一元函数的连续性

1、NO.*第二章一元函数的连续性§ 2.1连续函数的基本性质及其有关证明题要点 要证f (x)在I上连续，只要证x/xo w I , lim f (x) = f (xo ) x-xo常用方法：(1)利用定义：V£>o, 36 >0,当 x-x0 时，f(x)f(x0 b<£； (2)利用左右极限:f (xo +0) = f (x° F f (x0 0 )(3)利用序列的语言：X/xn t xo,有f(xn)T f(xo)(4)利用邻域的语言：vs>o, ：36>o,使得 f x0 6,x0+S )Jc(f(xo )% f(x0

2、 )+s);(5)利用连续函数的四则运算性质.例1设f(x)是a,b止的单调递增函数，其值域为f(a)f(bj.证明f(x)在b,b上连续.证明(反证法)假若结论不成立，即存在x0 a,b 使彳导f(x)在x0不连续.由于f (x)是单调递增的，xo是第一类间断点(P73, Ex 6).因此f(xo )f(xo -0 )W f(xo +0) f(xo )中至少 有一个大于 0(否则若 f(xo )<f (xo -0 ) f(xo +0) W f(x0 ),则 f(xo +0) Wf (xo A f(x0 -0), 而 f(x)是单调递增的，f(x00) Ef(x0 +0), f (x0

3、+0) = f(x0 )=f(x0 0 四盾！)不妨设f (xo )_ f (xo 0 )>0,即f (xo卜f (xo 0 )从而f (xo万f (xo -0 )之间的任何数都不在f(a)f(b M内.再由f(x)是单调递增的，矛盾！故f(x)在la,b上连续. r 1例2证明Riemann函数r(x)= " ,当x =：,。为既约分数，q >0,在无理点上连续，在有理 、0,当用无理数点上间断.证明 (1)先证R(x)在有理点上间断.设x0为有理点,x0 =-p (为既约分数，q>0).则 qR(x0)=1)0.由无理点集在实数集中的稠密性，存在无理点列IxnU

4、 x0(当nT s时)，但q|R(xn )-R(x0 j = o- =->0 (对任意正整数n),即R(xn)不收敛到R(x0).所以R(x)在有 q q理点处不连续.(2)再证R(x)在0,1用无理点上连续.设为xow 0,1比理点，则R(x0) = 0. X/8A0,由R(x)的 定义可知，R(x)之名的点x在0,1】上最多只有有限多个(事实上，要R(x) 土名的x必须为有理 点设x =E ,则R(-p) =->&, 0p <q<-.可见满足此不等式的有理数p最多只有有限q q q；q个).分别记为 Xi , x2，xn.令 d =min 4 x0 , xn

5、，xo，x1 x0 h>0 ,则在(x0 &x0 +6)内不含有 R(x)之名的点，即有|R(x)Rx0卜 R(x|)m名.所以R(x)在0,1内无理点上连续.(3) R(x)以1为周期.事实上，x为无理数，R(x)=0=R(x+1)；若x=P，q>0,p,q为互质 q整数.则1 +x =q，而P +q与q互质整数，所以1 +x也为有理数，所以R(x)=1 =R(x+l qq故R(x)以1为周期.(4) R(x)在一切无理点上连续.注 R(0)=1，因0=上为既约分数且q>0,只能有p=0,q=1. q例3若f (x)在(0,1步有定义，且ex f (x)与e应(0,

6、1)内都是单调递增的，试证f (x)在(0,1)内连续.证明(1)任取x0w(0,1 )因e,t施(0,1)内单调递增知，当x>x0时，有e,x _e，x0 , ef x0 _ef x , f x。, f x (1),即f(x)单调递减.故对任意x0w(0,1) f(x0 -0力f(x0+0)均存在.(2)由exf (x)单调递增知，当x>x0时，有exf (x)之ex0f(x0).令xtx0+时，有ex0 f(x0 +0)之ex0f (%)，即 f (x0 +0)>f(x0 )(2). 在(1)式中令 xt x0 +得 f(x0)2 f(x0 +0)(3)，由(2)(3)知

