郑州大学流体力学第7章理想流体多维流动基础

1、过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室1第第 7 7 章章理想流体多维流动基础理想流体多维流动基础过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室2l在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在在垂直于流动方向垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。的横截面上也要发生变化。l要研究此类问题，就要用要研究此类问题，就要用多维流动多维流动的分析方法。的分析方法。l本章主要讨论本章主要讨论理想流体理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研

2、究的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体粘性流体多维流动奠定必要的多维流动奠定必要的基础。基础。 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室3l本章内容本章内容n7.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 n7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析 n7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 n7.4 7.4 起始条件起始条件 边界条件边界条件 n7.5 7.5 理想流体运动微分方程的积分理想流体运动微分方程的积分 n7.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量n7.7 7.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理n7.8 7.8

3、 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 n7.9 7.9 二维涡流二维涡流 n7.10 7.10 速度势速度势 流函数流函数 流网流网n7.11 7.11 简单的平面势流简单的平面势流 n7.12 7.12 简单平面势流的叠加简单平面势流的叠加 n7.13 7.13 均匀等速流绕过圆柱体的平均匀等速流绕过圆柱体的平面流动面流动n7.14 7.14 均匀等速流绕过圆柱体有环均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动流的平面流动过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室47.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室57.1 7.1

4、微分形式的连续方程微分形式的连续方程l当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。律。l对于一定的控制体，必须满足对于一定的控制体，必须满足l它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 0ncvcsdvv dat 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室67.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l直角坐标系中微分形式的连续性方程直角坐标

5、系中微分形式的连续性方程n在流场中取出微元六面体在流场中取出微元六面体abcdefgn微元六面体中心点上流体质点的速度微元六面体中心点上流体质点的速度为为vx、vy、vzn密度为密度为n和和x轴垂直的两个平面上的速度和密轴垂直的两个平面上的速度和密度度2dxx 2dxx 2xxv dxvx 2xxv dxvx 2222xxxxvvdxdxvvxxdxdxxx过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室77.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l直角坐标系中微分形式的连续性方程直角坐标系中微分形式的连续性方程n在在x方向上，方向上，dt时间内通过左面流入的时间内通过左面流入的流体

6、质量为：流体质量为：ndt时间通过右面流出的流体质量为：时间通过右面流出的流体质量为：n则则dt时间内沿时间内沿x轴通过微元体表面的质轴通过微元体表面的质量净通量为量净通量为2dxt 2dxt 2xxv dxvt 2xxv dxvt ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室87.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l直角坐标系中微分形式的连续性方程直角坐标系中微分形式的连续性方程n在在x方向上，方向上，d

7、t时间内通过微元体表面的质量净通量为：时间内通过微元体表面的质量净通量为：n同理可得，在同理可得，在dt时间内沿时间内沿y轴和轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：轴方向流体质量的净通量分别为：n在在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx ()d d d d()d d d dyzvx y z tvx y z tyz d d d dyzxvvvx y z txyz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室97.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l直角坐标系中

8、微分形式的连续性方程直角坐标系中微分形式的连续性方程n在在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为n开始瞬时流体的密度为开始瞬时流体的密度为，经过，经过dt时间后的密度为时间后的密度为n在在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 d d d dyzxvvvx y z txyz ttttzyxd)d,( tzyxtzyxzyxttddddddddddd ncsv da cvdvt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室107.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l直角坐标系中微

9、分形式的连续性方程直角坐标系中微分形式的连续性方程n连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。制体表面上的净通量。n它适用于它适用于理想流体理想流体和和粘性流体粘性流体、定常流动定常流动和和非定常流动非定常流动。 d d d dd d d d0yzxvvvx y z tx y z ttxyz 0yzxvvvtxyz 可压缩流体非定常三维流动的连续性方程可压缩流体非定常三维流动的连续性方程 0vt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室117.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l

10、直角坐标系中微分形式的连续性方程直角坐标系中微分形式的连续性方程n定常定常n不可压缩定常不可压缩定常u物理意义：物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。 0yzxvvvtxyz 0t 0yzxvvvxyz const 0yzxvvvxyz 0vt 0v 0v 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室127.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l柱坐标系中微分形式的连续性方程柱坐标系中微分

