2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(福建卷) (2)

1、1 / 8 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(福建福建卷卷) 数学试题(文史类) 第卷(选择题 共 60分) 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 福建,文 1)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,br,i 是虚数单位),则 a,b 的值分别等于( ) a.3,-2 b.3,2 c.3,-3 d.-1,4 答案:a 解析:由已知得 3-2i=a+bi, a,br,a=3,b=-2.故选 a. 2.(2015 福建,文 2)若集合 m=x|-2x2,n=0,1,

2、2,则 mn 等于( ) a.0 b.1 c.0,1,2 d.0,1 答案:d 解析:m=x|-2x0,b0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( ) a.2 b.3 c.4 d.5 答案:c 解析:直线+=1 过点(1,1),1+1=1. 又 a,b 均大于 0, a+b=(a+b)(1+1)=1+1+2+2=2+2=4,故选 c. 6.(2015 福建,文 6)若 sin =-513,且 为第四象限角,则 tan 的值等于( ) a.125 b.-125 c.512 d.-512 答案:d 2 / 8 解析:sin =-513,且 为第四象限角, cos =1-sin2 =1213,

3、于是 tan =sincos=-512,故选 d. 7.(2015 福建,文 7)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 bc,则实数 k 的值等于( ) a.-32 b.-53 c.53 d.32 答案:a 解析:a=(1,2),b=(1,1), c=(1+k,2+k). bc,b c=1+k+2+k=0. k=-32.故选 a. 8.(2015 福建,文 8)如图,矩形 abcd 中,点 a在 x 轴上,点 b的坐标为(1,0),且点 c 与点 d 在函数f(x)= + 1, 0,-12 + 1, b0)的右焦点为 f,短轴的一个端点为 m,直线 l:3x-4y=0 交椭圆

4、e于 a,b两点.若|af|+|bf|=4,点 m 到直线 l 的距离不小于45,则椭圆 e的离心率的取值范围是( ) a.(0,32 b.(0,34 c.32,1) d.34,1) 答案:a 解析: 如图,取椭圆的左焦点 f1,连接 af1,bf1. 由椭圆的对称性知四边形 af1bf是平行四边形, |af|+|bf|=|af1|+|af|=2a=4. a=2. 不妨设 m(0,b),则|30-4|32+4245, b1. e=1-()21-(12)2=32. 又 0e1,0e32.故选 a. 12.(2015 福建,文 12)“对任意 x(0,2),ksin xcos xx”是“k1”的(

5、 ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:b 解析:当 x(0,2)时,sin xx,且 0cos x1, sin xcos xx. k1 时有 ksin xcos xx. 反之不成立. 4 / 8 如当 k=1 时,对任意的 x(0,2),sin xx,0cos x1, 所以 ksin xcos x=sin xcos xx 成立, 这时不满足 k0,q0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 . 答案:9 解析:由题意,得 + = 0, = 0, 0, 0.

6、 不妨设 a0)的焦点,点 a(2,m)在抛物线 e上,且|af|=3. (1)求抛物线 e的方程; (2)已知点 g(-1,0),延长 af交抛物线 e于点 b,证明:以点 f 为圆心且与直线 ga 相切的圆,必与直线 gb相切. (1)解:由抛物线的定义,得|af|=2+2. 因为|af|=3,即 2+2=3, 解得 p=2, 所以抛物线 e的方程为 y2=4x. (2)证法一:因为点 a(2,m)在抛物线 e:y2=4x 上, 所以 m= 22,由抛物线的对称性,不妨设 a(2,22). 由 a(2,22),f(1,0)可得直线 af 的方程为 y=22(x-1). 由 = 22(-1)

7、,2= 4得 2x2-5x+2=0, 解得 x=2 或 x=12,从而 b(12,-2). 又 g(-1,0), 所以 kga=22-02-(-1)=223,kgb=-2-012-(-1)=-223, 所以 kga+kgb=0,从而agf=bgf,这表明点 f到直线 ga,gb的距离相等, 故以 f为圆心且与直线 ga相切的圆必与直线 gb 相切. 证法二:设以点 f为圆心且与直线 ga相切的圆的半径为 r. 因为点 a(2,m)在抛物线 e:y2=4x 上, 所以 m= 22,由抛物线的对称性,不妨设 a(2,22). 由 a(2,22),f(1,0)可得直线 af 的方程为 y=22(x-

