幂函数与二次函数(共5页)

1、幂函数与二次函数基础梳理1幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数2幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象分别如右图3.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递增在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)两根式：f

2、(x)a(xx1)(xx2)(a0)函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)一般地，函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)练习检测1(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1 C1 D3解析f(x)为奇函数，f(1)f(1)3.答案A2.如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C

3、4的n值依次为()A2，2 B2，2 C，2,2， D2，2，答案B3(2011·浙江)设函数f(x)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2 C2或4 D2或2解析由或得4或2，故选B.答案B4已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于()A3 B2或3 C2 D1或2解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由已知条件即解得b2.答案C5(2012·武汉模拟)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析f(x)bx2(ab2a)x2a2由已知条件ab2a0，又f(x)的值域为(，4

4、，则因此f(x)2x24.答案2x246.函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值审题视点 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式解(1)f(x)(x1)21.当t11，即t0时，g(t)t21.当t<1<t1，即0<t<1时，g(t)f(1)1当t1时，g(t)f(t)(t1)21综上可知g(t)(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(，0上递减，在1，)上递增，因此g(t)在0,1上取到最小值1. (1)二次函数yax2bxc，在(，)上的最值可由二次函数

5、图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数yax2bxc，在m，n上的最值需要根据二次函数yax2bxc图象对称轴的位置，通过讨论进行求解7. 已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1时，f(x)取得最小值1；x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，yf(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5，故a的取值范围是a5或a5.8.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数

6、，求满足的a的取值范围审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222×233为奇数，122×134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)(32a)等价于a132a0或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的取值范围为. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称

7、性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围9.(2011·济南模拟)已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x) 求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)424a，抛物线顶点坐标为.(1分)当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a±12(舍去)；(4分)当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.(12分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论10. 设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)尝试解答函数