2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)理 (2)

1、1 / 10 上海上海 数学数学(理工农医类理工农医类) 1.(2012 上海,理 1)计算:3i1 i+= (i为虚数单位). 1-2i 3i1 i+=(3 i)(1 i)(1 i)(1 i)+=23 3iii2 +=1-2i. 2.(2012 上海,理 2)若集合 a=x|2x+10,b=x|x-1|0=1|2x x ,b=x|x-1|2=x|-1xa时 f(x)单调递增,当 xa时,f(x)单调递减,又 f(x)在1,+)上是增函数,所以 a1. 8.(2012 上海,理 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面,则该圆锥的体积为 . 33 如图,由题意知12l2=2, l=2.

2、又展开图为半圆,l=2r, r=1,故圆锥的高为3,体积 v=13r2h=33. 9.(2012 上海,理 9)已知 y=f(x)+x2是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)= . -1 令 h(x)=f(x)+x2,则 h(1)+h(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,f(-1)=-3, g(-1)=f(-1)+2=-1. 10.(2012 上海,理 10)如图,在极坐标系中,过点 m(2,0)的直线 l与极轴的夹角 =6.若将 l的极坐标方程写成 =f()的形式,则 f()= . 1sin6 如图所示,根据正弦定理,有5sin6=25sin 6,=1s

3、in6. 11.(2012 上海,理 11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 23 若每人都选择两个项目,共有不同的选法222333c c c=27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有222332c c a=18 种,故填23. 3 / 10 12.(2012 上海,理 12)在平行四边形 abcd中,a=3,边 ab,ad的长分别为 2,1.若 m,n分别是边bc,cd上的点,且满足|bmbc=|cncd,则aman的取值范围是 . 2,5 如图,设|bmbc=|cncd=, 则 0,1,a

4、man=(ab+bm) (ad+dn)=(ab+bc) (ad+(-1)cd)=abad+(-1)abcd+bcad+(-1)bccd=1 212+(-1) (-4)+ 1+(-1) (-1)=1+4-4+-2+=-(+1)2+6. 0,1,aman2,5. 13.(2012 上海,理 13)已知函数 y=f(x)的图像是折线段 abc,其中 a(0,0),b1,52,c(1,0).函数y=xf(x)(0 x1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为 . 54 由题意 f(x)=110 ,0,211010,x1,2xxx+ 则 xf(x)=22110,0 x,211010 x,x1.2xx+ xf

5、(x)与 x轴围成图形的面积为120 10 x2dx+112 (-10 x2+10 x)dx=103x3120|+23112105|3xx=10318+1053-5101438=54. 14.(2012 上海,理 14)如图,ad与 bc是四面体 abcd中互相垂直的棱,bc=2.若 ad=2c,且ab+bd=ac+cd=2a,其中 a,c 为常数,则四面体 abcd的体积的最大值是 . 4 / 10 22213c ac 如图: 当 ab=bd=ac=cd=a 时, 该棱锥的体积最大. 作 ambc,连接 dm, 则 bc平面 adm,am=21a ,dm=21a . 又 ad=2c,sadm

6、=c221ac. vd-abc=vb-adm+vc-adm=22213c ac. 15.(2012 上海,理 15)若 1+2i是关于 x的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则( ). a.b=2,c=3 b.b=-2,c=3 c.b=-2,c=-1 d.b=2,c=-1 b 由题意知 b2-4c0,则该方程的复数根为:24? i2bcb ,故24? i2bcb +=1+2i. b=-2,c=3. 16.(2012 上海,理 16)在abc 中,若 sin2a+sin2bsin2c,则abc的形状是( ). a.锐角三角形 b.直角三角形 c.钝角三角形 d.不能确定 c 由正弦定

7、理可知 a2+b2c2, 从而 cos c=2222abcab+0, c 为钝角,故该三角形为钝角三角形. 17.(2012 上海,理 17)设 10 x1x2x3d2 b.d1=d2 c.d10, 而 a27=127sin2725=-127sin225=-227a2, a27+a20. 同理可得 a28+a30,a49+a240, 而 a51到 a74均为正项,a75=0,a76到 a99均为负项,且|a76|a51,|a77|a52,|a99|a74,a100=0, 故sn中前 100 项均为正数. 19.(2012 上海,理 19)如图,在四棱锥 p-abcd中,底面 abcd 是矩形,

8、pa底面 abcd,e是 pc的中点.已知 ab=2,ad=22,pa=2.求: (1)三角形 pcd 的面积; (2)异面直线 bc 与 ae 所成的角的大小. 解:(1)因为 pa底面 abcd,所以 pacd. 又 adcd,所以 cd平面 pad. 从而 cdpd. 因为 pd=222(2 2)+=23,cd=2, 所以三角形 pcd 的面积为12 2 23=23. (2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 则 b(2,0,0),c(2,22,0),e(1,2,1). 6 / 10 ae=(1,2,1),bc=(0,22,0). 设ae与bc的夹角为 , 则 cos =|ae bc

9、ae bc=42 2 2=22, =4. 由此知,异面直线 bc与 ae所成的角的大小是4. 解法二:取 pb中点 f,连接 ef,af, 则 efbc,从而aef(或其补角)是异面直线 bc与 ae 所成的角. 在aef中,由 ef=2,af=2,ae=2, 知aef是等腰直角三角形. 所以aef=4. 因此,异面直线 bc 与 ae 所成的角的大小是4. 20.(2012 上海,理 20)已知函数 f(x)=lg(x+1). (1)若 0f(1-2x)-f(x)1,求 x的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0 x1 时,有 g(x)=f(x),求函数 y=g(x

10、)(x1,2)的反函数. 解:(1)由220,10 xx+ 得-1x1. 由 0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg221xx+1, 得 1221xx+0,所以 x+12-2x10 x+10,-23x13. 由11,21x33x 得-23x22), 则直线 om 的方程为 y=-1kx. 由22,41ykxxy=+=得222221,4,4xkkyk=+=+ 所以|on|2=2214kk+. 同理|om|2=22121kk+. 设 o 到直线 mn 的距离为 d, 因为(|om|2+|on|2)d2=|om|2|on|2, 9 / 10 所以21d=21|om+21|on=22331kk+=3

11、,即 d=33. 综上,o到直线 mn的距离是定值. 23.(2012 上海,理 23)对于数集 x=-1,x1,x2,xn,其中 0 x1x22,且-1,1,2,x具有性质 p,求 x 的值; (2)若 x 具有性质 p,求证:1x,且当 xn1 时,x1=1; (3)若 x 具有性质 p,且 x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列 x1,x2,xn的通项公式. 解:(1)选取 a1=(x,2),y中与 a1垂直的元素必有形式(-1,b). 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1=(x1,x1)y. 设 a2=(s,t)y满足 a1 a2=0. 由(s+t)x1=0 得 s+t=0,所以 s,t异号. 因为-1 是 x中唯一的负数, 所以 s,t之中一为-1,另一为 1,故 1x. 假设 xk=1,其中 1kn,则 0 x11tx1,矛盾; 若 t=-1,则 xn=sx1qk-1, 所以 xk+1=qk. 综上所述,xi=qi-1,i=1,2,n. 解法二:设 a1=(s1,t1),a2=(s2,t2), 则 a1 a2=0 等价于11st=-22ts. 记 b=,| | | |ssx tx stt,则数集 x 具有性质 p,当且仅当数集 b关于原点对称. 注意到-1是 x 中的