11、形式的连续性方程n定常定常n不可压缩定常不可压缩定常11()()()0rzrvvvtrrrz 10zrrvvvvrrzr 11()()()0rzrvvvrrrz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室137.1 7.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程l球坐标系中微分形式的连续性方程球坐标系中微分形式的连续性方程n定常定常n不可压缩定常不可压缩定常22()(sin )()1110sinsinrvvv rtrrrr cot2110sinrrvvvvvrrrrr 22()(sin )()1110sinsinrvvv rrrrr 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室14【例

12、例】已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度v在在x，y两个轴方向的分两个轴方向的分量为量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在。且在z=0处，有处，有vz=0。试求。试求z轴方轴方向的速度分量向的速度分量vz。 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室157.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室167.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析l流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。l流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且流体微团在运动过

13、程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。还会发生变形运动。l一般情况下，流体微团的运动可以分解为一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动移动，转动转动和和变形变形运动。运动。 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室177.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析l在流场中任取一微元平行六面体在流场中任取一微元平行六面体n边长分别为边长分别为dx、dy、dz。nt瞬时瞬时a a点沿三个坐标轴的速度分量为点沿三个坐标轴的速度分量为vx、vy、vz。n顶点顶点m m速度分量可按照泰勒级数展开，速度分量可按照泰勒级数展开，略去二阶以上无穷小项求得。略去二阶以上无穷小项求

14、得。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室187.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析( , , )( , , )( , , )( , , )axyzvx y zvx y z ivx y z jvx y z k (,)(,)(,)(,)mxyzvxx yy zzvxx yy zz ivxx yy zz jvxx yy zz k xxxmxxyyzmyyzzzmzzvvvvvxyzxyzvvvvvxyzxyzvvvvvxyzxyz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室197.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析xxxmxxvzvyvvxxyvz 112121

15、22xxmxxxxxvvzzvvvvzzxyyvyyx 11112222zzyyvvyyvvzxxxx 1122xxzxxxymvyvvvxyvzxzvxxv 1122xyxzvyvvxvzxyz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室207.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析1122112211221122yzxxyyzyzxxyymxxmyyyzxxxvvvvxyzxvvvvvvvxyzxvvvvxvxvvvyzxyyzyyzvyzvyyzxxvz 21212121zmzyzzxyzzzxvvvvzxyzxvvvzxvvvvzxyzyzyx 线速度线速度xyzvvv线变

16、形速率线变形速率xxyyzzvxvyvz 剪切变形速率剪切变形速率121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 旋转角速度旋转角速度121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室217.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析l在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：n以流体微团中某点的速度作整体平移运动以流体微团中某点的速度作整体平移运动线速度线速度n绕通过该点轴的旋转运动绕通过该点轴的旋转运动旋转角速度旋转角速度n微团本身的变形运动微团本身的变形运动线变形速率、剪切变形速

17、率线变形速率、剪切变形速率()()()()()()mxxxzyyzmyyyxzzxmzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室227.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析loxyoxy坐标面内，坐标面内，t时刻矩形时刻矩形abcd的运动的运动xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室237.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n平移运动平移运动u矩形矩形abcd各角点具有相同各角点具有相同的速度分量的速

18、度分量vx、vy。导致矩形。导致矩形abcd平移平移vxt, 上移上移vyt, abcd的形状不变。的形状不变。xvt yvt xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室247.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n线变形运动线变形运动ux方向的速度差方向的速度差uy方向的速度差方向的速度差uab、dc在在t时间内伸长时间内伸长uad、bc在在t时间内缩短时间内缩短xxbxaxcxdxvvvvxvvxxxyydyaycybyvvvvyvvyyyxvx tx yvy ty x

19、vyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvx tx yvy ty x y 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室257.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n线变形运动线变形运动u定义：定义：单位时间单位时间内内单位长度单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体微团的流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线变形速率。线变形速率。u沿沿x轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为u沿沿y轴、轴、z轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为 xxxvvx tx txx yyvy zzvz xvx tx yvy ty x y 过

20、程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室267.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n线变形运动线变形运动n对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。表明流体微团在运动中体积不变。n三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。n不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。y

21、zxxyzvvvxyz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室277.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n角变形运动角变形运动dxbxbyayyyyyxxaxcxyycydyvvvvvvvvvvxvvxxxtanyyvvx txtxx tanxxvvy tytyy xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvy ty yvx tx x y 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室287.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n角变形运动角变形运动u角变形速度角变形速度：两正交微元流体边的：两正