7、 f(x0) = f(x0 +0).类似可证f(x0)=f(x0 0).所以f (x)在x0处连续.由x0的任意性，f(x)在(0,1)内处处连续.例4设f (x)在(a,b让只有第一类间断点，且Vx, y w (a,b )有f (x+y)三f ")+f(y).22证明f (x)在(a,bl让连续.证明任取x0w(a,b)当a<x<x0时，由条件f与当 J(x)；f(x0).x x0f x0 -0 f xy xt x0 ,贝”T x0 , f (x0 -0) <,22即 f (x0 -0) < f x0(1).当 x0 <x<b时,由条件 f(xl

8、当 Mf(x)+f(x0 ),令 xt x0+则上为t x0+,222f(x。+0) < ftx0 +0)+f(x),即 f(x。+0) w f (x。)(2).2故再设 a <x1 <x0 <x2 <b且 x1 +x2 =2x0,则有 f (x1 + x2) E f(x1 ) "x222在此式中令 XiT x。，X2TX0+,则 £风)/60*0)*"凡0)(3).2由(1)(2)(3)三式得出 f(x。+0) = f(x。)=f(X。0)所以 f(x)在 Xo 处连续.由X0的任意性，f (x)在(a,b2处处连续.例5设f (x

9、)在(-°o,收)上有定义，且 具有介值性即(若f (%) < N < f俗),则存在介于Xi与X2之间，使得f值)=N );(2)对任意有理数r,集合f (x )= r为闭集.试证f (x)在(,长c)上连续.、一 II ， 一、一、, r、. ， r r， r . .1-. . -1证明(反证法)若f(x)在某一点X0处不连续，则存在曲>0,使得>0，三Xn，虽然Xn - X0 J ,nn但 |f (Xn )-f(x° 归曲，即 &nT X0 (当 nT 8 时)但f (Xn »在 fX° ).，f(X0 户曲”外.从

10、而在(f (X0 )-比，f(X0 )+新上外至少一侧(例如在右侧)含有f(Xn，的无穷多项，满足f (xnk) > f (x0计瓦.在(f(X0)一比，f(x0 )+ &0)内任取一有理数r,由介值性，对每一xnk,存在4介于X0与Xnk之间，使彳导f(4 )=r(k =1,2,).因Xnk T X0,所以4 T X° (当kT%时)， 这表明X0是卬f (x )= r的一个聚点.据已知条件(2)知，x0 w&|f (x户/，即f(x0片，这与f(x0 )cr矛盾！例6证明(1)若函数f (x), g(x)连续，则中(x户min f (x )g(x，中(x尸m

11、axf (x )g(x，也连续. (2)设3汽)，f2(x), f3(x)在a,b】上连续，令f(x)的值等于三值 3(x), f2(x), f3(x)中介于其 他二值之间的那个值.证明f(x)在a,b 连续.-n当xWn时令un(x)=x 当n<x<n时 ，f(x)为实函数， 、n当x之n时试证明f(x)连续当且仅当gn(x)=Unf(x )1对任意固定的n,都是x的连续函数.证明中h)_f(x)+g(X)Tf(X)g(xb,中(x卜f(x)+g(x)+|f(x)g(x)；一2'一2'(2)f(x)=fx f2(x) f3 x -maxlfi x , f2 x ,

12、 f3 x Jminlfi x , f2 x , f3 x .' gn(x) =4 f x 1 = (n) f(x) n - maxLn, f (x )n - min、n, f (x )n(由(2)n + f (x j-|f (x )-n| .2由连续函数的运算性质即知它们连续例7设f(x)在a,b止连续.证明M(x)=supf(t ), m(x)= inf f(t产0,b上连续. a -：t xa _t _x证明 由连续函数在闭区间上必取上，下确界可知 M(x),m(x)在6,b】上处处有定义.又因上确界随取值区间扩大而增大知，M(x)单调递增，故每点的单侧极限存在.任取 x0 a,

