函数单调性判定与极值问题实用教案

1、解.分析(fnx)：第1页/共27页第一页，共28页。第2页/共27页第二页，共28页。解.第3页/共27页第三页，共28页。解.第4页/共27页第四页，共28页。4.3-4.4函数函数(hnsh)的单调性的单调性与极值与极值第5页/共27页第五页，共28页。极限的基本性质(xngzh)复习简证：类似地可以证明 的情形0a 第6页/共27页第六页，共28页。证：（反证法）与已知条件(tiojin)矛盾。第7页/共27页第七页，共28页。Oxyab1x2x12xx 当 时，12xx 当 时，一、利用导数一、利用导数(do sh)(do sh)的符号判断单调性的符号判断单调性第8页/共27页第八页

2、，共28页。v 定理(dngl)1(函数单调性的判定法)v 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 v (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 v (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少 此定理不论(bln)对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f ()(x2x1) (x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f ()(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在a b上单调增加 证明 只证(1) 在a b上任取两点x1 x2 (x1x2) LagrangeL

3、agrange定理定理第9页/共27页第九页，共28页。xf (x)f (x)例1 确定函数 f(x)2x39x212x3 的单调(dndio)区间 解 这个(zh ge)函数的定义域为( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 导数为零的点为x11, x22 列表分析 函数 f(x) 在区间( 1和2 )上单调增加(zngji) 在区间1 2上单调减少 ( 1) (1 2) (2 ) y 2x3 9x2 12x 3 第10页/共27页第十页，共28页。解.导数(do sh)为零的点为x10 导数(do sh)不存在的点为x21, x3-1. 第11页/共27页第十一页，共28页。证

4、.类似地证明：21ln(1)2xxx第12页/共27页第十二页，共28页。 (1) 确定函数的定义域 (2) 求出导数 f (x) (3) 求出 f (x)全部(qunb)零点和不可导点 (4) 判断或列表判断 (5) 综合结论 确定(qudng)函数单调区间的步骤第13页/共27页第十三页，共28页。二、极值二、极值(j zh)(j zh)点与极值点与极值(j zh)(j zh)oxyoxy0 x1x“峰”和“谷”极值(j zh)定义 设函数(hnsh)y=f(x)在点x0的某邻域内有定义. (1)若对该邻域内任意一点xx0,恒有f(x)f(x0), , 则称f(x0)为f(x)的极小值极小

5、值,点x0为f(x)的极小值点极小值点；第14页/共27页第十四页，共28页。函数(hnsh)的极大值和极小值统称为函数(hnsh)的极值.极大值点和极小值点统称为极值点.极值是函数的极值是函数的局部性概念局部性概念，与最值不同；，与最值不同；极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .注注第15页/共27页第十五页，共28页。oxyoxy0 x1xoxy第16页/共27页第十六页，共28页。定理（极值定理（极值(j zh)(j zh)点的必点的必要条件）要条件）设函数 f(x)在点x0的某邻域(ln y)U内有定义，点x0是f(x) 极值点的必

6、要条件是：或证.第17页/共27页第十七页，共28页。证完第18页/共27页第十八页，共28页。问题问题(wnt(wnt)（定理(dngl)）设函数 f(x)在点x0的某邻域U内有定义，点x0是f(x) 极值点的必要条件是：或这是不一定这是不一定(ydng)(ydng)的！的！例如， 在 点3yx 0 x 第19页/共27页第十九页，共28页。定理定理(dngl)(dngl)（极值点的充分（极值点的充分条件）条件）充分条件充分条件(chn fn tio jin) I(chn fn tio jin) I第20页/共27页第二十页，共28页。 求极值求极值(j zh)(j zh)的步的步骤骤: :

7、第21页/共27页第二十一页，共28页。例例4 4.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf解解列表列表(li (li bio)bio)讨论讨论极大值极大值极小值极小值第22页/共27页第二十二页，共28页。例例5 5解解第23页/共27页第二十三页，共28页。充分条件充分条件(chn fn tio jin) II(chn fn tio jin) II证.由二阶导数以及驻点的定义(dngy)，可知以下(yxi)步骤 略第24页/共27页第二十四页，共28页。例例6 6解解( )0,fx 令令Mm第25页/共27页第二十五页，共28页。作业(zuy)习题(xt)四A组1415（2）16（4）17（3）第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结解.。此定理不论对于开、闭、有限或无穷(wqing)区间都正确.。解 这个函数的定义域为( )。导数为零的点为x11, x22。y2x39x212x3。导数为零的点为x10。(1) 确