22、交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量夹角在单位时间内的变化量u剪切变形速率剪切变形速率p该夹角变化的平均值在单位时间内该夹角变化的平均值在单位时间内的变化的变化p角变形速度的平均值角变形速度的平均值12yxzvvxy 12yzxvvyz 12zxyvvzx yxvvtxy xvy ty yvx tx x y 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室297.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n旋转运动旋转运动 流体微团只发生角变形流体微团只发生角变形 流体微团只发生旋转，不发生角变形流体微团只发生旋转，不发生角变形 流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动流体微团在发生角

23、变形的同时，还要发生旋转运动 xvy ty yvx tx x y 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室307.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n旋转运动旋转运动u旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量u角平分线的旋转量角平分线的旋转量u旋转角速度旋转角速度p单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值12yxzvvxy 11142222yxzvvtxy 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室317.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n旋转运动旋转运动u旋转角速度旋转角速度11122

24、2yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 222xyz 12xyzijkv 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室327.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析111222111222yzxxyzyyzzxxxyzyyzzxxxyzvvvxyzvvvvvvyzzxxyvvvvvvyzzxxy ()()()()()()mxxxzyyzmyyyxzzxmzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室337.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析l亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理 在一般情况下微小流体质团的

25、运动可以分解为三部分：在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：（1 1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动；）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动；（2 2）绕该点的旋转运动；）绕该点的旋转运动；（3 3）含有线变形和角变形的变形运动。）含有线变形和角变形的变形运动。l微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团l流体微团的运动分解定理流体微团的运动分解定理过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室347.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析l亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响：亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发

26、展有深远的影响：n由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分成成无旋运动和有旋运动无旋运动和有旋运动；n正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体能将流体变形速度与流体应力变形速度与流体应力联系起来，这对于粘性流体运动规律联系起来，这对于粘性流体运动规律的研究有重大的影响。的研究有重大的影响。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室357.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析l根据流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类根据

27、流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类n有旋流动有旋流动u流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。旋转运动，则称为有旋流动。u流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件）流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件）n无旋流动无旋流动 u如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。无旋流动。u流体微团的旋转角速度等于零（数学条件）流体微团的旋转角速度等于零（数学条件）102v 102v 过程装备与控制工程

28、教研室过程装备与控制工程教研室367.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析n无旋流动无旋流动u需要指出的是，需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 102v 0 0 xyz0v yyzzxxvvvvvvyzzxxy过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室37【例【例】给定直角坐标系中速度场给定直角坐标系中速度场vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各变形速度，并判断流场是否为不可压缩流场。求各变形速度，并判断流场是否为

29、不可压缩流场。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室38【例【例】给定两个流场：给定两个流场： （1）vx=-y，vy=x；vz=0； （2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。 求这两个流场的迹线和旋转角速度。求这两个流场的迹线和旋转角速度。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室397.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室407.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程l理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重

30、要理论基础。可以用牛顿第二定律加以推导。以用牛顿第二定律加以推导。n在流场中取一平行六面体在流场中取一平行六面体u边长分别为边长分别为dx，dy，dz u中心点为中心点为a(x,y,z)u中心点的压强为中心点的压强为p=p(x,y,z)u密度为密度为=(x,y,z)u因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力u作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为fx，fy，fz zyxa(x,y,z)2dxxpp2dxxppf过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室417.

31、3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程n微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度，根据牛顿第二微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度，根据牛顿第二定律定律 ：xxdvfmdt ()()22xxp dxp dxfdxdydzpdydzpdydzxxdvdxdydzdt zyxa(x,y,z)2dxxpp2dxxppf1xxdvpfxdt 1dvfpdt 11yyzzdvpfydtdvpfzdt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室427.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程n理想流体运动微分方程式（欧拉运动微分方程式）。理想流体运动微分方程式（欧拉

32、运动微分方程式）。n表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：在流表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。上面的重力与压力之和。n该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体可压流体和和不可压缩流体不可压缩流体，适用于，适用于有旋流动有旋流动和和无旋流动。无旋流动。 111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzvvvvpfvvvxt

33、xyzvvvvpfvvvytyyzvvvvpfvvvztxyz 1()vfpvvt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室437.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程l柱坐标系中的欧拉运动微分方程式柱坐标系中的欧拉运动微分方程式l球坐标系中的欧拉运动微分方程式球坐标系中的欧拉运动微分方程式2111rrrrrzrrzzzzzrzzvvvvvpvvvftrrzrrvvvvvpvvftrrzrvvvvvpvvftrrzz 2221sincot1sincot1sinsinrrrrrrrrrrvvvvvvvvpvftrrrrrvvvvvvvv vpvftrrrrrrvvvvvv

