函数极限的四则运算及复合函数的极限实用教案

1、 极限运算(yn sun)法则的理论依据 )(limaxf )()(xaxf 依据无穷小的运算(yn sun)法则定理法则 一.极限(jxin)的运算法则第1页/共24页第一页，共25页。第2页/共24页第二页，共25页。和的极限(jxin)等于极限(jxin)的和.乘积(chngj)的极限等于极限的乘积(chngj).商的极限(jxin)等于极限(jxin)的商(分母不为零).差一点 ! 结论成立的条件.第3页/共24页第三页，共25页。 设在某极限过程中, 函数(hnsh) f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则) 0)(lim ( )(lim)(l

2、im)()(lim . 4xgxgxfxgxf)( )(lim)(lim . 2为常数kxfkxfk)(lim)(lim)()(lim . 3xgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim . 1xgxfxgxf )(lim)(lim . 5 nnxfxf )(lim)(lim , )()( . 6xgxfxgxf则若在极限过程中第4页/共24页第四页，共25页。 二.复合函数(hnsh)的极限第5页/共24页第五页，共25页。注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. . , )( 0在定义域内的值是的“自变量”是函数uuufu第6页/共24页第六页，共25页。由极限(jxin)的定义, 即

3、要证明：证第7页/共24页第七页，共25页。综上所述：第8页/共24页第八页，共25页。 例例请想想(xin xin),为什么?第9页/共24页第九页，共25页。 初等(chdng)展开例例1 1解第10页/共24页第十页，共25页。分子分母(fnm)同时-有理化例例2 2解第11页/共24页第十一页，共25页。) )( (分子(fnz)有理化例例3 3解第12页/共24页第十二页，共25页。lim2nn求 . 21121121limlim2nnnn故 部分(b fen)分式法例例4 4解第13页/共24页第十三页，共25页。mnmnbamn

4、bxbxbaxaxannnmmmx , , , 0lim00110110证明)()(lim110110nnnmmmxxbxbbxxaxaax原式由，00)(limbaxGx即得所证.证例例5 5第14页/共24页第十四页，共25页。.35123lim2232xxxxxx求例例6 6解第15页/共24页第十五页，共25页。或者用下面的方法) 12(lim3xxx)112(lim323xxxx 涉及(shj)到两个无穷大的差例例7 7解第16页/共24页第十六页，共25页。所以(suy),由复合函数求极限法则这类复合函数的极限通常可写成这类复合函数的极限通常可写成 . 1lim0sinlimsin

5、00eeexxxx例例8 8解第17页/共24页第十七页，共25页。这是求幂指函数(hnsh)极限常用的方法:例例9 9解第18页/共24页第十八页，共25页。这是两个无穷大量相减的问题(wnt). 我们首先进行通分运算(yn sun), 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算(yn sun)法则(fz)求其极限. 解例例1010第19页/共24页第十九页，共25页。, 0 ,0 , 1)(xbxxexfx问 b 取何值时,)(lim0 xfx存在, 并求其值.若 由函数的极限与其由函数的极限与其(yq)(yq)左、右极限的关系左、右极限的关系, , 得得 . 2)(lim 0 xfx b =

6、2 , )(lim 0 xfx2) 1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,解例例1111第20页/共24页第二十页，共25页。，Nnxxnx ,1)1 (lim0并由此证明, 1)1 (lim0mnxxmnx其中, n, mN.求解例例1212第21页/共24页第二十一页，共25页。令则当 x 0 时, y 0, 故下面证明mnxxmnx1)1 (lim0. 变量(binling)代换第22页/共24页第二十二页，共25页。 . 0, 1ba解例例1313第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结极限运算法则的理论依据。乘积的极限等于极限的乘积.。商的极限等于极限的商(分母不为零).。lim f (x)、lim g(x) 存在, 则。注意这个条件, 缺了它定理不一定成立.。由极限的定义, 即要证明：。求有理分式函数 x x0 的极