一道课本例题衍生出的中考题赏析

1、一道课本例题衍生出的中考题赏析安昌镇中学 倪君霞初中数学教材中有许多例题都反映了相关的数学本质，蕴含着重要的数学思想 与方法，对数学教学具有一定的导向作用.在中考复习中，将教材中典型的例题与 其衍生出的中考试题联系起来，能够激发学生的学习兴趣，培养学生发现问题和解 决问题的能力.本文从2012年中考试题中撷取了两道具有代表性的试题并对其简要 分析，供读者参考.一、例题及解答例1如图1,在等腰三角形ABC中，底边BC 60cm,高AD 40cm,四边形PQR近正方形.(1) ASR与 ABC相似吗？为什么？(2)求正方形PQRS勺边长.解：因为四边形PQR段正方形，所以SR/ BC,所以ASR

2、ABC, ARS ACB .由三角形相似的判定可知， ASRs ABC .由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高AE SR的比等于相似比，所以 -S-.设正方形的边长为xcm ,则AE (40 x)cm.所 AD BC以40工解得x 24 .即正方形PQRS勺边长为24cm . 4060点评：本题以学生熟悉的等腰三角形和正方形为背景，不仅考查相似三角形的 判定，而且考查相似三角形的性质，即相似三角形对应高的比等于相似比.这道例 题为“三角形内接矩形”这一类问题的解答起到了示范引领的作用，为这类问题的 解决提供了一种最基本的解题策略，即由两个三角形相似，得到这两个三角形的对 应边与对应高成比例

3、，从而建立等量关系，然后根据这个等量关系列出方程，最终 通过解方程使问题获得最终解决.本例中的这类问题可以与相似三角形、方程、函数、动态几何等知识点巧妙地结合在一起，能够得到一些富有挑战性的学习素材.二、由例题衍生的中考题例2 (2012年陕西)如图2,正三角形ABC勺边长为3 而.(1)如图2,正方形EFPN勺顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上.在正三 角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN勺位似正方形EFPN ,且使 正方形EFPN的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形EFPN的边长；(3)如图3,在正三角形ABC放入正方形DEMN口正方形EFPH使得D

4、E EF 在边AB上，点P、N分别在边CB CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值， 并说明理由.C A N P £1 A E F 图2解析：(1)本题主要考查利用位似变换的性质将图形放大的方法.如图4,连接AP并延长交AC于点P ,这是画正方形EFPN的关键.(2)本题主要考查等边三角形、正方形、含 300锐角的直角三角形性质，可 通过列方程求解.如图4,设正方形EFPN的边长为x.因为 ABC是正三角形， 所以AEBF2x.从而可得x 空x3V3 ,解得x 9333/33.332、3 3(3)这里要用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，然后再利用二次函数的性质求最大

5、值和最小值.如图 3,设正方形DEMN口正方形EFPH的边长分别为n),它们的面积和为S.则可求得AD 检BF 遮n,3从而ABAD DEEF BF242m (3 m)2m26m 9由二次函数的性质易知,2时,S随m的增大而增大.又由(2)m最大3V3 3 时 ，99 54,3 .22说明：参考答案比较繁琐，特别是在解答第三个问题时，作了四条辅助线，从 以上解析可以看出，其实没有一点必要，直接利用二次函数的性质即可解决.点评：本题以学生熟悉的正三角形的正方形为载体，以位似变换为基础，综合 考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角关系、方程、二次函数的性 质等重要知识点，是一道考查几何知

6、识与代数知识为一体的综合性试题，与例 1相 比，本题具有较强的挑战性和探索性.虽然正三角形和正方形是常见图形，但本题 的设计却给人耳目一新的感觉.它本题所涉及的三个问题之间互相关联，并逐级推 进，其中第二个问题的计算结果一定要分母有理化，否则对第三个问题的计算就会 产生影.要正确解答这此题，要求学生具有扎实的数学基础，拥有较强的探究能力 和综合分析问题、解决问题的能力.从本题的问题呈现形式来看，符合新课程标准 题要求；从问题的设置来看，由易到难，步步深入，符合学生的认知规律.不足之 处是本题运算量较大，运算结果比较繁琐，仅此一点难度较大.因此，广大教师在 教学中不但要重视“双基”的教学，更要重

7、视学生能力的培养.例 3 (2012 年长春)如图 5,在 RtzXABC, / ACE=90° , AG=8cm, BC=4cm,D、E分别为边AR BC的中点，连结D点P从点A出发，沿折线ADD- DE EB运动， 到点B停止.点P在AD上以5 cm/ s的速度运动，在折线 DE- EB上以1cm/s的速 度运动.当点P与点A不重合时，过点P作PQLAC于点Q以PQ为边作正方形PQMN 使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t (s).(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为 cm.(用含t的代数式表示)(2)当点N落在AB边上时，求t的值.(3)当正方形PQMNf AB

