151曲边梯形的面积

1、曲边梯形的面积 一般地一般地, ,如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I上的图象上的图象是一条连续不断的曲线是一条连续不断的曲线, ,那么就把它称为区间那么就把它称为区间I上上的的连续函数连续函数. . 1. 1.什么是区间什么是区间I I上的连续函数上的连续函数. .aboxyaboxy 2.2.什么叫曲边梯形什么叫曲边梯形? ? 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,我们把由直线我们把由直线 , , ,ax )(babx 和曲线和曲线 所围成的图形称为曲边梯形所围成的图形称为曲边梯形. .)(xfy 0yOx y a b y=f (x)x=ax=b 怎样求这样的曲边梯形

2、的面积呢怎样求这样的曲边梯形的面积呢? ?)(xfy Ox y a b y=f (x)x=ax=b 曲边梯形的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积 曲边梯形的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积 曲边梯形的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积

3、曲边梯形的面积将圆分成将圆分成16等份等份 曲边梯形的面积长长(a)(b)宽宽平分平分16等份等份平分平分32等份等份 曲边梯形的面积rC2 2r r因为因为: 长方形面积长方形面积 = 长长 宽宽所以所以: 圆圆 的的 面面 积积 = r r 22r2 2=r r y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得 y =

4、 f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A A A1 1+ + A A2 2 + + + + A An n 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 自主探究自主探究 图中的图形可看图中的图形可看成成:x=0,x=1,y=0:x=0,x=1,y=0和和y=xy=x2 2所围成的曲边所围成的曲边梯形梯形, ,它的面积如何它的面积如何计算呢计算呢? ? O n1

5、n2nknnxOy2xy ,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0:n,1n1 , 01 个小区间分成将它等个点隔地插入上间在区间分割.n1n1inix,n, 2 , 1ini,n1ii 其长度为个区间为记第ox1y2xy n1ini轴的个点作分别过上述x1n.,.,121 niinSSSSsn显然它们的面积记作如图个小曲边梯形把曲边梯形分成垂线 直线段近似轴的就是用平行于上看从图形处的函数值它近似地等于左端点不妨认为似等于一个常数近的值变化很小函数上在区间时很小即很大当如图记近似代替xnifnixxfninixnxxf,.11,1,.222 ox1y2xy n1inin1i nix12xy y

6、o., 2 , 1111, ,1,.2ninnixnifSSSSniniiiii 则有以直代曲小范围内即在局部近似地代替用小矩形的面积上在区间这样边地代替小曲边梯形的曲ox1y2xy n1inin1i nix12xy yo nnixnifSSSnininiinn111,232111 为图中阴影部分的面积由求和n1n1n102n1n1n2 61n2n1nn13.n211n1131SSSn的近似值从而可得 .61n2n1n1n21222 可以证明可以证明n1i nix12xy yo .312111131lim11limlim,2111131,0,20, , 8 , 41 , 041 nnnifnS

7、SSnnSxnnninnnn从而有趋向于时趋向于即趋向于无穷大当可以看到上图等份等分成分别将区间取极限 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情况又怎样情况又怎样作为近似值作为近似值的函数值的函数值处处取任意取任意吗吗这个值也是这个值也是若能求出若能求出的值吗的值吗用这种方法能求出用这种方法能求出处的函数值处的函数值点点上的值近似地等于右端上的值近似地等于右端区间区间在在如果认为函数如果认为函数中中近似代替近似代替在在探究探究 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,

8、inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值的方法求出其面积值的方法求出其面积似代替、求和、取极似代替、求和、取极也可以采用分割、近也可以采用分割、近我们我们所示的曲边梯形所示的曲边梯形对如图对如图一般地一般地abxy xfy o af bf15.1 图图巩固提高巩固提高2xn 过每个分点作过每个分点作x轴的垂轴的垂解解:(1)分割分割:将区间将区间0,2n等分等分,则则每个区间每个区间212,iinn（）的长度为的长度为线线,将原曲边梯形分割为将原曲边梯形分割为n个小个小曲边梯形曲边梯形;求直线求直线x=0,x=2,y=0与曲线与曲线y=x2所围成的曲边

9、梯形的所围成的曲边梯形的面积面积 (2)近似替代近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形个小矩形,当当n很大时很大时,用这用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积形的面积S;(3)求和求和22112121212()()221()nnniiniiiSfxfnnnifnn （）（）（）22238123(1) nn 222121121.6nnnn(4)取极限取极限limnnSS即曲边梯形的面积为即曲边梯形的面积为83练习：练习：p42121lim()lim( )nninniSSSSfx2 ( )2/01tv ttkm hthkm 如汽车做变速直线运动，在时刻 的速度为（单位：），那么它在（单位： ）这段时间内行驶的路程S（单