13、bl 只需证 M (xo +0) =M(x° )=M(x0 -0 KM(x) = sup f (t ) (1).a，W.由 M(x)递增，有 M (xo -0) <M(xo )又一x a, xo W f (x)至 sup f t =MxHMx0f0， aE*所以M(x0 )=supf (x )WM(x0 0)故 式左等式成立.a又又0下用反证法证明 M(x0 +0) =M(xO )因M(x)单调递增，M(x0 )<M(x0+0).假设M (x0 XM (x0 +0 )则取充分小的 g >0,使彳导M(x0广，<M (x0 +0 ).于是对任意x >x0,

14、有M(x0)+ / <M (x0+0 )MM (x) = supf (t1由上确界的定义，存在ag£t a,x 屉彳导 f x0：0 E M x0 I，：0 ； f t (2).但在a,x° 上.f (x) < sup f (t )=M(x0 )所以式中的tE lx0，x,即存在面>0, V6 >0,当 a竺注t -xj <6时，有| f (tf (x0%，即f (x)在x0处不连续，矛盾!所以即,M (x)在la, b】上连续，m(x)在a,b 1上连续可类似证明.例8设f(x)在(g,%c)内对一切x都有f(x)=f(x2)且f (x)在x

15、=0与x=1处连续.证明f(x)为一常数.1、1证明(1) X/x >0,由条件，f(x) = f x2 =f x4 =f x2n =.又 f (x)在 x=1 处连 I J I J I11 1 A续且当 n T 时，x2 =2''xT 1,故 f (x) =l%f x2n=f . l%x2n J=f(1)(2)当 x<0 时，f(x) =f (x2 )=f (1 X 由(1), x2 >0).(3)当 x=0 时，因 f (x)在 x=0处连续.f(0) =lim f(x)= f (0 +0)= f(0 0 A f (1 ).x )0故f(x)三f (1狮数

16、.例9设f(x)是a,b lh的连续函数，且f(x )在a,b 是单调的.证明f(x)在Q,b】上也是单 调的.证明 若f(x)在B,b比恒有f(x)20或恒有f(x)M0,则由f(x)单调及f(x)=±f(x)可推 出f(x)单调.若f(x)在a,b上既取正值又取负值.不妨设x1<x2，满足f(x1)>0, f(x2)<0 .由连续函数的介值性定理，存在xi <x0 <x2 ,使得f(x0)=0.从而f(xi )>0 = f(x0 k|f(x2),这例10设f (x)在a,b !h连续，且对任意xw k, b ,存在y w k, b 使彳导f(y

17、 )<1| f(x"证明存在a a a,b胜使得f化)=0.证明 任取xo w a,b 1则存在xi w a,b】使得f(xibwf(xo).F 2又存在 x?w a,b,使得 f(x2 <- f(xi 卜 - 2-如此下去，存在数列4b,b,使得|f (xn bwjf(xnb(n=23).从而有|f(xn厄，|f(xo>显然有|f(xn卜0 (nT知.因&n任a,b谑有界数列，故存在收敛子列xnk .设区汨=g a,b】,则由f(x)在巴的连续性得imfxnk卜0，即|f(q = 0,故f(b=0.例 ii 设 f ： b,iL 01 为连续函数，且 f(

18、0)=0, f(i)=i, f(f(x)=x，试证 f(x)=x.证明 先证 f (x)为单射.设 x1, x2 w 0,1 且 f (x1) = f (x2 J,则 f (f (x1) = f (f (x2 ),即 x1 =x2. 所以f(x)为单射.(2)再证f(x)是严格单调的.若f (x)不严格单调，则存在x1 <x2 <x3使 f(xi) <f(x2 ) f(x2) Af 仅3 域.f (xi) > f(x2 ) f (x2 ) < f (x3 )下证情形i,情形2可类证.对任意N满足 maxIf xi, f x3，'：二" f x2

