阶段质量检测五数系的扩充与复数的引入

1、第10页共7页阶段质量检测（五）数系的扩充与复数的引入、选择题（本大题共（时间120分钟，满分150分） 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. i是虚数单位，复数解析：选B7-i 7-i 3- i3 + i1020 10i= 2i.2.已知复数i3z=1 + 2i f（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C因为4 3iz=3 4i 3 4i 3+ 4i 25i 3+ 4i43. i2525i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.3.若复数z满足（z 3）（2 i） = 5

2、（i为虚数单位），则z的共轭复数解析：选D 因为（z 3）（2 i）= 5，所以z 3 = 一目52+ i2 i 2 i2 + 广 2+ i，所以z= 5 + i,所以z = 5 i.2 z4.设复数z= 1 i（i为虚数单位）,z的共轭复数是z，则z 等于（A. 1 2iD . 1+ 2iC. 1 + 2i解析：选C由题意可得彳二=2 1+ iz 1 i5.已知a R, i是虚数单位.若 z= a + 3 i, z -z = 4,贝U a=()A. 1或1B . - 7或 7C. 3D. 3解析：选A 法一：由题意可知z = a 3i,'z -z = (a+ 3i)(a 3i) =

3、a2+ 3= 4,故 a= 1 或一1.法二：z = |z|2= a2 + 3 = 4, 故 a= 1 或一1.6.已知复数z1= 2+ ai际R), z2= 1 * - 2i，若豈为纯虚数，则|z1|=()A. 2B .3D. 5z12+ ai (2+ ai (1 + 2H 2 2a+(4+ a j解析：选D由于空=z1 2i 1 2i 1 + 2i为纯虚数，则a= 1,则|z1|=5,故选D.7.已知i为虚数单位,复数z1= a+ 2i, z2= 2 i,且|z1|= |z2|,则实数a的值为()C.1或一1D. ±1 或解析：选C因为复数可=a + 2i, z2= 2 i,且|

4、引=也|,所以 a2 + 4= 4 + 1,解得 a= ±,故选C.8.已知复数1z= 1 +"23i,贝V z + |z|=(C2+解析:D 因为 z=，所以 z + |z|= 1 -23i+：2+ 232=2-子i.9.设z= (2t2+ 5t 3) + (t2+ 2t+ 2)i, t R，则以下结论正确的是()A. z对应的点在第一象限B . z一定不为纯虚数C. z对应的点在实轴的下方D . z一定为实数解析：选C'.t2+ 2t+ 2= (t+ 1)2+ 1> 0,/z对应的点在实轴的上方.又T z与三对应的点关于实轴对称.10.复数与复数丄在复平面

5、上的对应点分别是A, B，若O为坐标原点，则/3+ iAOB等于(nA A. 6nd. n10 10'解析：选它在复平面上的对应点为 B，-，而复数2+ i在复平面上的对应点是A(2,1),显然 AO= 5, BO =嚅，AB = 0°.2 2 2AO + BO AB 逅 由余弦定理得cosZAOB=2AO BO =n"OB p故选b.11.已知z是复数z的共轭复数，z+ z + z -z = 0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A 圆C 双曲线B 椭圆D .抛物线解析：选 A 设 z= x+ yi(x, y 駅)，贝U z = x yi,2 2代入 z+ z

6、 + z -z = 0, 得 x+ yi+ x yi+ x + y = 0,即 x2+ y2 + 2x= 0,整理得(x + 1)2+ y2= 1. 复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆.12.已知复数 z= (x 2) + yi(x, y R)在复平面内对应的向量的模为3,则乂的最大值A.D. 31C.1解析：选 D 因为 |(x 2) + yi|= 3，所以(x 2)2+ y2 = 3,所以点(x, y)在以C(2,0)为圆心，以，3为半径的圆上，如图，由平面几何知识一.3Wy< 3.、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)y2 i313.计算：1

7、 ,2厂.解析： 4=上！=丄±!丄兰.1 血 1逅(1 逅 1 +逅)2+ 2i+ i + 2i2答案：i14. i是虚数单位，若复数(1 2i)(a+ i)是纯虚数，则实数 a的值为.解析：由(1 2i)(a + i)= (a+ 2) + (1 2a)i 是纯虚数可得 a + 2= 0,1 2a 0，解得 a= 2.答案：215. 设复数 a+ bi(a, b R)的模为衍，则(a+ bi)(a bi) =.解析：-.|a + bi|= a2+ b2= 3,2 2(a+ bi)(a bi) = a2+ b2= 3.答案：316. 若关于x的方程x2+ (2 i)x+ (2m 4)

