高二数学归纳法证明不等式

1、第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从 n=k 到 n=k+1 的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k

2、+1 时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。例题精讲例 1、用数学归纳法证明nnnnn212111211214131211分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤证明：1 当 n=1 时，左边 =1-21=21，右边 =111=21，所以等式成立。2 假设当 n=k 时，等式成立，即kkkkk212111211214131211。那么，当n=k+1 时，221121211214131211kkkk221121212111kkkkk)22111(1212131214131211kkkkkk)1(21121213121kkkk

3、k这就是说，当n=k+1 时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法设要证命题为p（n） （1）证明当 n 取第一个值n0时，结论正确，即验证p（ n0）正确；（2）假设 n=k（kn 且 kn0）时结论正确， 证明当 n=k+1 时，结论也正确， 即由 p （k）正确推出p （k+1）正确，根据（1） ，（2） ，就可以判定命题p（n）对于从n0开始的所有自然数n 都正确要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。 f(k)与 f(k+1) 相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将1

4、1k与221k合并的变形方式，这是在分析了f(k)与 f(k+1) 的差异和联系之后找到的方法。练习：1.用数学归纳法证明3kn3(n 3,n n)第一步应验证 ( ) a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4 解析：由题意知n3 ，应验证n=3.答案： c 2.用数学归纳法证明412n+3n+2能被 13 整除，其中nn 证明：(1)当 n=1 时， 421+1+31+2=91 能被 13 整除(2)假设当 n=k 时， 42k+1+3k+2能被 13 整除，则当n=k+1 时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13 =42k+113+3(4

5、2k+1+3k+2) 42k+113 能被 13 整除， 42k+1+3k+2能被 13 整除当 n=k+1 时也成立 . 由知，当nn*时， 42n+1+3n+2能被 13 整除 . 例 2、求证：*1115, (2,)1236nnnnnn分析： 该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到 n=k+1 的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变证明：（1）当 n=2 时，右边 =1111534566，不等式成立（2）假设当*(2,

6、)nk kkn时命题成立，即11151236kkk则当1nk时，111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk所以则当1nk时，不等式也成立由（ 1） ， （2）可知，原不等式对一切*2,nnn均成立点评： 本题在由nk到1nk时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由nk到1nk时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：111111113.313233333333331kkkkkkkk例 3、已知，

7、*1111,23nsnnn，用数学归纳法证明：*21(2,)2nnsnnn证明：（1）当 n=2 时，22111132111234122s，命题成立（2）假设当*(2,)nk kkn时命题成立，即2111112322kkks则当1nk时，112111111123221222kkkkks111111111111122122222221111211.22222kkkkkkkkkkkkk所以则当1nk时，不等式也成立由（ 1） ， （2）可知，原不等式对一切*2,nnn均成立点评： 本题在由nk到1nk时的推证过程中，（1）不等式左端增加了2k项，而不是只增加了“112k”这一项，否则证题思路必然受

8、阻；（2）应用了放缩技巧：11111111111112.2122222222kkkkkkkk练习：1、证明不等式：分析1、数学归纳法的基本步骤：设 p(n)是关于自然数n的命题，若1 p(n0)成立 (奠基 ) 2 假设 p(k)成立 (k n0)，可以推出p(k+1)成立 (归纳 )，则 p(n)对一切大于等于n0的自然数n 都成立 . 2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标证明： （1）当 n=1 时，不等式成立（2）假设 n=k 时，不等式成立，即那么，这就是说， n=k+1 时，不等式也成立

9、根据（ 1） （2）可知不等式对n n+都成立2.求证：用数学归纳法证明2*22()nnnn证明：（1） 当 n=1 时，12221，不等式成立；当 n=2 时，22222，不等式成立；当 n=3 时，32223，不等式成立（2）假设当*(3,)nk kkn时不等式成立，即222kk则当1nk时，1222222(22)222(1)23kkkkkk，3k，223(3)(1)0kkkk， （* ）从而122222(1)23(1)kkkkk，1222(1)kk即当1nk时，不等式也成立由（ 1） ， （ 2）可知，222nn对一切*nn都成立点评：因为在（ *）处，当3k时才成立，故起点只证n=1

