高中数学异面直线距离(优秀教师用)

1、1 / 12 求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线， 然后求解； 或者通过空间图形性质， 将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离， 或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。方法一、定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3 条直线与两个异面

2、直线都垂直，则平移第 3 条直线使得与两个异面直线都相交。例 1 已知：边长 a 为的两个正方形 abcd 和 cdef 成 1200的二面角，求异面直线 cd 与 ae 间的距离。思路分析：由四边形abcd 和 cdef 是正方形，得cdad ，cd de ，即 cd 平面 ade ，过 d作 dh ae于 h，可得 dh ae ，dh cd ，所以 dh是异面直线 ae 、 cd的公垂线。在ade中， ade=1200， ad=de= a， dh=2a。即异面直线 cd 与 ae 间的距离为2a。例 2 如图，在空间四边形abcd 中，ab=bc=cd=da=ac=bd=a，e、f 分别是

3、ab、cd 的中点 . (1)求证： ef 是 ab 和 cd 的公垂线；(2)求 ab 和 cd 间的距离；(3)求 ef 和 ac 所成角的大小 . (1)证明：连结 af，bf，由已知可得 af=bf. 又因为 ae=be，所以 feab 交 ab 于 e. 同理 efdc 交 dc 于点 f. 所以 ef 是 ab 和 cd 的公垂线 . (2)在 rtbef 中，bf=a23,be=a21, 所以 ef2=bf2-be2=a212，即 ef=a22. 由(1)知 ef 是 ab、cd 的公垂线段，所以ab 和 cd 间的距离为a22. (3)过 e 点作 egac 交 bc 于 g，

4、因为 e 为 ab 的中点，所以 g 为 bc 的中点.所以 feg 即为异面直线 ef 和 ac 所成的角 . a b h d c e f 例 2 题图2 / 12 在feg 中，ef=a22,eg=a21,fg=a21, cosfeg=222222egeffgegef. 所以feg=45所以异面直线 ef 与 ac 所成的角为 45例 3 正方体 abcd-a1b1c1d1棱长为 a，求异面直线 ac 与 bc1的距离。取 bc 的中点 p，连结 pd，pb1分别交 ac，bc1于 m，n 点，易证： db1/mn ， db1ac，db1bc1， mn 为异面直线 ac 与 bc1 的公垂

5、线段，易证： mn=b1d=a。例 4、正四棱锥 s-abcd 中，底面边长为 a，侧棱长为 b(ba)求：底面对角线 ac与侧棱 sb间的距离解：作 so 面 abcd 于 o ，则点 o是正方形 abcd 的中心so ac ，bo ac ，ac 面 sob 在sob中，作 oh sb于 h，根据、可知 oh是 ac与 sb的距离ohsbsoob，3 / 12 a b c e f 图方法二、转化为线面距离若 a、b 是两条异面直线，过b 上一点 a 作 a 的平行线 c，记 c 与 b 确定的平面。从而，异面直线a、b 间的距离等于线面a、间的距离。例 1 为直角梯形 abcd 所在平面外一

6、点，090abcdab，sa平面ac，sa=ab=bc= a，ad=2 a，求异面直线 sc与 ab 间的距离解：如图，设是ad 的中点 ,连结 sf、cf, 则 abcf. 故 ab平面 cfs 故直线 ab 到平面 cfs的距离就是异面直线sc 与 ab 间的距离，在平面 saf 内作 aesf，垂足为 e，易知 ab平面 saf，故 cf平面 saf. cfae. 从而 ae平面 cfs, 故 ae 为直线 ab 到平面 cfs 的距离 , 即 sc与 ab 间距离 . 在safrt中, 易得 ae=22a思考，与方法一的思路是否统一？例 2 如图，bf、ae两条异面直线分别在直二面角p

7、-ab-q 的两个面内， 和棱分别成 、角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线bf 、ae间的距离。思路分析： bf 、ae两条异面直线分别在直二面角p-ab-q 的两个面内， eab=，fab=，ab=d ，在平面 q内，过 b 作 bh ae ，将异面直线bf 、ae间的距离转化为 ae 与平面 bcd 间的距离，即为 a 到平面 bcd 间的距离，又因二面角 p-ab-q 是直二面角，过a 作 acab 交 bf 于 c，即 ac平面 abd ，过a 作 ad bd 交于 d，连结cd。设 a 到平面bcd 的距离为h。由体积法va-bcd=vc-abd， 得h=22cosco

