河南省周口市河南省基础教育教学研究院(普通合伙)等2校2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/22022~2023学年河南省（部分地市）新高考联盟高一12月教学质量检测大联考数学试卷河南省基础教育教学研究院2022.12.21本试题卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集和并集的定义即可求解.【详解】因为集合，所以，故选：.2.值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】.故选：D.3.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性以及中介值“0”或“1”，比较即可.【详解】因为在上单调递减，又，所以，因为在上单调递增，又，所以，因为，所以，所以，故选：B.4.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得答案·.【详解】由，即函数定义域为.又，得在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，则的单调递减区间为.故选：B5.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是图象的一条对称轴C.图象的对称中心为D.将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象【答案】C【解析】【分析】对A，根据图最大值为3可得，再根据周期求得，再根据最高点判断可得，即可判断；对B，代入判断函数是否取最值即可；对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.【详解】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，由图象最高点可得，即，又，故，故.故，故A错误；对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；故选：C6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可.【详解】，所以.故选：D.7.已知，且，则的最小值为（）A.13 B.14 C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知,把代入中可得,然后再让所求式子乘上,通过化简,便可利用基本不等式性质即可求得最小值.【详解】，，，,当且仅当时，即，而又,所以，此时不等式可取等号.所以的最小值为故选：C.8.某企业生产一种化学产品的总成本（单位：万元）与生产量（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（）A.20吨 B.40吨 C.50吨 D.60吨【答案】B【解析】【分析】由总成本与生产量之间的关系求出平均生产成本的函数解析式，求函数取最小值时的x的值即为所求.【详解】因为总成本y与生产量x之间的关系为，设平均生产成本为，则，当时，，则时，最小为100，当时，，当且仅当，即时，最小为90，综上，，即生产量控制在40吨时，每吨的平均生产成本最少.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若集合，则B.若，则C.“”是“”的充要条件D.已知，则【答案】AB【解析】【分析】根据集合的包含关系，不等式的性质，充要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．【详解】根据交集的定义,对任意的，一定有，因此A正确；，，，B正确；若，由不能得出，C错；的否定是：，D错．故选：AB．10.下列说法正确的是（）A.若的终边上的一点坐标为，则B.若是第一象限角，则是第一或第三象限角C.对，恒成立D.若，且，则【答案】BCD【解析】【分析】根据三角函数的定义即可判断A；由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断B；根据二倍角余弦公式即可判断C；将平方，从而可求得的符号，进而可判断D.【详解】对于A，若的终边上的一点坐标为，则，当时，，当时，，故A错误；对于B，若是第一象限角，则，则，当时，，为第一象限角，当时，，为第三象限角，所以是第一或第三象限角，故B正确；对于C，当时，，则，故C正确；对于D，若，则，即若，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11.已知函数的图象关于直线对称，且对，有.当时，.则下列说法正确的是（）AB.的最大值为C.D.为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据关于直线对称得到关于直线对称，即，结合，推导出，A正确；B选项，由得到B错误；C选项，由函数周期求出，先计算出，再结合求出答案；D选项，由A选项可推出函数为偶函数.【详解】A选项，函数的图象关于直线对称，故关于直线对称，故，即，又，所以，则，两式相减得，，即，故A正确；B选项，时，，故，故的最大值不是，故B错误；C选项，由A选项可知，，又，故，因为时，，所以，故，故C正确；D选项，由A选项可知，，则，又的定义域为，即为偶函数，故D正确..故选：ACD.【点睛】结论点睛：函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称.12.设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，A选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；B选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；C选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；D选项，作出函数的图象，结合图象即可判断.【详解】若，称为一阶不动点，显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点，若，则有，即都在函数的图象上，即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点，下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，因为，若，因为单调递增，所以，即，矛盾，若，因为单调递增，所以，即，矛盾，综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价；由题意得：只需与直线的交点个数为1，A选项，，解得：，有且仅有1个根，画出与的图象，如下：显然上不存在两点关于对称，综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确；B选项，令，定义域为，显然，则均为的二阶不动点，不满足要求，B错误；C选项，定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可，令，整理得：，令，则，单调递减，再同一坐标系总画出两函数与图象，如下：两函数只有1个交点，满足要求，C正确；D选项，令，作出函数的图象，由图可知，点与点关于直线对称，故函数满足题意，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，计算：=____________．【答案】2【解析】【分析】利用同角关系式化为齐次式结合条件即得.【详解】因为，所以，故答案为：2．14.若幂函数的图象过点，则__________.【答案】4【解析】【分析】由题意可求得幂函数解析式，继而代入求值，可得答案.【详解】由题意幂函数的图象过点可得，即，故答案为：415.函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则______.【答案】##【解析】【分析】由题意可得为函数的对称中心，为函数的对称轴，再结合在区间上有最小值而无最大值，可得，即可得解.【详解】因为，所以为函数的对称中心，因为恒成立，所以，所以为函数的对称轴，又因为在区间上有最小值而无最大值，所以，解得，所以.故答案为：16.已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，构造，判断出的奇偶性和单调性，把不等式转化为，利用单调性解不等式即可.【详解】由题知，记，因为是奇函数，所以，所以，所以为偶函数，由题知，记，即，因为，所以，即，所以在上，为减函数，因为为偶函数，所以在上，为增函数，因为不等式可化为，即，又因为，可得，所以可化为，解得，或，所以解集为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用公式求解.（2）运用公式求解.【小问1详解】【小问2详解】18.已知：对于成立；：关于的不等式成立.（1）若为真命题，求取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，再解不等式即可.（2）首先根据题意得到命题：，从而得到，再根据包含关系求解即可.【小问1详解】因为命题：对于成立，所以，解得.所以求的取值范围为.【小问2详解】由（1）知：命题：，，因为，所以解集为，即命题：，因为是的必要不充分条件，所以，所以，即的取值范围.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用二倍角的正弦公式，降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可得解；（2）由，求出的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】，令，得，所以的单调递增区间为；【小问2详解】当时，，所以.20.已知函数且.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）若，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据对数函数自变量的要求求解函数定义域即可；（2）根据奇函数的定义进行判断即可；（3）首先根据条件，判断的取值范围，然后根据复合函数的单调性判断函数的单调性，最后将不等式转化为，进而利用函数的单调性求解解集即可.【小问1详解】由题得，解得，所以函数的定义域为.【小问2详解】函数为奇函数；由（1）知函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.【小问3详解】，，得，，根据复合函数单调性可知在上单调递减，由，可得，即，又，解得，所以不等式的解集为.21.为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.（1）当时，求面积；（2）求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，进而可得，再求解；（2）设，根据可得，再根据三角函数范围求解即可.【小问1详解】由，，故，故.又，故，，所以.【小问2详解】设，由题意，则，，，，，，所以.，，，，，当时取等号，的面积的最小值.22.设，函数，.（1）若函数的值域是，求的取值范围；（2）当时，记函数，讨论在区间内零点的个数.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得是函数的值域的子集，进而可得出答案；（2）先求出函数的零点，再根据二次函数的对称轴为，分，，和四种情况讨论即可得出答案.【小问1详解】，因为函数的值域是，所以是函数的值域的子集，所以，解得，所以的取值范围为；【小问2详解】在区间内零点的个数，即方程在区间内实数根的个数，当时，令，则，则，因为，所以，即，又，所以，即，所以；当时，，对称轴为，而，，当，即时，函数在上无零点，，当，即时，此时，则可取，故方程在上有个实数根，