数学新学案同步必修4北师大版：第三章章末复习

1、章末复习学习目标1.进一步掌握三角恒等变形的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差的公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos( )cos cos sin sin . cos( )cos cos sin sin . sin( ) sin cos cos sin . sin( ) sin cos cos sin . tan( )tan tan 1tan tan . tan( )tan tan 1tan tan . 2.二倍角公式sin 2 2sin cos . cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 . tan 2

2、2tan 1tan2. 3.升幂公式1cos 2 2cos2 . 1cos 2 2sin2 . 4.降幂公式sin xcos xsin 2x2， cos2x1cos 2x2，sin2x1cos 2x2. 5.和差角正切公式变形tan tan tan( )(1tan tan )，tan tan tan( )(1tan tan ). 6.辅助角公式yasin x bcos x a2b2sin(x ). 1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ，是任意的 .() 2.对任意角 ， sin 2 2sin 均不成立 .() 提示如 k ，k z，则 sin 2 2sin 0. 3.y sin xcos x

3、的最大值为2.() 提示 ysin x cos x2sinx4，函数最大值为2. 4.存在角 ， ，使等式cos( ) cos cos 成立 .() 提示如 4， 2，则 cos( )cos 4222，cos cos cos 4cos 2cos 422，两式相等 . 类型一灵活变角的思想在三角恒等变形中的应用例 1已知 ， 为锐角， cos 45，tan( )13，求 cos 的值 . 考点给值求值题点给值求值解是锐角， cos 45，sin 35，tan 34. tan tan ( )tan tan 1tan tan 139. 是锐角， cos 91050. 反思与感悟给值求值的重要思想是探

4、求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变形时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如 22， ( ) ， ( )， 12( )( )， 12( ) ( )等. 跟踪训练1已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|255. (1)求 cos( )的值；(2)若2 0 2，且 sin 513，求 sin 的值 . 考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解(1)因为向量a(cos ，sin )，b(cos ， sin )，|ab|cos cos 2 sin sin 222cos 2 55，所以 22cos( )45，所以 cos(

5、)35. (2)因为 0 2，2 0，所以 0 ，因为 cos( )35，所以 sin( )45，且 sin 513，cos 1213，所以 sin sin( ) sin( )cos cos( ) sin 45121335 5133365. 类型二整体换元思想在三角恒等变形中的应用例 2求函数 f(x) sin xcos xsin x cos x，xr 的最值及取到最值时x 的值 . 考点三角函数的最值或值域题点sin x cos x，sin x cos x 有关的最值或值域解设 sin xcos x t，则 tsin xcos x222sin x22cos x 2sin x4，t 2，2，s

6、in x cos xsin xcos x212t212. f(x)sin xcos xsin x cos x，g(t)tt21212(t1)21，t2，2. 当 t 1，即 sin x cos x 1 时， f(x)min 1，此时，由sin x422，解得 x2k 或 x2k 2，kz. 当 t2，即 sin xcos x2时， f(x)max212，此时，由2sin x42，即 sin x41，解得 x2k 4，kz. 综上，当x 2k 或 x2k 2，k z 时， f(x)取得最小值 1；当 x2k 4，k z 时，f(x)取得最大值212. 反思与感悟在三角恒等变形中，有时可以把一个代

7、数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个 “元”可以明确地设出来. 跟踪训练2求函数 ysin xsin 2xcos x(xr)的值域 . 考点三角函数的最值或值域题点sin x cos x，sin x cos x 有关的最值或值域解令 sin xcos x t，则由 t2sin x4知， t2，2. 又 sin 2x1(sin xcos x)21t2，y(sin x cos x)sin 2xt1t2t12254. 当 t12时， ymax54；当 t2时， ymin21. 函数的值域为21，54. 类型三转化与化归思想在三角恒等变形中的应用例 3已知函数f(x)2 3sin(x3 )si

8、n x22sin2x521，xr. (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)65，x04，2，求 cos 2x0的值 . 考点三角函数的综合问题题点三角函数的综合问题解(1)因为 f(x)3(2sin xcos x)(2cos2x1)3sin 2xcos 2x2sin 2x6，所以 f(x)的最小正周期为.又因为 x 0，2，所以 2x66，76，所以 f(x)的最大值为2，最小值为1. (2)由 (1)可知， f(x0)2sin 2x06. 又因为 f(x0)65，所以 sin 2x0635. 由 x04，2，得 2x0623，76，所以 co

9、s 2x061sin22x0645，cos 2x0cos2x066cos 2x06cos 6sin 2x06sin 634 310. 反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型 )函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质 . 跟踪训练3已知 cos4x 35，1712x74，求sin 2x2sin2x1tan x的值 . 考点三角恒等变换题点三角恒等变换解sin 2x2sin2x1tan x2sin