19、.由f(x)连续及介值性定理，存在qw(x1,x2 ), Jw(x2,x3版f (匕)=2 = f().但这与f (x)为单射相矛盾！故f(x)严格单调.又f(0)=0, f (1)=1，故f(x)必是严格单调递增的.(4)若 f (x) M x,则 f (f (x) < f (x),所以 x < f (x),进而 f (x) =x;若 xEf(x)，则 f (x A f (f (x)，所以 f(x)Ex,进而 f(x)=x.综上可知 f(x)=x.例12设f(x)是a,b 的增函数，但不一定连续，如果f (a) >a, f (b) <b，试证存在x0w Q,b】使得

20、f(x°) =x°.证明 令M =&f (x户x.因f(a)之a,知aM , M。上又M有上界，由确界原理 supM 存在.令 x0 =supM .24N0.*NO.*若Xo WM，则f (Xo)至Xo.若f (b)=b,则结论得证；若f(b)b,则bM .当xx。时,令XT X0 + 则 f (x0 +0) <x0.又 f (x)是增函数，从而 f (x0 +0) 2 f (x0 )所以 f (Xo) WXo,故 f (Xo) =Xo.(2)若 xo 2M ,则存在 &n u M，使 xn <xo 且 lim xn =xo .因 xn w M

21、, f (xn) > xn.令 nT°o,则 nn 口 n_.-'nnnXn T xo_,从而有 f (xo 一。)之 f (xo ).又 xo 是 M , f (xo) < xo,所以 f (xo) < f (xo -。).而 f (x)是增函数 进而f(Xo o)Ef(Xo),矛盾！综上可知存在Xo a,b倏彳导f(Xo)=Xo.练习 设f(x)是o,1上的增函数，且f(o)o, f<1，试证存在xow(o,1)使;导f(xo)=x；.提小 构造集合M =| f (x )>2 ,令xo =supM ,类似例12来证明.25N。.*NO.*f

22、(x心0,z 止一致连续 进而f (x浒(0, V注 sin x1 -sin x21 < x1 -x2 , |sin x < x , x w例2证明f (x )=sin 在(0,1)上非一致连续. x证明(1) 在(0,1 3取 4 ='，X； =-1一 n nn , nnnn+一2xn -xn -/<S , 仁 f (xnf 仅2nn jn +1 I 2)故f (x施(0,1卜非一致连续.(2 Ve>0,取 6 =a2s>0, 当 x1 ,x2 w 1,1 组故f (x昨a,1注致连续.例3证明f (x片应ln x在1,收让:一致连续-JU：-B连续.(

23、-i, -He ).，但在1,1)上一致连续(0 < aM1).一，取8 =1，则A0,只要n充分大总有 2L(n。=sinnn -sin. nn +一 ！ = 1 >名0.112jx1 一 x2 < 6 时, 有 .§ 2.2 一致连续性一、利用一致连续的定义及其否定形式证题要点 设f (x)在I上有定义(I为开，闭，半开半闭有限或无限区间)，则(1) f (x)在 I 上一致连续 u >0, m6 a。，当 x',x''w I 且 x'-x'' <6 时，有 f(x')- f (x'&#

24、39; )<8 .f (x)在I上非一致连续 二 忍>0 , a0,英,x/I虽xgx己<6 ,但f (xg L f (xg )之名0_1_， ”一 . ， 一 、L, '''1一 J l 一 J ''U 3 SoA。，V >0,二xn,xn = I(n=1,2,)虽xn xn<,何 f (xn)f (xnJ 2 Wo.nn特另,若 mS。>0 , 3xn ,xn I ( n =1,2，)虽 im xnn = lim x； = a, n .n j ;但|f (xn )f (x：，*0( n=1,2，)，则可断定f (x

25、)在I上非一致连续.(3)若 f(x)在 I 上满足利普希兹条件：| f (x'f (x'' ° W L|x'-x''( 7x', xy I ),其中L为常数.则f (x)在I上一致连续.特别,若f(x)在I上有有界导函数，则f(x)在I上满足利普希兹条 件.例1证明f(x尸sinjx在(0,收尸:一致连续.证明(1)先证f(x)=sinjx在1/Hc)±一致连续.事实上，寸名下0, 9 =min:>0,当 x1,x2 1,2M |x1 -x2| 愚时，有(2)补充定义x=0时, f (0)=0，则f(x)=si