34、 vv vvpvftrrrrrr 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室447.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程l兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋）兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋）1xxxxxyzxvvvvpvvvftxyzx 1zzxxxxyxyzzxyyvvvvpvvvftxyvvvvvvzxxxxx i j k 2122vvvfpt 212()2xyzzyxvvpvvftxx 212()2yzxxzyvvpvvftyy 212()2zxyyxzvvpvvftzz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室457.3 7.3 理

35、想流体运动微分方程理想流体运动微分方程l兰姆方程兰姆方程n质量力有势质量力有势n正压流场正压流场 222xfyzzyvvpvvxt xyzfffxyz 111fffppppppxxyyzz 2122xyzzyxvvpvvftxx /fpdp 压强函数压强函数过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室467.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程l兰姆方程兰姆方程 222222222xfyzzyyfzxxzzfxyyxvvpvvxtvvpvvytvvpvvzt 222fvvpvt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室477.4 7.4 起始条件起始条件 边界条件边

36、界条件 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室487.4 7.4 起始条件起始条件 边界条件边界条件l对于不可压缩理想流体，未知量有对于不可压缩理想流体，未知量有vx、vy、vz、p四个，除三个运动微分方四个，除三个运动微分方程外，还有连续方程，联立可以求解；程外，还有连续方程，联立可以求解；l对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量，需补充物态方程，需补充物态方程，方可求解；方可求解；l对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量t，还需，还需补充能量方程，才能求

37、解；补充能量方程，才能求解；l满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的定解条件，包括起始条件和边界条件。定解条件，包括起始条件和边界条件。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室497.4.1 7.4.1 起始条件起始条件l方程组的解在起始瞬时（方程组的解在起始瞬时（t=0）应满足的条件，是起始瞬时流动参）应满足的条件，是起始瞬时流动参数在流场中的分布规律，即数在流场中的分布规律，即n起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常流起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常流动时

38、，可以不必给出。动时，可以不必给出。( , )( , )( , )( , )( , )( , )xxyyzzvvx y zvvx y zvvx y zpp x y zx y ztt x y z 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室507.4.2 7.4.2 边界条件边界条件l方程组的解在流场边界上应满足的条件。方程组的解在流场边界上应满足的条件。l边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动力学的，也可以是热力学的。力学的，也可以是热力学的。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室517.4.2 7.4.2

39、 边界条件边界条件l固体壁面固体壁面n理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空隙，壁面上流体质点的法向速度隙，壁面上流体质点的法向速度vln应等于对应点上壁面的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度vbn，即，即vln=vbn。n如果壁面静止不动，则如果壁面静止不动，则vln=0。n流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室527.4.2 7.4.2 边界条件边界条件l流体交界面流体交界面n若在交界面上两种流体互不渗透，它们在同

40、一点上的法向速度应相若在交界面上两种流体互不渗透，它们在同一点上的法向速度应相等，通常两侧的温度也是连续的，即等，通常两侧的温度也是连续的，即v1n=v2n，t1=t2n若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足p1-p2=(1/r1+1/r2)n若交界面是平面，若交界面是平面，r1=r2，则，则p1=p2n若交界面是自由表面，则若交界面是自由表面，则p=pambn若自由表面上是大气，则若自由表面上是大气，则p=pa过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室537.4.2 7.4.2 边界条件边界条件l无穷远处无穷远处l一般给定该处流体的流速一般给定该处流体

41、的流速v、压强、压强p 和密度和密度 。l流道进出口处流道进出口处l此处的条件需视具体情况而定，一般给出该处截面上的速度分布。此处的条件需视具体情况而定，一般给出该处截面上的速度分布。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室547.5 7.5 理想流体运动微分方程的积分理想流体运动微分方程的积分过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室557.5.1 7.5.1 欧拉积分欧拉积分l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋定常无旋流动流动l在流场中任取一有向微元线段在流场中任取一有向微元线段222020202fffvpxvpyvpz 2222