8、i = 0有实数根，则纯虚数m =.解析：设 m= bi(bR 且 b 0),贝U x2 + (2 i)x + (2bi 4)i= 0,化简得(x2+ 2x 2b)+ (x2+ 2x 2b= 0,x = 4,x 4)i = 0,即卩解得故 m= 4i.I x 4= 0,lb = 4,答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)17.(本小题满分10分)已知复数zi= 2 3i, Z215-5i求:(1)ZlZ2；(2)Z1.Z2解:15 5i 15 5i f15 5i f3 4i 25 75i因为 Z2=2='= 1 3i,(2+ i

9、j 3+ 4i(3+4i (3 4i)25所以(1)Z1Z2= (2 3i)(1 3i)= 7 9i.Z123i2 3i 1 + 3i11+ 3i113Z213i1 3i 1 + 3i 1010+10i.18. (本小题满分12分)设复数z= lg(m2 2m 2)+ (m2+ 3m + 2)i(m R)，试求m取何值时？(1) z是实数.(2) z是纯虚数.(3) z对应的点位于复平面的第一象限.解：(1)由m2 + 3m+ 2= 0且m2 2m 2>0,解得 m= 1或m = 2，复数表示实数.(2) 当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数.由 lg(m2 2m 2) = 0，

10、且 m2 + 3m+ 2工0,求得m= 3,故当m= 3时，复数z为纯虚数.2 2(3) 由 lg(m 2m 2)> 0,且 m + 3m+ 2> 0,解得 mv 2 或 m> 3,故当 mv 2 或 m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限.19. (本小题满分12分)已知复数z满足(1 + 2i) z = 4 + 3i.(1) 求复数z;(2) 若复数(z+ ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a的取值范围.解：(1)-.(1 + 2i)7 = 4+ 3i,4+ 3i 4+ 3i 1 2i 10 5i z = 2 i ,.z= 2+ i.1+ 2i 1

11、+ 2i 1 2i 5(2)由(1)知 z= 2 + i,则(z+ ai) = (2 + i + ai) = 2 + (a + 1)i = 4 (a+ 1) + 4(a+ 1)i,-复数(z+ ai)2在复平面内对应的点在第一象限,4 a+ 1 >0, 解得1<a<1,4 a+ 1 >0,即实数a的取值范围为(一1,1).20. (本小题满分12分)已知复数zi满足(1 + i)zi= 1 + 5i, z?= a 2 i,其中i为虚数 单位，a R，若国一z2 |<|乙|,求a的取值范围.1 + 5i解：因为 Zj = 2 + 3i, Z2= a 2 i, Z2

12、= a 2+ i,1 + i所以 |Z1云 |= |(2+ 3i) (a 2+ i)| = |4 a+ 2i|=,4 a2+ 4,又因为 |Z1|= 13, |Z1 z2 |<|Z1|,所以-4 a 2+ 4< 13,所以 a2 8a+ 7<0,解得 1<a<7.所以a的取值范围是(1,7).21. (本小题满分12分)设z为复数z的共轭复数，满足|z z |= 2 3.(1) 若z为纯虚数，求乙若z 72为实数，求|z|.解：(1)设 z= bi(bR 且 bM0)，贝y "z = bi,因为 |z "z |= 2.3,则 |2bi| = 2

13、 3，即 |b|= 3,所以 b= ±.3，所以 z= ±.3i.(2) 设 z= a + bi(a, bR)，贝U z = a bi,因为 |z "z |= 2.3,则 |2bi| = 2 3，即 |b|= 3,因为 z z 2= a+ bi (a bi)2= a a2+ b2 + (b+ 2ab)i.z 72为实数，所以 b+ 2ab = 0.因为|b|= .3,所以a= ,所以 |z|=2)+( ±32=字.22.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|= 2, z2的虚部是2.(1) 求复数z;(2) 设z, z2, z z2在复平面上的对应点分别为A, B,。求厶ABC的面积.解：设z= a + bi(a,bR),贝Uz2= a2 b2+ 2abi,由题意得a2 + b2=2 且 2ab=2,解得 a= b= 1 或 a = b= 1,所以 z