26、n/G在0,1 上连续，从而在 如】上一致连续.故30N0.*证明因 f x)=Jx In x, 求导得f'x =In x 22 xf''x =In x4x., x<0.故 f'(x)在 1,六c)上严格单调递减又 lim f'(x)=lim ln x2L2 = lim 1= =0xx 2, x x，二.xlim+f' (x )=iimj x J2 =1 ,所以f(x)在1,也c )上有界.从而存在常数M >0 ,使得f'(x|)至 M xw 1,).从而 Vw>0, 取 6=>0 , 则当 xi,x2 W 1,F

27、)且 x1 -x2 M<5时,f (为卜 f (x2 ° = f jx1 x2 ° MM x1 -x2| <M .=名，其中介于 x1, x2之间，故 f (x )在 1,也上一致连续.注 若f (x)在I上有有界导函数，则f(x)在I上满足利普希兹条件.从而f (x)在I上一致连 续,进而连续.例4证明f(x)在I上一致连续u MxnL I ,仁是1只要xn x-0就有f xn T xn r 0( nr ：).证明 必耍性 因f(x)在I上一致连续，故VWA0,A-0,当x',x''w I且x'x''<6时

28、，有f (x'卜f (x”卜名(1).但xn x； t 0 ,( nT +受).所以对上述B >0 ,存在N >0 ,当 n aN 时,|xn -xn <6 .从而由式f 婷)一 f a, 即 f (xn A f (x；" 0( nT -He).充分性若f (x)在I上非一致连续，则3&0>0, yl>0 ,三xn,xn wI ( n=1,2，)尽管n'"1，一 ，工J " k _"_ ，一 一 J ， L - J ” L _ . .一 |、xn -xn < ,但f (x；卜f七宜讥.可见x；

29、一 x； T 0但f区)一 f/卜0 ( nT 收)不成 n立,矛盾.例5设I是有限区间,f(x)在I上有定义.试证明f (x)在I上一致连续u f (x)把柯西列映 射为柯西列.证明 必耍性 因f (x)在I上一致连续，故V 8 A 0 ,葩A 0 ,当x', x' 'W I且x'-x'' < 6时,有 f(x'Af (x''卜名(1). 设qn为柯西列，则对上述 6>0 ,存在NA0,当n,m>N时， xn -xm <6 .从而由(1)式 | f (xnf (xm k *, 即f (xn )也为

30、柯西列.充分 性 若f (x)在I上非一致连续，则3&0 >0 , V->0 ,三x；，x； W I ( n=1,2，)尽管 nxn -x； <-, 但 f(xn )-f (x；归曲(n=1,2，).又 I 是有限区间，x； w I ( n = 1,2，)，知 nq 昨在收敛子序列匕.因x'nx；T 0 ( nT 依),故x；中相应的子序列也收敛于 相同的极限.从而穿插之后,序列x'n , x； , xn2 , x；2，, xnk, x；k,也收敛为柯西列，但其像序列 ff(X：) f(Xn2), f (X'j ，f K), f(X：3 ，恒有

31、 f (Xnk )- f 口；卜惮而，不是柯西列，与已知矛盾.注I对有限性只在充分性用到，对无穷区间必要性仍成立.例6设f (x)在有限开区间(a,b p连续.试证f (x)在(a, b户一致连续u极限1而十£(*)及lim f(x)存在且有限.X b-证明 必要性 由条件，被e>0,主>0,当x',x”Ja,b)且|x'町<5时,有f(x'Jf(x''1<s (1).由柯西收敛准则知故 Vx', x''w (a,b ) a <x' <a 十 & a <x'

32、;' <a +6时，有 |x'x'' <6 时，从而由(1)有| f (x' ) f (x'.lim f(x)存在(有限)，同理可证lim f(x)存在(有限). x -a _x_b -lim f x , x = a充分性 令F(X)=d-f仅)a<X<b,则F(x)在k b】上连续.由Cantor定理 lim f x , x = bF(x)在hb 上一致连续，从而F(x)在(a,b止一致连续，即f (x)在(a,b让一致连续.注(1) f (X)在(a,b是否一致连续取决于1 f(x)在端点附近的状态.应用本例容易判别f