42、22222xfyzzyyfzxxzzfxyyxvvpvvxtvvpvvytvvpvvzt dx dy dz dldxidyjdzk 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室567.5.1 7.5.1 欧拉积分欧拉积分l正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的动能质量流体的动能v2/2、质量力位势能质量力位势能、压强势能压强势能pf之和在流场中之和在流场中保持不变。保持不变。2220222fffvvvpdxpdypdzxyz 202fvdp 22fvpc 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室57

43、7.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋定常有旋流动。流动。l流线与迹线重合流线与迹线重合l在流场中沿流线取一有向微元线段在流场中沿流线取一有向微元线段l在三个坐标轴上的投影分别为在三个坐标轴上的投影分别为 222222222fyzzyfzxxzfxyyxvpvvxvpvvyvpvvz dldxidyjdzk 222222222fyzzyfzxyxxzfxyxzyv dtvvpvvxvpvvyvpvvzdxdydzdtv dt xyzv dtvdxdydtdtzdv过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教

44、研室587.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋定常有旋流动。流动。l正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的动能质量流体的动能v2/2、质量力位势能、质量力位势能、压强势能、压强势能pf之和沿同一流之和沿同一流线保持不变。线保持不变。l一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。 222222222fyzzyxfzxxzyfxyyxzvpdxvvv dtxvpdyvvv dtyvpdzv

45、vv dtz 202fvdp 22fvpc 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室597.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋定常有旋流动。流动。 v2/2+pf=cl不可压缩重力流体，若取坐标轴不可压缩重力流体，若取坐标轴z方向向上：方向向上： =gz pf=p/ v2/2+gz+p/=cn如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流场中保持不变；场中保持不变；n如果流动有旋，这三项之和沿同一流线保持不变。如果流动有旋，这三项

46、之和沿同一流线保持不变。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室607.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋定常有旋流动。流动。 v2/2+pf=cl对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：n非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。如果流动无旋，单非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。如果流动无旋，单位质量气体的动能、压强势能之和在流场中保持不变；如果流动有位质量气体的动能、压强势能之和在流场中保持不变；如果流动有旋，这二项之和沿同一流线保

47、持不变。旋，这二项之和沿同一流线保持不变。1/c p 1 1/1/111/1fdppppc pc 221vpc 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室617.5.3 7.5.3 非定常流动沿流线的积分非定常流动沿流线的积分l沿流线取一有向微元线段沿流线取一有向微元线段 222222222xfyzzyyfzxxzyfxyyxvvpvvxtvvpvvytvvpvvzt /dlvdl v /xyzdxv dl vdyv dl vdzv dl v 222222222xfyzzyyfzxxzzfyzxyxyxvvpvvxtvvpvvytvvpdxdydzvdvvztlvvdlvvdlv 202

48、fvvdpdlt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室627.5.3 7.5.3 非定常流动沿流线的积分非定常流动沿流线的积分l不可压缩重力流体不可压缩重力流体n非粘性不可压缩重力流体非定常流动的能量方程。非粘性不可压缩重力流体非定常流动的能量方程。n即沿流线流体在即沿流线流体在1 1点处的总机械能等于在点处的总机械能等于在2 2点处的总机械能加上流动点处的总机械能加上流动的非定常所需要的能量。的非定常所需要的能量。202fvvdpdlt gz /fpp 212211221222llvpvpvgzgzdlt 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室63【例【例7-1】如图所

49、示为水平放置、间隙为如图所示为水平放置、间隙为、半径为、半径为r2的二圆盘，水由上的二圆盘，水由上圆盘中央半径为圆盘中央半径为r1的小管以速度的小管以速度v1定常地流入，若不计水流入的动量，定常地流入，若不计水流入的动量，试求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。试求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室64【例【例7-27-2】如图所示为盛有液体的等截面如图所示为盛有液体的等截面u u型管，两端通大气，管内液柱型管，两端通大气，管内液柱总长为总长为l。如果起始时刻液体两端自由面的高差为。如果起始时刻液体两端自由面的高差为h，之后液柱将在管，之后液柱将在管中

50、振荡，其振荡规律如何？中振荡，其振荡规律如何？过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室657.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室667.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 l自然界中流体的流动绝大多数是有旋的自然界中流体的流动绝大多数是有旋的n大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；n行进中的船舶后的尾涡区；行进中的船舶后的尾涡区；n充满微小涡旋的紊流流动；充满微小涡旋的紊流流动；n物体表面充满微小涡旋的边界层流动；物体表面充满微小涡旋的边界层流动；n叶轮机械内