8、C1叠部分图形为五边 形时，设五边形的面积为S (cm2),求S与t的函数关 系式.(4)连结CD.当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN1以2.5cm/s 的速度沿MNM连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当 点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运 动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围.解析：(1)由勾股定理易知，AB 4%'5cm,所以AD - AB 2，5cm ,所以点 2P在AD上运动的时间为2s.故当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为(t 2)cm1(2)当点N落在AB边上时，有两种情况.利用运动线

9、段之间的数量关系可求出时间t的值.BB如图6,当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP 2 EC,即t 2=2, t =4.如图7,当点P位于线段EB上时，易求得PE t 6, PB 8 t, PC t 4.利 用BNPzBAC可求得 PN 2PB 16 2t.由 PN=PC 可得 16 2t t 4,解得 t 20.3故当点N落在AB边上时，t=4或t”.3(3)当正方形PQMNf ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况.首先用 时间t的代数式分别表示各相关运动线段的长度，然后利用求面积S的表达式.当2Vt <4时，如图8所示.易求得DPt 2 ,CQ 6 t,AQ 2t ,AM

10、t.由 4人5网 ZABd,-FM 巡 即 FM当,.故FM-AM-t .BC AC AMAC2221 111 2故s S弟形 AQPD S AMF 2(t 2) (2 t) 2 2t 2t 4t2 2t .20当一 t 8时，如图9所小.易求得PE t 6, PC t 4, PB 8 t 3AM 12 t PG 16 2t fm 6 -t 2S S弟形AQPG Samf 1(16 2t) 8 (t 4) -(12 t)(6 -t)2 225t2 22t 84 .4(4)本题涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点 H点P的运 动过程.依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示.

11、当4Vt <6时，此时点P在线段DE上运动，如图10所示.此阶段点P运动 时间为2s,因此点H运动距离为2.5 2 5cm,而MN=2,则此阶段中，点H将有两 次机会落在线段CD上.第一次是点H由MRH运动，此时点H运动时间为(t-4) s, 运动距离 MH 2.5(t 4),所以 NH 2 MH 12 2.5t .又 DP t 2 ,14DN DP 2 t 4,由 DN 2NH 得，t 4 2(12 2.5t),解得 t 石.第二次是2点H由NH运动.此时点H运动时间为t 4 (t 4.8)s,运动距离 2.5NH 2.5(t 4.8) 2.5t 12,由 DN 2NH 得，t 4 2

12、(2.5t 12),解得 t =5.当6< t<8时，此时点P在线段EB上运动，如图11所示.由图可知，在此1阶段，始终有MN MC ,即MWf CD的父点始终为线段MN的中点，即点H. 2综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是14 ,、，、t 一或 t=5或 6&t&8. 3点评：本题以动态几何的形式呈现，考查的内容涉及到正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、梯形和三角形的面积等，是一道综合性较强的试题.解决这类问题时首先要正确理解题意，搞清楚动点的运动过程，按照动点的不同运 动过程通常需要渗透数形结合与分类讨论的数学思想.

13、然后针对不同的运动过程，利 用含有时间t的代数式表示相关线段的长度，最后通过列方程求出时间 t.正确画出 不同过程的图形并能正确表示相关线段的长度是解决本题的关键.与例1相比，不同的是图形中所涉及的三角形由等腰三角形变为了直角三角形，所涉及的正方形由静 态变为动态，本题中的正方形完全由动点控制，是一个动态正方形.相同的是对一些关键线段的求解方式基本相同，都是利用相似三角形的性质求解，方法是相通的特别是本题中的第（4）个问题超出了一般学生的水平，具有极强的挑战性，也体现了中考的选拔功能.三、对教学的启示1 .关注教材，研究教材中的典型例题与习题，最大限度地发挥教材的作用 .教材是经过学科专家反复

14、推敲， 精心编写的精品课程资源 . 大多数例题都具有很强的代表性， 蕴含着重要的数学思想与方法， 是解答其它相关问题的有效数学模型.教材中一些典型的例题也是命题专家关注的重要对象之一，通过对例题中的条件、图形、 结论或设问方式等方面的改造变化或重组， 可命制出高质量的中考试题 . 在教学中，教师要关注教材，研究教材中典型的例题，把握教材的编写意图，对教材中的例题要从不同角度进行延伸、拓展和变式，充分发挥例题的最大功能.2 . 切实加强学生分析问题与解决问题能力的培养，加强学生创新意识的培养.数学课程标准指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动. 对教材中典型例题的复习是九年级中考复习教学中的重要组成部分， 因此，在典型例题的教学中，当学生获得某种基本的解法后，教师应当引导学生挖掘例题的潜在因素，通过改变题目的条件、图形、结论或设问方式等多种途径对例题进行变式教学，强化学生对知识和方法的理解，帮