33、 (x) =1sin x在(0,1 比一致连续，而 g (x) =sin 1, h(x) =ln X,在(0,1 让非一致连续. XX(2) f (x)在(a,b M一致连续，则f(x)在(a,b止是有界；反之，f (x)在(a, b )上连续有界，不一 定一致连续，如f(x) =sin.X(3) (a, b取为无穷区间时，本例的必要性不成立.如f (x) =x, g(x)=sin x在(一叫七)上一致 连续，但在端点士如处无极限，但对无穷区间充分性仍成立.例7设f (X)在(a, b止有连续白导函数，且lim J '(x)及lim f' (x)存在且有限. X七一十一p 试证

34、 f (x)在(a,b让一致连续;(2)极限lim f (x)及lim f (x)均存在. xa ,x_b 一证明(1)因f' (x)在(a,b )±有连续，且lim J '(x)及lim f '(x)均存在， X十一p lim . f' x , x = a令f (x) =/7 '(x ) a <x <b,则F (x)在Q, b】上连续.由Cantor定理，F (x)在！a,b】上一致连续 lim f '(x ) x =b从而F(x)在a, b有界，即f'(x)在a,b有界.于是存在常数La0,使得f'(x)

35、W L, xw (a, b).从而 V&A0,取每=：>0,则当 X1,x2 w(A,B 阻 X1 x2 <6 时，有f(X1 )- f (x2 b =| f '(巴奴1 x2 b ML X1 x2| <L ： = 8 ,其中-介于 X1 ,X2 之间，故 f(x)在(a, b止一致连续.(2)由例6知f (x)在(a,b止一致连续，必有极限lim J (x)及lim f (x)均存在. x a -x b -例8若f (x)在(a, b周一致连续，则f (x)在(a, b尸:有界.证明(直接证法)设f(x)在(a,b产一致连续，则Vs>0,其>0,

36、当x1,x2 w(a,b )且x1 X2 <6时，有f(x1)_f(x2 |)<名.取“1,令自然数n满足1 <6 .将区间(a,b)进彳rn等 分，分点为 xi =a +-(b -a )( i =1,2，n 1).任取 xw(a,b),则当 xwxi,xi时,有 |f (x 卜 f 囚)<1.从而 |f (x j<|f (为|+1 ( i =1,2，n _1).令 m =1max1f (xi，+ 1则 Vx Ja, b 声 |f (x J<M ,所以 f (x)在(a,b)±有界.(直接证法)(反证法)若f (x)在(a,b让无界，则存在&

37、;n u(a, b)使得f (xn+f (xn卜+1( n =1,2,).由致密性定理,xn存在收敛子序列xnk .由柯西收敛准则，知V&A0,例>0,当kN时，有Xnk .Xnk1：二二.但是另一方面又有f (xn-卜f (xnk同|(xn- j| f (xnk | >1 .由此可知f ( x)在R,b让非一致连续，矛盾.例9若f(x)在a,也自连续且 42=人(有限)，则f (x)在k)上一致连续证明°)因 理J")=人，则由柯西收敛准则，>0,四>a,当x',x''>时, 有 f x' - f x&

38、#39;'：二；(*).(2)由Cantor定理，f(x)在上连续，从而一致连续.故对此 8>0, 361 >0 ,当x,令 6=min%Q1,则当 x',：,x" a, +i m |x'x'时，有|f(x' 卜 f(x'b<8 (*).x''之a且x'x'' <6时，x',x''要么同属于ia,A+ll要么同属于h 8)从而由(*)与(*)知f (x' ) f (x'' )< &，即f (x)在a, F )上一致连续.注limf(x)不是有限值时此结论也有可能成立.例如 f (x )7 x ln x在1,收止一致连续.例io设f(x)在a,y u一致连续，9在la,口井连续且2imjf (x) %x】=0，证明中(x)在a,F)±也一致连续.证明(1)因 limjf (x) -<P(x