8、s1sinsind方法三、体积法： 体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高， 然后体积公式求之。例 1：正方体，求 ac 与 bc1的距离f c p a gbqe h d4 / 12 a1 b1 c1 d1 abc图de cc1 abda1 b1 d1 图当求 ac 与 bc1的距离转化为求 ac 与平面 a1c1b 的距离后，设 c点到平面 a1c1b的距离为 h，则h(a)2= a a2, h=a，即 ac 与 bc1的距离为a。例 2 设长方体的三边长为ab5, bc4, 1bb 3, 求 ab 和1db 之间的距离 . 解: 如图 4, 由 a

9、b11ba, 知 ab平面11dba. 故要求 ab 和1db 之间的距离 , 只要求出 ab 到平面11dba的距离即可 . 连结11, abda, 则三棱锥dbaa11的高h也就是 ab 到平面11dba的距离 . 而daabdbaavv1111, 即111113131bashsdaadba, 可求得512h. 故 ab 和1db 之间的距离为512. 评注： 等体积法是解决距离问题的常用方法， 运用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。方法四、转化为面面距离若 a、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面、，且 a、b。求 a、b 两条异面直线的距离转化为平行平面、间的

10、距离。例 1棱长为 a的正方体1111dcbaabcd中，求两对角线ba1与cb1间的距离解：连结1111,dbcdbdda，da1cb1，bd11db，dbdda1，平面ba1d平面11cdb连结111,caac，则11ca11db，由三垂线定理，5 / 12 知1ac 11db同理，1ac cb11ac 平面11cdb同理1ac 平面ba1d平面11cdb平面ba1d设1ac 与平面ba1d、 平面11cdb的交点分别为、， 则 mn 的长即为平面11cdb与平面ba1d 的距离，也就是异面直线ba1与cb1间的距离设11ca与11db的交点为 , 连结ma1,on,在平面11caa中,

11、ma11ac , on1ac , 则ma1on11ocoa，ncmn1同理ammnaacmn33311故ba1与cb1间的距离为a33评注：把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离，是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段例2 已知：三棱锥s-abc 中，sa=bc=13，sb=ac=14，sc=ab=15，求异面直线 ad 与 bc 的距离。思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。 所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补

12、形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为 x、y、z，则222222222222131415bcxzaczyabyx解得 x=3，y=2，z=1。由于平面 sa平面 bc，平面 sa、平面 bc 间的距离是 2，所以异面直线 ad 与 bc 的距离是 2。例 3 正方体，求 ac 与 bc1的距离s c a b c s b a 6 / 12 解法 3：（转化法）平面 acd1/平面 a1c1b， ac 与 bc1的距离等于平面 acd1与平面a1c1b 的距离，（如图3 所示）， db1平面 acd1，且被平面 acd1和平面 a1c1b 三等分；所求距离为b1d=a。小结：这种解法是将线线

13、距离转化为面面距离。方法五：构造函数法求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。例 1 已知正方体 abcd-a1b1c1d1的棱长为 a，求 a1b 与 d1b1的距离。思路分析：在 a1b 上任取一点 m，作mpa1b1，pnb1d1，则 mn b1d1，只要求出 mn 的最小值即可。设a1m=x，则mp=22x，a1p=22x。所以 pb1=a22x，pn=（a22x ）sin450=21（2 a x） ，mn=22pnpm=222232)32(23ax。当 x=a32时，mnmin=a33。例2正方体，求 ac 与

14、 bc1的距离。任取点 qbc1，作 qrbc 于 r 点，作 rkac 于 k 点，如图 4 所示，d1c1n a1 pb1 m d c a b 7 / 12 a b d e f p q 图c 设 rc=x，则 ok2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2 a2, 故 qk 的最小值，即 ac 与 bc1的距离等于a。小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数， 通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。例 3已知正方形 abcd 和正方形 adef 所在平面互相垂直，并相交于直线ad这两个正方形的边长均为a，求异面直线 ae 和 bd 的距离解：是 ae 上任意一点 ,过

15、 p 作 pq垂直 ad，垂足为 q，平面 adef平面 abcd ， 且平面 adef平面 abcdad，pq平面 abcd过作 qrbd, 垂足为 , 连结 pr, 则 qr 是 pr 在平面abcd 上的射影 ,由 qrbd, 知 prbd.pr的长度是 ae 上任意一点 p到 bd 的距离 . 设 aq=x, 则 qd=ax. 在apqrt中,045paq,090pqa, aq=x, 则 pq=x. 在dqrrt中,xadqdrqqdr,90,4500, 则 qr=22( a x ). pq平面 abcd,qr平面 abcd, pqqr. 在pqrrt中,22222)(22xaxqrp

