动态电力系统第4章PPT课件

1、参考文献参考文献电力系统暂态稳定性的能量函数分析刘笙 上海交通大学出版社 1995直接法稳定分析付书裼、倪以信、薛禹胜 中国电力出版社 1999第1页/共69页一、一、概论概论 从能量的角度分析稳定问题从能量的角度分析稳定问题, ,从而快速判别稳定性。从而快速判别稳定性。 优点：优点： 可计及非线性大系统可计及非线性大系统 计算速度快，不必逐步仿真受扰运动轨迹计算速度快，不必逐步仿真受扰运动轨迹 能给出稳定裕度指标能给出稳定裕度指标 缺点：缺点： 模型较简单模型较简单 结果偏于保守结果偏于保守第2页/共69页稳定性分析历史回顾稳定性分析历史回顾 1818世纪末，由于瓦特发明的离心式调速器世纪末

2、，由于瓦特发明的离心式调速器有时会造成系统的不稳定有时会造成系统的不稳定使蒸汽机产生剧烈使蒸汽机产生剧烈的振荡。到了的振荡。到了1919世纪又发现船舶上自动操舵机世纪又发现船舶上自动操舵机的稳定性问题。这就迫使一些数学家用微分方的稳定性问题。这就迫使一些数学家用微分方程来描述和分析系统的稳定性问题。程来描述和分析系统的稳定性问题。第3页/共69页1867年英国物理学家年英国物理学家J.C.麦克斯韦发表麦克斯韦发表论调速器论调速器的文章的文章总结了无静差总结了无静差调速器的理论。调速器的理论。1876年俄国机械学家维什涅格拉茨基在法国科学院院报上发年俄国机械学家维什涅格拉茨基在法国科学院院报上发

3、表表论调节器的一般理论论调节器的一般理论的文章的文章进一步总结了调节器的理论。进一步总结了调节器的理论。1877年英年英国数学家国数学家E.J.劳思提出代数稳定判据劳思提出代数稳定判据即著名的劳思稳定判据。即著名的劳思稳定判据。1895年德国年德国数学家数学家A.胡尔维茨提出代数稳定判据的另一种形式胡尔维茨提出代数稳定判据的另一种形式即著名的胡尔维茨稳定即著名的胡尔维茨稳定判据。判据。Maxwell, J.C. “On Governors”. Proceedings of the Royal Society of London ，Vol.16(1867-1868): 270283.第4页/共6

4、9页Lyapunov第一法第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；Lyapunov第二法第二法是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。直接法发展历

5、程直接法发展历程 18921892年，年，LyapunovLyapunov经典论文经典论文 关于运动稳定性的一般理论关于运动稳定性的一般理论发表发表第5页/共69页李亚普诺夫李亚普诺夫（18571918）Lyapunov，Aleksandr Mikhailovich 俄罗斯数学家，物理学家。1857年生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。1876年入圣彼得堡大学，1892年获博士学位，1893年起任哈尔科夫大学教授。曾先后在圣彼得堡大学、哈尔科夫大学和喀山大学执教。 第6页/共69页 李亚普诺夫最初从事流体静力学理论研究，李亚普诺夫最初从事流体静力学理论研究，1892年开创性地提出

6、求解非线年开创性地提出求解非线性常微分方程的李亚普诺夫函数法，亦称直接法，由于这个方法的明显的几何性常微分方程的李亚普诺夫函数法，亦称直接法，由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，从而在科学技术的许多领域中得到广泛的应用和发展，直观和简明的分析技巧，从而在科学技术的许多领域中得到广泛的应用和发展，奠定了常微分方程稳定性理论的基础。成为研究常微分方程定性理论的重要手奠定了常微分方程稳定性理论的基础。成为研究常微分方程定性理论的重要手段。段。第7页/共69页LyapunovLyapunov第二法第二法 由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总

7、能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。动系统是稳定的。 LyapunovLyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一

