 因为 abcd-efgh 为正方体,所以 bcfg,bc=fg, 又 fgeh,fg=eh,所以 bceh,bc=eh, 于是 bche为平行四边形. 所以 bech. 又 ch平面 ach,be平面 ach, 所以 be平面 ach. 同理 bg平面 ach. 又 bebg=b,所以平面 beg平面 ach. (3)证明:连接 fh. 因为 abcd-efgh 为正方体,所以 dh平面 efgh. 因为 eg平面 efgh,所以 dheg. 又 egfh,egfh=o,所以 eg平面 bfhd. 又 df平面 bfhd,所以 dfeg. 同理 dfbg. 又 egbg=g,

17、 所以 df平面 beg. 19.(本小题满分 12 分)(2015 四川,文 19)已知 a,b,c 为abc 的内角,tan a,tan b是关于 x 的方程 x2+3px-p+1=0(pr)的两实根. (1)求 c 的大小; (2)若 ab=3,ac=6,求 p 的值. 解:(1)由已知,方程 x2+3px-p+1=0 的判别式 10 / 12 =(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40. 所以 p-2,或 p23. 由韦达定理,有 tan a+tan b=-3p,tan atan b=1-p. 于是 1-tan atan b=1-(1-p)=p0, 从而 tan (a+b)=ta

18、n+tan1tantan=-3=-3. 所以 tan c=-tan (a+b)=3, 所以 c=60 . (2)由正弦定理,得 sin b=sin=6sin603=22, 解得 b=45 ,或 b=135 (舍去). 于是 a=180 -b-c=75 . 则 tan a=tan 75 =tan (45 +30 )=tan45+tan301tan45tan30=1+33133=2+3. 所以 p=-13(tan a+tan b)=-13(2+3+1)=-1-3. 20.(本小题满分 13 分)(2015 四川,文 20)如图,椭圆 e:22+22=1(ab0)的离心率是22,点 p(0,1)在短

19、轴 cd 上,且 =-1. (1)求椭圆 e的方程; (2)设 o 为坐标原点,过点 p 的动直线与椭圆交于 a,b两点.是否存在常数 ,使得 + 为定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由已知,点 c,d 的坐标分别为(0,-b),(0,b). 又点 p的坐标为(0,1),且 =-1, 于是1 2= 1,=22,2 2= 2.解得 a=2,b=2. 所以椭圆 e方程为24+22=1. (2)当直线 ab的斜率存在时,设直线 ab的方程为 y=kx+1,a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 11 / 12 联立24+22= 1, = + 1,得(2k2+1)x

20、2+4kx-2=0. 其判别式 =(4k)2+8(2k2+1)0, 所以,x1+x2=-422+1,x1x2=-222+1. 从而, + =x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1) =(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =(24)2+(21)22+1 =-122+1-2. 所以,当 =1 时,-122+1-2=-3. 此时, + =-3 为定值. 当直线 ab斜率不存在时,直线 ab即为直线 cd. 此时, + = + =-2-1=-3. 故存在常数 =1,使得 + 为定值-3. 21.(本小题满分 14 分)(2015 四川,文 21)已知函数 f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中 a0. (1)设 g