16、qpr, 3)3(232232222aaxaaxxpr. 当 x=3a时, pr取最小值a33, 即异面直线 ae 和 bd 的距离为a33评注：因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的，从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解8 / 12 在求异面直线 sa与 bc间的距离时，可先在sa任取一点 d ，作 de 直径ac于 e，则 de 底面圆再作ef bc于 f，则有 df bc ，于是 df的最小值就是 sa与 bc间的距离方法六：公式法如图，已知异面直线a、 b 所成的角为q，公垂线段aa = d，ae=m , af = n , 应用此公式时，要注意正、负号的选择当 daf=

17、q 时，取负号；当点f（或点e）在点 a（或 a ）的另一侧时取正号例 5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，a、b 两点分别在两底面圆周上，并且ab=5，求异面直线 ab 与轴 oo/之间的距离。思路分析： 在圆柱底面上 aooo/，bo/oo/，又 oo/是圆柱的高， ab=5，a o o/ b 9 / 12 所以 d=233。即异面直线 ab 与轴 oo/之间的距离为233。方法七 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。例 6 在正方体 abcd-a1b1c1d1中，ab=1， m、n 分别是棱 a

18、b、cc1的中点，e 是 bd 的中点。求异面直线 d1m、en 间的距离。思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线 d1m、en 射影到同一平面 bc1内，转化为 bc1、qn 的距离，显然，易知bc1、qn 的距离为42。所以异面直线 d1m、en 间的距离为42。8、用向量求两条异面直线间的距离下面介绍一种利用向量进行计算的简易方法我们先来看看空间向量在轴上的射影设向量ab，那么它在u 轴上的投影为/ba从图可以看出，为了作出ab 在 u 轴上的射影，可以过点a、b 分别作与u 轴垂直的两个平面、 ，那么点 a、b在 u 轴上的射影分别为 a

19、 、b ，且点 a 、b 必定在平面、 上显然，就是在 u 轴上的射影从另一方面看， 线段就是异面直线 aa和 bb (如果它们不平行的话 )的公垂线段，也就是两异面直线间的距离所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上射影的模亦即投影的绝对值就是两异面直线间的距离因为所以|ba|/=|u,abcos|ab|ba|/表示两异面直线间的距离 由于| ，它们之间的距离处处相等，所以u 轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直， 也就是说只要与公垂线方向向量共线即可下面看个例子d1c1 a1b1 n d c e q a m b 图 1uabab10 / 12 例 5正方体 abc

20、da1b1c1d1的棱长为 a，求异面直线 ac 与 bc1的距离解：如图，以直线 da 为 x 轴，dc 为 y 轴，dd1为 z 轴，d 为原点，建立空间直角坐标系则有d(0,0,0)、a(a,0,0)、b(a,a,0)、c(0,a,0)、c1(0,a,a)，且(-a,a,0)，(-a,0,a)，(0,a,0)设(x，y，z)，由=0 =0 ，得-ax+ay+0z=0解得 x=y=z(k,k,k)(k0) -ax+0y+a z=0d= = = = 答：异面直线 ac 与 bc1的距离是综合题：例如图，已知正方体1111abcda bc d 的棱长为 a，求两异面直线bd、1bc 的距离解法

21、一（面面平行法）如附图，两异面直线bd、1bc 间的距离两平行平面1bda 、面11bcd 间的距离 d,且由三垂线定理知1ac 与这两个平行平面垂直。由平面几何知识易证1ac 被这两平行平面三等分，33da解法二（公垂线段法）由上可知，两异面直线bd、1bc 的公垂线段平行且等于131ac ，由13这一特殊的比例关系联想到三角形的重心，启发我们去构造重心!故找寻交线bc的中点p，设11,pcbcm pabdn ，易证m、n分别为1bcc 和abc的重心，由1pmpc=13=pnpa得mn平行且等于131ac ，则mn即为两异面直线bd、1bc 的公垂线段 ! 思维发散：空间四边形的四个内角中

22、，最多有多少个直角呢? 如附图，在空间四边形cmno中cmnmnonoc90， 但对于ocm是否为直角呢？不妨假设90ocm，则异面直线bd、1bc 将有两条公垂线段mn、oc，这与公垂线段的唯一性矛盾！直角最多只能有3 个。图2yzx( d)ocdbcbaa11 / 12 解法三（最小值法）：在1bc 上任取点m，在面1bc 内作mhbc，再在底面abc内作hnb，连mn，设,mhx2,2b hax h nax，则在直角三角形mhn中，有：22222132233aamhxaxx，当3ax，即点m为1bc 的一个三等分点时，min33da解法四（线面平行、等积法）：1bc / 面1a bd ,则两异面直线bd、1bc间的距离直线1bc 到面1abd 的距离点1b 到面1abd 的距离故可由等积法得：11babd11da bb113a bdsd1113abbsa即323(2)346daa33da解法五 （垂面