8、些纯数学系统，毕竟还没有一个定义止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，的简便方法。为了克服这个困难，LyapunovLyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为定义了一个虚构的能量函数，称为LyapunovLyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足LyapunovLyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为稳定性定理的假设条件，都可作为LyapunovLyapunov函数（其构造可能十分困

9、难）。函数（其构造可能十分困难）。第8页/共69页第9页/共69页第10页/共69页第11页/共69页)(S)(SeX第12页/共69页)(S)(SeX 若(,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的。对于线性定常系统来说,上述定义中的实数(, t0)可与初始时刻t0无关,故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价。但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。第13页/共69页)(S)(SeX必要条件：必要条件：只有一个平衡点。只有一个平衡点。对于非线性系统,渐近稳定性是一个局部性的概念,而非全局性的概念。第14页/共69页第15页/共69页第16页/共69页第17页

10、/共69页2x0 x)(tx1x0)(002221xVCxx=+12221Cxx=+22221Cxx=+第18页/共69页第19页/共69页第20页/共69页1x0 x)(tx0=ex第21页/共69页第22页/共69页第23页/共69页1x2x0 x0)(tx第24页/共69页第25页/共69页线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近定的。然而在非线性系统中

11、，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。义完全不同。 如果要具体检验一个实际非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则仅用前述如果要具体检验一个实际非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则仅用前述非线性系统的线性化模型之稳定性分析，即非线性系统的线性化模型之稳定性分析，即Lyapunov第一法是远远不够的，必第一法是远远不够的，必须研究没有线性化的非线性系统。为此有如下几种基于须研究没有线性化的非线性系统。为此有如下几种基于Lyapunov第二法的方法第二法

12、的方法可达成这一目的。如克拉索夫斯基方法、可达成这一目的。如克拉索夫斯基方法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶变量梯度法、鲁里叶(Lure)法，以及波波夫方法等。法，以及波波夫方法等。第26页/共69页第27页/共69页在电力系统中的应用：在电力系统中的应用：2020年代初，等面积定则年代初，等面积定则19581958年，年，AylettAylett，能量积分判据，能量积分判据19661966年，年，GlessGless等，明确提出等，明确提出7070年代末，取得重大进展。三大主导流派：年代末，取得重大进展。三大主导流派：加速度法：加速度法：Ribbens-pavella RUE

13、P法：法：Kakimoto，Athy etc. 相关不稳定平衡点法相关不稳定平衡点法 RUEPRelated Unstable Equilibrium Point PEBS法：势能界面法法：势能界面法 PEBSPotential Energy Boundary Surface第28页/共69页jF8080年代以来：年代以来： 单机能量函数法：单机能量函数法：IMEFIMEF，19831983 结构保留能量函数法：结构保留能量函数法：SPEF，1987 EEAC法：薛禹胜法：薛禹胜，扩展等面积法，扩展等面积法， 1988 EEACExtended Equal Area Criteria BCU法

14、法 ：江晓东，：江晓东，1991 Boundary of Stability based Controlling Unstable Equilibrium Point Method 基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法第29页/共69页 直接法的简单类比：直接法的简单类比：， v h H UEP 对于一个滚球系统 ，当滚球系统无扰动时，滚球位于稳定平衡点SEP。受扰后，滚球位于高度h处时，其速度为v。设球的质量为m，则滚球具有的总能量为0mghmv21V2+=+=势能动能第30页/共69页当滚球到达UEP点 速度v=0，这时滚球的总能量为 mgHVcr=Vcr称

15、为临界能量 处，稳定到滚球在摩擦力作用下回处，临界稳定滚球停在稳定性滚球将滚出容器，失去SEPVVUEPVVVVcrcrcr=根据运动学原理，若第31页/共69页关键：关键： 如何对一个实际系统构造一个合适的能量函数。 如何确定与系统临界稳定状态相对应的临界能量，从而通过比较 判别稳定性。VVVcr=第32页/共69页二、单机无穷大系统直接法暂态稳定分析二、单机无穷大系统直接法暂态稳定分析XLXT2XT1若发电机采用经典数学模型，忽略原动机和调速器动态，忽略励磁系统的动态，则系统的数学模型可写为：ddtMddtPPme=mPsin=XVEeP式中，为转子角， 为转子角速度与 的偏差M为发电机惯

