1-8-连续性间断点-使用

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节第八节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 一、函数的连续性一、函数的连续性xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xx0 xx y )(xfy 1.1.变量的增量变量的增量 与函数的增量与函数的增量 设变量设变量u从它的一个初值从它的一个初值u1变到终值变到终值 u2，则称则称u2-u1为为变量变量u的增量，的增量，, u记作记作即即21uuu 对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf2.连续的定义连

2、续的定义:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当( )f x在点在点0 x连续连续可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在一点的极限与连续概念关系？函数在一点的极限与连续概念关系？例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证 因因, 01sinlim0 xxx

3、(0)0,f由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf0lim( )(0),xf xf所以所以例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf0lim( )xf x不不存存在在, ,(0)2.f因3.单侧连续单侧连续0000( )( ,()(),( )f xa xf xf xf xx若若函函数数在在内内有有定定义义, ,且且则则称称在在点点 处处左左连连续续; ;定理定理.)()(00处既左

4、连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf0000( ), )()(),( )f xx bf xf xf xx若若函函数数在在内内有有定定义义, ,且且则则称称在在点点 处处右右连连续续. .4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间

5、baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx. ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证)

6、,( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx cos()12xx02 sin|.2xyx sin|(0),00,xy 当当时时, ,sin(,)yxx 所所以以函函数数在在内内连连续续. .由由和和得得故故即函数在即函数在x点连续点连续.(,) 内任意一点，内任意一点，因因x是是同理可证函数同理可证函数y=cosx在区间在区间(,) 是连续的是连续的.在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(li

7、m00 xfxfxx设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,若有下列若有下列0 x三种情形三种情形之一：之一：虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且为为f (x)的的间断点间断点 . 在在无定义无定义 ; 不连续，称不连续，称 0 x则则函数函数 f (x) 在点在点,tan xy 2x为其间断点为其间断点 .xytan2xyo例例4 4为其无穷间断点为其无穷间断点 .因因2limtan,xx 所以所以2x例例5 5.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解 因函数因函数xy1sin 0 x 在在处处没没有有定定义义, ,

8、01limsinxx注注意意不不存存在在. .所以所以0 x 是函数是函数的间断点的间断点.称称 x=0为为f(x)的的振荡间断点振荡间断点.1x为该函数的为该函数的可去间断点可去间断点. .112 xxyxoy1例例6 函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)2,f补补充充21,1,( )1.12,1xxf xxxx则在处连续 因在因在x=1点没定义，所以点没定义，所以x=1是函数的间断点是函数的间断点. .注意注意2111limlim(1)21xxxxx所以称所以称例例7 函数函数12,1,( ),1.xxyf xx1xoy2111lim( )1(1),xf xf 显然显然所以所

9、以1x也称为该函数的也称为该函数的可去间断点可去间断点. .例例8 函数函数1,0,( )0,0,1,0.xxyf xxxxxyo11因因, 1)0(f1)0(f所以所以0 x 称为该函数的称为该函数的跳跃间断点跳跃间断点. .间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷间断点和振荡

10、间断点属于第二类间断点无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.练习册练习册1-81-8，一，一研究函数研究函数, | 1,( )1, | 1xxf xx的连续性的连续性,并画出函数图形并画出函数图形解解 由多项式函数的连续性知由多项式函数的连续性知f( (x) )当当| |x|1|1|1时处处连续时处处连续.当当x=-1时，因时，因11lim( )lim 11,xxf x11lim( )lim1,xxf xx 所以所以x=-1是是f(x)的跳跃间断点的跳跃间断点.当当x=1时，因时，因11lim( )lim1,xxf xx11lim( )lim11,xxf x故故f(x)在在x=1处连续处连续

11、.即即11lim( )lim( )(1),xxf xf xf综上所述，综上所述，f(x)在在(, 1)( 1,) 上连续上连续.练习册练习册1-81-8，二，二试问当试问当a, b为何值时为何值时, 函数函数sin1,0,( ),0,sin,0 xxxxf xaxxb x解解 因因故当且仅当故当且仅当sin00lim( )lim1,xxxxf x100lim( )lim( sin),xxxf xxbbf(x)在在x=0处连续处连续.在在x=0处连续处连续.00lim( )lim( )(0),xxf xf xf即即a=b=1时时,练习册练习册1-81-8，五，五讨论函数讨论函数,| 1,( )0

12、,| 1,| 1.xxf xxxx221( )lim1nnnxf xxx的连续性的连续性, 若有间断点若有间断点,判别其类型判别其类型.解解 计算得计算得由多项式函数的连续性知由多项式函数的连续性知f(x)当当|x|1时处处连续时处处连续.当当x=-1时，因时，因11lim( )lim ()1,xxf xx11lim( )lim1,xxf xx 所以所以x=-1是是f(x)的跳跃间断点，属于第一类间断点的跳跃间断点，属于第一类间断点.当当x=1时，因时，因11lim( )lim1,xxf xx11lim( )lim()1,xxf xx 所以所以x=1也是也是f(x)的跳跃间断点，属于第一类间断

13、点的跳跃间断点，属于第一类间断点.指出函数指出函数()tan( )()xxeexf xx ee在区间在区间-, 上的间上的间练习册练习册1-81-8，四，四断点断点,解解 由初等函数的连续性知由初等函数的连续性知20, 1,x是是f(x)在区在区间间-,上的间断点上的间断点,由于由于21101lim( ), lim( ), lim( ),eexxxf xf xf x 所以所以x=0是是f(x)的可去间断点，属于第一类间断点的可去间断点，属于第一类间断点.21,x是是f(x)的无穷间断点，属于第二类间断点的无穷间断点，属于第二类间断点. , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断, ,且都是第二类间断点且都是第二类间断点. . ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, , 其余各点处处间断其余各点处处间断. .注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. .三、小结三、小结1.函数在一点连续定义，连续必须满足的三个条件函数在一点连续定义，连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上连续函数的定义区间上连续函数的定义;第一类间断点