8、1). 由 = 22(-1),2= 4得 2x2-5x+2=0, 6 / 8 解得 x=2 或 x=12,从而 b(12,-2). 又 g(-1,0),故直线 ga的方程为 22x-3y+22=0, 从而 r=|22+22|8+9=4217 . 又直线 gb的方程为 22x+3y+22=0, 所以点 f到直线 gb 的距离 d=|22+22|8+9=4217=r. 这表明以点 f为圆心且与直线 ga相切的圆必与直线 gb 相切. 20.(本小题满分 12 分)(2015 福建,文 20)如图,ab是圆 o 的直径,点 c 是圆 o 上异于 a,b的点,po 垂直于圆 o 所在的平面,且 po=

9、ob=1. (1)若 d 为线段 ac 的中点,求证:ac平面 pdo; (2)求三棱锥 p-abc 体积的最大值; (3)若 bc=2,点 e在线段 pb 上,求 ce+oe的最小值. (1)证明:在aoc 中,因为 oa=oc,d 为 ac 的中点, 所以 acdo. 又 po 垂直于圆 o 所在的平面, 所以 poac. 因为 dopo=o, 所以 ac平面 pdo. (2)解:因为点 c 在圆 o 上, 所以当 coab时,c 到 ab 的距离最大,且最大值为 1. 又 ab=2,所以abc 面积的最大值为1221=1. 又因为三棱锥 p-abc 的高 po=1, 故三棱锥 p-abc

10、 体积的最大值为1311=13. (3)解法一:在pob中,po=ob=1,pob=90 . 所以 pb=12+ 12= 2. 同理 pc=2,所以 pb=pc=bc. 在三棱锥 p-abc 中,将侧面 bcp 绕 pb旋转至平面 bcp,使之与平面 abp 共面,如图所示. 当 o,e,c共线时,ce+oe 取得最小值. 又因为 op=ob,cp=cb, 所以 oc垂直平分 pb, 即 e为 pb中点. 从而 oc=oe+ec=22+62=2+62, 亦即 ce+oe的最小值为2+62. 解法二:在pob中,po=ob=1,pob=90 , 所以opb=45 ,pb=12+ 12= 2. 同

11、理 pc=2. 所以 pb=pc=bc,所以cpb=60 . 在三棱锥 p-abc 中,将侧面 bcp 绕 pb旋转至平面 bcp,使之与平面 abp 共面,如图所示. 当 o,e,c共线时,ce+oe 取得最小值. 所以在ocp 中,由余弦定理得: oc2=1+2-212cos(45 +60 ) =1+2-22(2212-2232) 7 / 8 =2+3. 从而 oc=2 + 3 =2+62. 所以 ce+oe的最小值为22+62. 21.(本小题满分 12 分)(2015 福建,文 21)已知函数 f(x)=103sin2cos2+10cos22. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (

12、2)将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度,再向下平移 a(a0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,且函数 g(x)的最大值为 2. 求函数 g(x)的解析式; 证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)0. (1)解:因为 f(x)=103sin2cos2+10cos22 =53sin x+5cos x+5 =10sin( +6)+5, 所以函数 f(x)的最小正周期 t=2. (2)解:将 f(x)的图象向右平移6个单位长度后得到 y=10sin x+5 的图象,再向下平移 a(a0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a 的图象. 又已知函数 g(x)的

13、最大值为 2,所以 10+5-a=2,解得 a=13. 所以 g(x)=10sin x-8. 证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 10sin x0-80,即 sin x045. 由4532知,存在 0045. 因为 y=sin x 的周期为 2, 所以当 x(2k+0,2k+-0)(kz)时,均有 sin x45. 因为对任意的整数 k,(2k+-0)-(2k+0)=-2031, 所以对任意的正整数 k,都存在正整数 xk(2k+0,2k+-0),使得 sin xk45. 亦即,存在无穷多个互不相同的正整数 x

14、0,使得 g(x0)0. 22.(本小题满分 14 分)(2015 福建,文 22)已知函数 f(x)=ln x-(-1)22. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x1 时,f(x)1,当 x(1,x0)时,恒有 f(x)k(x-1). (1)解:f(x)=1-x+1=-2+1,x(0,+). 由 f(x)0 得 0,-2+ + 1 0,解得 0 x1+52. 故 f(x)的单调递增区间是(0,1+52). (2)证明:令 f(x)=f(x)-(x-1),x(0,+), 则有 f(x)=1-2. 当 x(1,+)时,f(x)1 时,f(x)1 时,f(x)1 满足题意. 当 k1 时,对于 x1,有 f(x)x-1k(x