16、性时间常数为机械输入功率为电磁功率。n第33页/共69页ttc=P,和PP受扰条件假设为：在t=0时线路II发生某种短路故障，时切除故障线路。故障前、故障期间及故障切除后的电磁功率 与功角的关系如图suPuSSoCPmPIPIIPIIIABC0C第34页/共69页故障切除瞬间的动能可表示为：故障切除瞬间的动能可表示为： AdPPddtdMMVccIImcck加速面积=00)(212故障切除瞬间，系统的势能定义为以故障切除后系统的稳定平衡点s为参考点到故障切除后的点c的减速面积，即：BdPPVcSmIIIcp减速面积=)(第35页/共69页从而，系统在扰动结束时的总暂态能量为：)()(212BA

17、dPPMVVVcSmIIIccpckc+=+=+=面积Vcr)()(CBdPPVuSmIIIcr+=面积 将系统处于不稳定平衡点u时，系统以s点为参考点的势能作为临界能量 ，则：crcVV 若，即面积(A+B)面积(B+C) 或面积A面积C则系统第一摇摆稳定 等面积定则等面积定则第36页/共69页三、三、多机系统直接法暂态稳定分析多机系统直接法暂态稳定分析目标目标 预想事故条件下的临界切除时间预想事故条件下的临界切除时间t tcrcr步骤：步骤： 构造构造故障后故障后系统的系统的LyapunovLyapunov函数或能量函数函数或能量函数V(X)V(X) 对给定的故障，寻找对给定的故障，寻找V

18、(X)V(X)的临界值的临界值V Vcrcr 对故障后系统的暂态方程进行仿真对故障后系统的暂态方程进行仿真, ,直至直至 V(X)=Vcr,V(X)=Vcr,对应时刻为对应时刻为tcrtcr关键关键Vcr第37页/共69页1.多机电力系统暂态能量函数多机电力系统暂态能量函数经典模型：经典模型：发电机：发电机：n+m个节点个节点 n个节点个节点n ,1,=i )(eimiiiiiPPdtdMdtd=负荷：恒定阻抗负荷：恒定阻抗网络：收缩至发电机内节点网络：收缩至发电机内节点GredIEYIYV=第38页/共69页Pein ,1,=i )cos()sin(, 12*1*jinijijjiijiii

19、jnjijieiieeiDCGEEYERIERP+=iiiEE=ijjiijBEEC =ijjiijGEED =iiiiiijBGY+=ijijijjBGY+=电磁功率 可写为：其中为发电机的内电势为仅保留发电机内电势节点后导纳短阵中的对角元和非对角元对应的自导纳和互导纳。第39页/共69页暂态稳定研究的是发电机相对运动，需确定参考暂态稳定研究的是发电机相对运动，需确定参考坐标的相位角。坐标的相位角。MARMAR坐标坐标（machine angle referencemachine angle reference） 以第以第n n台发电机为参考机台发电机为参考机 1-n,1,=i -)()()

20、()(nenmnieimiMPPMPPnininidtddtd=第40页/共69页 COICOI坐标坐标（center of inertiacenter of inertia） 以系统惯性中心为参考以系统惯性中心为参考COIiiniMM=11COIiiniMM=11定义： =niiMM1ddtCOICOI=这里，并满足第41页/共69页n,1,=i COIiiCOIii=COI坐标下坐标下，定义新的发电机转子角度和角速度，定义新的发电机转子角度和角速度显然，显然，011=iniiiniiMM第42页/共69页n ,1,=i COIieimiiiiiPMMPPdtdMdtd= =+=+=nini

