八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题

1、1 / 4 金老师复习（ 2） 一元二次方程（一） 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式02cbxax（a0 ） ；2正确识别一元二次方程中的各项与各项的系数（1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。（2）各项的确定 (包括各项的系数与各项的未知数). 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二） 、一元二次方程的解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方

2、法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如nx2的方程的解法：当0n时，nx;当0n时，021xx;当0n时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1” ：根据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，

3、把方程变形为nmx2)(的形式；求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221；当042acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定cba,的值；代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式

4、；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。2 / 4 （三） 、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值 x 围。 （1）=acb42（2）根的判别式定理与其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a）当时00a方程有实数根；当时00a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。例：求证：方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二

5、次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（四） 、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题（下降率） ：在此类问题中，一般有变化前的基数（a） ，增长率（x） ，变化的次数（n） ，变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxan)1(表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有

6、 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米，在场地的北面有一堵50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？(3)已知：cba,分别是abc的三边长， 当0m时，关于x的一元二次方程02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：abc是直角三角形。（4）已知：cba,分别

7、是abc的三边长，求证：方程0)(222222cxacbxb没有实数根。（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程0442xmx与0544422mmmxx的根都是整数？（6）已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数， （ 1）当m为何值时， 方程没有实数根？ （2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案： （1）2m（ 2）21, 1x. （六）相关练习（一）一元二次方程的概念1一元二次方程的项与各项系数3 / 4 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）xx3252（2）22)3(4)15(aa2应用一元二次方

8、程的定义求待定系数或其它字母的值(1) m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2）若分式01872xxx，则x3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为0，则a(2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为1，一个根为1，则cba，cba（二）一元二次方程的解法1开平方法解下列方程：（1）289)3(1692x(2) 0)31 (2m2配方法解方程：（1）0522xx(2)3422yy 3公式法解下列方程：（1）2632xx（2）pp32324因式分解法解下列方程：（1）04542yy(2)1)5

9、(2)5(2xx（3）02172xx5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：(1)3)(2()2(6xxxx(2)22)3(144)52(81xx（三）一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情况：（1）4xxx732（2）xx4)2(32(3)xx545422k为何值时，关于x 的二次方程0962xkx4 / 4 （1）有两个不等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根3.k为何值时，方程0)3()32()1(2kxkxk有实数根 . （四）一元二次方程的应用1已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积. 2.某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342 万册，第二年印刷了500 万册，如果以后两年的增长率