10、还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移3求证：23mem，其中1m，且mn分析：此题是2004 年广东高考数学试卷第21 题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明（1）当 m=2 时，44232e，不等式成立（2）假设*(2,)mk kkn时，有23kek，则2(1)22236kkeeek ek，2k，63(1)330kkk，即63(1)kk从而2(1)63(1)kekk，即1mk时，亦有23mem由（ 1）和（ 2）知，对1,mmn都成立证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明220122223(1 1)332 (21)123(1211)21230mmmmm

11、emmcccmmmmmmmmmm当1m，且mn时，23mem例 4、 （2005 年江西省高考理科数学第21 题第（ 1）小题，本小题满分12 分）已知数列na,:的各项都是正数且满足.),4( ,21,110nnaaaannn证明;,21nnaann求数列na的通项公式an. 分析 ： 近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解： （1）方法一用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa210aa，命题正确 . 2假设 n=k 时有.21kkaa则111111,(4)(4)22kkkkkknkaa

12、aaaa时11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而1110,40,0.kkkkkkaaaaaa又2111(4)4(2) 2.22kkkkaaaa1kn时命题正确 . 由 1、 2知，对一切nn 时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa2010aa；2假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切

13、2,1kkaann有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaa2,nnba令则21222221 222121111111()( )( )222222nnnnnnnbbbbb又 bn=1，所以211(),2nnb21122()2nnnab即点评：本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是： 方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性本题也可先求出第（2）问，即数列na的通项公式2112()2nna，然后利用函数211( )2()2xf x的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度

14、，显然不如用数学归纳法证明来得简捷练习：1.试证明：不论正数a、b、c 是等差数列还是等比数列，当n1,nn*且 a、 b、c 互不相等时，均有： an+cn 2bn. 分析： 该命题意图： 本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0 恒成立 (a、 b、c 为正数 )，从而 ak+1+ck+1ak c+ck a. 证明： (1)设 a、b、c 为等比数列，a=qb,c=bq(q0 且 q 1)an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn)2bn(2)设 a、b、c 为等

15、差数列，则2b=a+c 猜想2nnca(2ca)n(n 2 且 n n*) 下面用数学归纳法证明：当 n=2 时，由 2(a2+c2)(a+c)2，222)2(2caca设 n=k 时成立，即,)2(2kkkcaca则当 n=k+1 时，41211kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 41(ak+1+ck+1+ak c+ck a)=41(ak+ck)(a+c) (2ca)k (2ca)=(2ca)k+1 根据、可知不等式对n1,n n*都成立二.基础训练一、选择题1.已知 f(n)=(2n+7) 3n+9,存在自然数m,使得对任意nn,都能使m 整除 f(n) ，则最大的m的值为

16、 ( ) a.30 b.26 c.36 d.6 解析： f(1)=36,f(2)=108=3 36,f(3)=360=10 36 f(1),f(2),f(3) 能被 36 整除，猜想f(n) 能被 36 整除 . 证明： n=1,2 时，由上得证，设n=k(k 2)时，f(k)=(2k+7) 3k+9 能被 36 整除，则n=k+1 时，f(k+1) f(k)=(2k+9) 3k+1(2k+7) 3k=(6k+27) 3k(2k+7) 3k=(4k+20) 3k=36(k+5) 3k2(k 2) f(k+1) 能被 36 整除f(1) 不能被大于36 的数整除，所求最大的m 值等于 36. 答

17、案： c 二、填空题2.观察下列式子：474131211 ,3531211 ,2321122222则可归纳出_. 解析：11112) 11(112321122即12122)12(1) 11(11,35312112222即112) 1(131211222nnn归纳为(nn*) 112)1(131211:222nnn答案(nn*) 3.已知 a1=21,an+1=33nnaa,则 a2,a3,a4,a5的值分别为 _，由此猜想an=_. 12123452133332:,137253233333333,383594510555naaaaaaaaan3. 解析同理猜想73:答案、83、93、10353