21、nijjiijijiijjnijiijniiiimieinimiCOIDPDCGEPPPP1111, 1121)cos(2)cos()sin()(CCijji=DDijji=sin()sin()ijji= cos()cos()ijji=COI坐标下发电机转子运动方程为：其中推导利用了关系式： 2iiimiiGEPP=第43页/共69页能量函数推导能量函数推导: 1212,nnn,1,=i 0)(0=COIieimiiiPMMPPf 为简化起见，将由变量 所组成的矢量表示为（ ），也表示为状态空间的点。对于故障切除后系统的稳态平衡点和不稳定平衡点，可由下式中的右端项等于零来确定，即 )0 ,(s

22、)0 ,(u其中稳定平衡点用 表示不稳定平衡点用 表示,第44页/共69页多机系统的暂态能量函数实际上是单机无穷大系统中能量函数的一种推广，即定义为： 21121iCOIinieimiiniiPKdPMMPPMVVVisi=+=+= )()cos( )cos()cos()(21111111121 =+=+=+=+=ninijjijiijninijsjsijiijnisiiiiniijisjsidDCPMV第45页/共69页)()sin()sin(1111, 1jininijjiijijininijijdCdCjisjsiisi= =+=)()cos()(cos1111, 1jininijjii

23、jijininijijdDdDjisjsiisi+= =+=+=01= =niiCOIiisidPMM推导利用了关系式：第46页/共69页注记 能量函数由三部分组成： 动能项 势能项（转子位能与电磁储能） 耗散项与积分路径有关，近似以线性 路径计及或忽略 函数正定性无法确定 )()cos( )cos()cos()(21111111121 =+=+=+=+=ninijjijiijninijsjsijiijnisiiiiniijisjsidDCPMV第47页/共69页u,0 )cos()cos()()0 ,(1111sjsiujuininijijsiuniiucrCPVVi= =+=与单机系统类似

24、，系统的临界能量将由不稳定平衡点（ ）处的暂态势能决定，即： 多机电力系统在故障后，系统暂态稳定的判据为： VVcccr(,)第48页/共69页2.稳定域估计稳定域估计经典法经典法：又称：又称Closest UEPClosest UEP 法。求出全部法。求出全部UEPUEP，共有（共有（2n-1-1）个。每一个失稳模式对应一个）个。每一个失稳模式对应一个临界势能临界势能 ，取最小者作为，取最小者作为Vcr，十分保守，耗，十分保守，耗时。时。不稳定平衡点不稳定平衡点UEP)0 ,(u1nn2n1n1nC1nCC12n台机失稳二台机失稳一台机失稳）个（机系统失稳模式 )0 ,(min(ucrVV=

25、第49页/共69页 经典法没有考虑故障地点对稳定的影响，经典法没有考虑故障地点对稳定的影响，因而十分保守因而十分保守，无法实用。，无法实用。 研究表明，对于一特定故障，在所有研究表明，对于一特定故障，在所有 种失稳模式中，必有一种是真正合理的，即系种失稳模式中，必有一种是真正合理的，即系统以这种模式趋于失稳。由于这种模式所对应统以这种模式趋于失稳。由于这种模式所对应的与故障地点、故障类型等有着紧密的关系，的与故障地点、故障类型等有着紧密的关系，因此，在以后的研究中提出了因此，在以后的研究中提出了RUEP 法等方法法等方法为暂态能量函数法稳定分析向实用法迈进了一为暂态能量函数法稳定分析向实用法迈

26、进了一大步。大步。()211n第50页/共69页加速度法加速度法 在t=0时刻求各发电机的加速度 设第i台发电机加速度最大，选取近似临界能量 仿真受扰动态方程至 ，重新计算加速度并排列。 仿真受扰动态方程至 ），（其中020,)0 ,(siuucrVV=crVV=)0 ,(ucruVV=crcrtVV=第51页/共69页RUEPRUEP法法又称又称CUEP 法。法。RUEPRelated Unstable Equilibrium PointCUEPControlling Unstable Equilibrium Point 不稳定平衡点不稳定平衡点UEPUEP是方程是方程1-n,1,=i 0)

