平面向量的数量积及运算律

1、平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4. 掌握向量垂直的条件 .教学重点： 平面向量的数量积定义教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型： 新授课教学过程 ：一、引入：力做的功：W = |F | |s|cos，是F与 s 的夹角二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与，作 OA a， OB ，则 （ 0）叫 a 与的夹角 .说明：（1）当 0 时， a 与同向；（ 2）当 时， a 与反向；

2、（ 3）当 时， a 与垂直，记 a ；2（ 4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. 范围 0 1802平面向量数量积 （内积）的定义：已知两个非零向量a 与，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos叫 a 与的数量积，记作 a b，即有 a b = |a|b|cos，（ ）. 并规定0 与任何向量的数量积为。0探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成 a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而 a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“

3、3;”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 .（3）在实数中，若a0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a0，且 a b=0，不能推出 b=0。因为其中 cos有可能为 0。（4）已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bca=c。但是 a b = b ca = c如右图：a b = |a|b|cos= |b|OA|，b c = |b|c|cos= |b|OA|a b =b c但ac(5)在实数中，有 (a b)c = a(b c)，但是 (a b)ca(b c)显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与量，而一般 a 与 c 不共线。3“投影”的概

4、念 ：作图a共线的向定义： |b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|。4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos的乘积。5两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量。1e a = a e =|a|cos2a ba b = 03当 a 与 b 同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b = |a|b|。特例： a a = |a|

5、2 或 | a |a aa b4cos=| a | b |5|a b| |a|b|三、讲解范例：例 1 判断正误，并简要说明理由. a· 0 0； 0· a 0； 0 AB BA ； a· a；若 a0，则对任一非零 有 a· 0； a· 0，则 a 与中至少有一个为 0；对任意向量 a， 都有（ a·） a（·）； a 与是两个单位向量，则 a .例 2 已知 a 3， 6，当 a，a ，a 与的夹角是 60°时，分别求 a· .例 3 判断下列命题的真假：（ ） 在 ABC中，若AB BC0，则ABC

6、是锐角三角形；1（ 2） 在 ABC中，若 AB BC0，则 ABC是钝角三角形；（ 3） ABC为直角三角形的充要条件是AB BC0 .例 4 试证明：若四边形ABCD满足 ABCD0,且 AB BC0, 则四边形 ABCD为矩形 .例 5 设正三角形 ABC的边长为2, ABc, BCa, CAb, 求a bb cc a.四、小结 通过本节学习，要求掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题课后反思：1. 概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易

7、见的错误，如：1. 已知 ABC中，°，求 BC · CA . 对此题，有同学求解如下：解：如图， BC ， CA ，°， BC · CA BC · CA cos5×8cos60° 20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 BC 与 CA 两向量的起点并不同，因此，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 C的补角 120°.2. 向量的数量积不满足结合律分析：若有（ ·） ·（·），设、夹角为 ，、夹角为 ，则( · )

8、 ·cos·，·( ·) · cos .若 ， ，则 ，进而有：（· ） · ( · )这是一种特殊情形，一般情况则不成立. 举反例如下：已知， 2 ，与夹角是 60°，与 夹角是 45°，则：( · ) ·（ ·cos60°） 1 ，2 ·( · ) （· cos45°） 而 1 ，故（·）· ·（ · ）2平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1. 掌握平面向量数量积运算

9、规律；2. 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 . 教学重点： 平面向量数量积及运算规律 .教学难点： 平面向量数量积的应用教学过程 ：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念2平面向量数量积（内积）的定义：3“投影”的概念 ：定义： |b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影。4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos的乘积。5两个向量的数量积的性质：C设 a、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量。（1）e a =

10、a e =|a|cos；（2）aba b = 0（3）当 a 与 b 同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b =|a|b|。特例： a a = |a|2 或 | a |a a（4）cos=a b；| a | b |（5） |a b| |a|b|6判断下列各题正确与否：1若 a = 0，则对任一向量 b，有 a b = 0。()2若 a0，则对任一非零向量 b，有 a b0。( )3若 a0，a b = 0，则 b = 0。( )4若 a b = 0，则 a 、b 至少有一个为零。()5若 a0，a b = a c，则 b = c。( )6若 a b = a c，则

11、b = c 当且仅当 a0 时成立。()7对任意向量 a、b、c，有 (a b) ca (b c)。()8对任意向量，有22。()aa = |a|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律： ab = b a2数乘结合律： (a) b =(a b) = a (b)3分配律： (a + b) c = a c + b c说明：（ 1）一般地， (a·) a（ · ）（2）a· · ， 0a（3）有如下常用性质： a a ，（a）（） a·a· · · ( a ) a 2a·三、讲解范例：例 1 已知 a、b

12、 都是非零向量，且与 b 的夹角。a + 3b 与7a5b 垂直， a4b 与7a2b 垂直，求a例 2 已知 | a|=3,| b|=4( 且 a 与 b 不共线 ) ，当且仅当 k 为何值时，向量 a+kb 与 a- kb 互相垂直？例 3 已知 a、b 是非零向量，设 m=| a+tb|.(1) 求当 m 取最小值时，实数 t 的值；(2) 证明当 m 取最小值时，向量 b 和 a+t b 垂直 .例 4求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。例 5 四边形 ABCD中， AB a， BC ， CD ， DA ，且 a· ··· a，试

13、问四边形 ABCD是什么图形 ?.课后反思：1. 常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和 ( 差) 公式在解题中的应用较为广泛 . 即 ( ab) a a·bb ，（ a b） a a·bb上述两公式以及 ( ab)( ab) a b 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用 .2. 应用举例例 1已知 a， b， a·b，求 a b， ab.解： a b （ a b） a a· b b ×（） ab23 ，（ ab） （ab） a 2a·bb 2 2×（ 3）× 35， ab35

14、 例 2已知 a 8， b 10， ab 16，求 a 与 b 的夹角 ( 精确到° ). 解：（ ab） （ ab） a 2a· b b a 2a· b b ×× ， 23 ， °40平面向量的数量积及运算律（3）教学目的：1. 掌握平面向量数量积运算规律；2. 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 . 教学重点： 平面向量数量积及运算规律 .教学难点： 平面向量数量积的应用教学过程 ：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念2平面向

15、量数量积（内积）的定义：3“投影”的概念 ：定义： |b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影。4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos5两个向量的数量积的性质：C的乘积。设 a、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量。(1) e a = a e =|a|cos；(2) aba b = 0(3) 当 a 与 b 同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b =|a|b|。特别的 a a = |a|2 或 | a |a a(4) cos =a b；| a | b |(5) |a b|a|b|6.平面

16、向量数量积的运算律1交换律： ab = b a2数乘结合律：3分配律： (a +(a) b =(a b) =b) c = a c + b ca (b)二、例题例1已知 a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（）（ 1） | a b | | a | | b |a / b;（ 2） a、b反向a b| a | | b |;（ 3） ab| ab | | ab |;（ 4） | a | | b | A1 B2| a c | |b c |.C 3D 4例 2 已知 |a|=4,|b|=5,当（ 1） a/b, (2) a b ， （3）a 与 b 的夹角为 30o 时，分别求 a 与 b 的数量积 .例3已知A B C, DA ,Ba 且,B C |b| 试 用a 向 b量a、b表示 BD、AD,并 计 算B DA,判C断与B D的位置A