51、流体的涡旋运动。叶轮机械内流体的涡旋运动。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室677.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 l流体微团流体微团旋转角速度旋转角速度的矢量表示的矢量表示l更普遍地用更普遍地用涡量涡量来描述流体微团的旋转运动来描述流体微团的旋转运动n涡量的定义涡量的定义n充满涡量的流场称为充满涡量的流场称为涡量场涡量场12v 2vrotv yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室687.6.1 7.6.1 涡线涡线l在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。l沿该线各流体

52、微团的瞬时转动轴线。沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。l涡线方程涡线方程 n非定常流动，涡线的形状和位置是随时间变化的，积分涡线微分方非定常流动，涡线的形状和位置是随时间变化的，积分涡线微分方程时，程时，t作为参变量；作为参变量；n定常流动，涡线的形状和位置保持不变，涡线微分方程中没有时间定常流动，涡线的形状和位置保持不变，涡线微分方程中没有时间变量变量t。( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室697.6.2 7.6.2 涡管涡管 涡束涡束l给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的

53、封闭曲线，通过封闭曲线的给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为涡管涡管；l截面无限小的涡管称为截面无限小的涡管称为微元涡管微元涡管；l涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束涡束；l微元涡管中的涡束称为微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝微元涡束或涡丝。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室707.6.3 7.6.3 涡通量涡通量 l在涡量场中取一微元面积在涡量场中取一微元面积da，其上流体微团的涡量为，其上流体微团的涡量为，则经，则经过微元面积的过微元面积

54、的涡通量涡通量为为l经过面经过面a的的涡通量涡通量l涡通量又称涡通量又称涡旋强度涡旋强度，若面，若面a是涡管的截面，则称是涡管的截面，则称j为为涡管强度。涡管强度。ajda djda 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室717.7 7.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室727.7.1 7.7.1 速度环量速度环量l在流场的某封闭周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的在流场的某封闭周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的标积沿周线的线积分，定义为标积沿周线的线积分，定义为速度环量速度环量，用符号，用符号表示表示n速度

55、环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分的绕行方向有关；的绕行方向有关；n规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正绕行前进方向的左侧；封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正方向形成右手螺旋系统。方向形成右手螺旋系统。()xyzv dlv dxv dyv dz 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室737.7.2 7.7.2 斯托克斯定理斯托克斯定理l在涡量场中，沿任意封闭周线的速度

56、环量等于通过该周线所张曲在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所张曲面的涡通量面的涡通量l斯托克斯定理的应用区域限制条件斯托克斯定理的应用区域限制条件n区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界n这种区域称为单连通域这种区域称为单连通域n否则称为多连通域否则称为多连通域kav dlda 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室74【例【例7-3】已知二维流场的速度分布为已知二维流场的速度分布为vx=-6y，vy=8x，试求，试求绕圆绕圆x2+y2=r2的速度环量。的速度环量。过程装备与控制工程教研室过程装

57、备与控制工程教研室75【例【例7-4】在二元涡量场中，已知圆心在坐标原点、半径在二元涡量场中，已知圆心在坐标原点、半径r=0.2m的圆区域的圆区域内流体的涡通量内流体的涡通量j=0.8m2/s。若流体微团在半径。若流体微团在半径r处的速度分量处的速度分量v为常为常数，它的值是多少？数，它的值是多少？过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室76【例【例7-57-5】已知理想流体的速度分布为已知理想流体的速度分布为 ，试求涡线方程以及沿封闭周线试求涡线方程以及沿封闭周线 的速度环的速度环量，其中量，其中a a、b b为常数。为常数。22,0 xyzvayzvv 222(0)xybz 过程装

58、备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室777.8 7.8 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室787.8.1 7.8.1 汤姆孙定理汤姆孙定理l正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化；封闭周线的速度环量不随时间变化；l正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不能自正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不能自行产生，也不能自行消失。行产生，也不能自行消失。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室797

59、.8.1 7.8.1 汤姆孙定理汤姆孙定理n理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动；n既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团停止旋转停止旋转；n流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量；n流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是成对出现的，每对涡旋

60、的强度相等而旋转方向相反成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向相反。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室807.8.2 7.8.2 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理l亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理n在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。n涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是自成封闭的管圈，涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是自成封闭的管圈，或在边界上开始、终止。或在边界上开始、终止。过程装备与控制工程教研室过程装备与控制工程教研室817.8.2 7.8.2 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理l亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