27、(0=COIieimiiiPMMPPf的解。的解。 一般用一般用NewtonNewton法求法求稳定平衡点稳定平衡点SEP，仅一个。，仅一个。 用用DFPDFP法求不稳定平衡点法求不稳定平衡点UEPUEP较合适。即求标量函较合适。即求标量函数：数：=112)()(niifF最小第52页/共69页RUEP法步骤：（1）对于给定的故障情况，沿系统持续故障轨迹 求出使函数 取极大值时的转子角度， 并将它表示为 （2）由 形成一个指向UEP的向量 并规格化为方向向量hSSS)()(112=niifFSSSS（3）从 出发，沿h方向求解一维极小化问 题，即SSusszzhzzzFzF)(,)(0,)()

28、(min*=+=且其中第53页/共69页（4）以 为起点，用DFP法求解1-n,1,=i 0)(0=COIieimiiiPMMPPfuu（5）仿真受扰动态方程至 crcrtVV=sssuu第54页/共69页PEBSPEBS法法思路：对复杂系统寻求一种低维系统的稳定边界，思路：对复杂系统寻求一种低维系统的稳定边界，从从 空间转向空间转向 子空间，即在角度空间寻求势子空间，即在角度空间寻求势能最大的点，作为能最大的点，作为V Vcrcr的一种估计。的一种估计。),(在在 空间，空间， 是一族曲面（线），可以是一族曲面（线），可以映射到映射到 空间，并转换成空间，并转换成 的的一族曲面（线）一族曲面

29、（线）等势面（线）等势面（线）),( ),(kV= )(lVp=第55页/共69页PEBSPEBS定义定义通过各通过各UEPUEP，并和，并和等势面（线）正交，从而反映等势面（线）正交，从而反映Vp梯度方向的曲面。梯度方向的曲面。性质性质0)()(0)()(0)()(111111=nisiiinisiiinisiiifff在在PEBSPEBS内内在在PEBSPEBS上上在在PEBSPEBS外外第56页/共69页持续故障轨迹与持续故障轨迹与PEBSPEBS相交的点接近相交的点接近RUEPRUEP，且此时，且此时与与RUEPRUEP法的区别：法的区别：V Vcrcr的确定。的确定。单机无穷大系统：

30、单机无穷大系统：PEBS RUEP 在在 上，上，max)(pVumax)(pV多机系统多机系统：RUEPRUEP难求，于是在难求，于是在持续故障轨迹上搜索持续故障轨迹上搜索V Vp p最大的点最大的点 Vcr第57页/共69页PEBS法步骤：（1）对于给定的故障情况，沿系统持续故障轨迹 计算每一时段的Vp。（2） 求Vp的最大值。 比较 与前一时段 之值， 若 ，用插值法求出最大的Vp 在每一时段，计算 ，直至0)()(11=nisiiif)(npV)1( npV0)1()(npnpVV)()(11=nisiiif，认为此时的Vp 最大（3）仿真受扰动态方程至 crcrtVV=第58页/共6

31、9页SEP0SEPRUEP持续故障轨迹持续故障轨迹临界故障轨迹临界故障轨迹tcrPEBS第59页/共69页BCU 法是Chiang 等提出的基于稳定域边界的主导不稳定平衡点方法。用来改进对RUEP的识别。该方法先按持久故障轨迹积分，直到故障中的角度矢量和故障后的功率失配矢量的内积改变符号为止；然后从该点开始，对一组梯度动态方程积分，并搜索梯度最小的点；再以后者为起点用一般方法计算RUEP。 BCU 法是PEBS 方法与主导不稳定平衡点方法的结合。 BCU 法可以避免给出临界能量的错误估计,改进了PEBS 方法,但仍然没有克服其保守性。Chiang H, Wu F F, Varaiya P P. A BCU