18、n三、解答题4.若 n 为大于 1 的自然数，求证：2413212111nnn. 证明： (1)当 n=2 时，2413127221121(2)假设当 n=k 时成立，即2413212111kkk2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当所以：对于nn*，且 n1 时，有2413212111nnn5.已知数列 bn是等差数列，b1=1,b1+b2+ +b10=145. (1)求数列 bn的通项公式bn; (2)设数列 an的通项 an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1)记

19、sn是数列 an的前 n 项和， 试比较sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论. (1) 解：设数列 bn 的公差为d, 由题意得311452) 110(10101111dbdbb, bn=3n2 (2) 证明：由bn=3n2知sn=loga(1+1)+loga(1+41)+ +loga(1+231n) =loga(1+1)(1+41) (1+ 231n) 而31logabn+1=loga313n, 于是，比较sn与31logabn+1比较 (1+1)(1+41) (1+231n) 与313n的大小 . 取n=1，有 (1+1)=33311348取n=2，有 (1+1)(1+3331

20、2378)41推测： (1+1)(1+41) (1+231n) 313n (*) 当n=1 时，已验证 (*) 式成立 . 假设n=k(k1) 时(*) 式成立，即 (1+1)(1+41) (1+231k) 313k则当n=k+1时，)1311(13)2) 1(311)(2311()411)(11(3kkkk3131323kkk333222333331) 1(343)23(13130) 13(49) 13()13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk31) 1(3)1311)(2311()411)(11(kkk从而, 即当n=k+1 时， (*) 式成立由知，

21、 (*) 式对任意正整数n都成立 . 于是，当a1 时，sn31logabn+1, 当 0 a1 时，sn31logabn+16.设实数q 满足 |q| 1,数列 an满足： a1=2,a2 0,an an+1=qn,求 an表达式，又如果limns2n3,求 q 的取值范围 . 解：a1a2=q,a1=2,a20, q0,a2=29, anan+1=qn,an+1an+2=qn+1两式相除，得qaann12, 即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=21qn(n=1,2,3,) 综合，猜想通项公式为an=)(221)(1221nnkknqkknqkk时时下

22、证： (1) 当n=1,2 时猜想成立(2) 设n=2k1 时，a2k1=2qk1则n=2k+1 时，由于a2k+1=qa2k1a2k +1=2qk即n=2k1 成立 . 可推知n=2k+1 也成立 . 设n=2k时，a2k=21qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k, 所以a2k+2=21qk+1, 这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立 . 综上所述，对一切自然数n, 猜想都成立 . 这样所求通项公式为an=)(221)(1221nnkknqkknqkk时当时当s2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+ +a2n) =2(1+q+q2+qn-1) 21 (q+q2+q

23、n) )24)(11()1()1(211)1(2qqqqqqqqnnn由于 |q| 1, nnnnsq2lim,0lim故=)24)(11(qqqn依题意知)1(24qq3, 并注意 1q 0,|q| 1 解得 1q0 或 0q52三.巩固练习1. （06 年湖南卷 . 理 .19 本小题满分14 分）已知函数( )sinf xxx,数列 na 满足 :1101,(),1,2,3,.nnaaf an证明 :()101nnaa;()3116nnaa. 证明 : （ i） 先用数学归纳法证明01na， 1,2,3, (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立. (ii). 假设当 n=k 时结论成

24、立 ,即01ka.因为 0 x0 成立 .于是31()0,sin06nnnng aaaa即故3116nnaa点评： 不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力， 在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识 . 2. （ 05 年辽宁卷 .19 本小题满分12 分）已知函数).1(13)(xxxxf设数列na 满足)(, 111nnafaa，数列nb 满足).(|,3|*21nnbbbsabnnnn（）用数学归纳法证明12)13(nnnb；（）证明.332ns分析： 本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力（）证明：当.1121)(,0 xxfx时因为a1=1，所以*).(1nnan下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1nnnb（1）当 n=1 时， b1=13，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1kkkb那么kkkkaaab1|3|)13(|3|11.2) 13(2131kkkb所以，当n=k+1 时，不等也成立。根据（ 1）和（ 2） ，可知不等式对任意nn*都成立。（）证明：由（）知，.2) 13(1nnnb所以12212)13(2)13()13(nnnnbbbs2131)2