10、 xcos x2sin2x1sin xcos x2sin xcos x cos xsin xcos xsin xsin 2x 1tan x1tan xsin 2x tan4x. 1712x74，53x42 ，又cos4x 35，sin4x 45，tan4x 43. 2cos24x1cos2 2x sin 2x，sin 2x2cos24x 1 725，sin 2x2sin2x1tan xsin 2x tan4x 725 432875. 类型四构建方程 (组)的思想在三角恒等变形中的应用例 4已知 sin x2cos y2，求 2sin xcos y 的取值范围 . 考点三角函数的取值范围问题题点

11、三角函数的取值范围问题解设 2sin x cos ya. 由sin x2cos y2，2sin xcos ya，解得sin x2a23，cos y4a3，从而12a231，14a3 1，解得 1a52. 故 2sin xcos y 的取值范围是1，52. 反思与感悟在三角恒等变形中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决. 跟踪训练4已知关于 的方程3cos sin a0 在区间 (0， 2 )上有两个不相等的实数解 ， ，求 cos( )的值 . 考点三角恒等变换与方程的综合题点三角恒等变换与方程的综合解设 xcos ，y

12、sin ，则有x2y21，3xy a0，消去 y，并整理得4x22 3axa210.由已知得cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得cos cos 32a，cos cos a214.sin sin (3cos a)(3cos a)3cos cos 3(cos cos )aa2a234. cos( )cos cos sin sin a2 14a23412. 1.若 是第三象限角，且sin( )cos sin cos( )513，则 tan 2等于 () a.5 b.513c.1213d.5 考点半角公式题点应用半角公式求值答案a 解析 sin( )cos sin cos( ) si

13、n( ) sin 513，又是第三象限角，cos 1213. tan 21 cos sin 11213513 5. 2.已知 是第三象限角，且sin4 cos4 59，则 sin 2等于 () a.223b.223c.23d.23考点二倍角的正弦公式题点给值求值答案a 解析由59sin4 cos4 (sin2 cos2 )2 2sin2 cos2 112sin22 ，得12sin22 49，即 sin22 89. 又2k 2k 32(k z)，4k 2 2 4k 3( kz)，故 sin 2 223.故选 a. 3.已知 sin cos 13，sin cos 12，则 sin( ). 考点两角

14、差的正弦公式题点两角差的正弦公式答案5972解析由 (sin cos )2(sin cos )21336，得 2sin( )5936，即 sin( )5972. 4.设 为锐角，若cos 645，则 sin2 12的值为. 考点倍角公式与和角公式的综合应用题点给值求值答案17250解析 为锐角且cos 645，sin 635. sin 2 32sin 6cos 62425，cos 2 32cos2 6 1725，sin2 12sin 2 3422sin 2 3 cos 2 317250. 5.已知函数f(x)cos x sin x33cos2x34，xr. (1)求 f(x)的最小正周期；(2

15、)求 f(x)在闭区间4，4上的最大值和最小值. 考点三角函数的综合问题题点三角函数的综合问题解(1)由已知，有f(x)cos x12sin x32cos x 3cos2x3412sin x cos x32cos2x3414sin 2x34(1cos 2x)3414sin 2x34cos 2x12sin 2x3. 所以 f(x)的最小正周期为t22 .(2)因为 f(x)在区间4，12上是减少的，在区间12，4上是增加的，f 414，f 1212，f 414，所以函数f(x)在闭区间4，4上的最大值为14，最小值为12. 本章所学的内容是三角恒等变形重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进

16、而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质. 一、选择题1.cos 2 017cos 1 583sin 2 017sin 1 583等于 () a.0 b.12c.22d.1 考点两角和的余弦公式题点给角求值答案d 解析原式 cos(2 017 1 583 ) cos 3 600 1. 2.函数 y12sin 2x sin2x(xr)的值域是 () a.12，32b.32，12c. 2212，2212d. 2212，2212考点三角函数的值域或最值题点利用辅助角公式求函数的值域答案c 解析y12sin 2x1c

17、os 2x22222sin 2x22cos 2x 1222sin 2x412. xr，2x4r，sin 2x41，1，函数的值域是2212，2212. 3.函数 f(x)sin xcos x32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() a. ，1 b. ，2 c.2 ，1 d.2 ， 2 考点三角函数的性质题点利用辅助角公式研究三角函数的性质答案a 解析 f(x)12sin 2x32cos 2xsin 2x3，最小正周期t ，振幅 a1. 4.已知 tan 412，且2 ，则sin 2 2cos2sin 4等于 () a.255b.255c.3 55d.31010考点三角恒等变换题点利用三角

18、恒等变换求值答案b 解析sin 2 2cos2sin 42cos sin cos 22sin cos 22cos . tan 41tan 1tan 12，tan 3 ， 2，cos 1010. 则sin 2 2cos2sin 422cos 2 2 1010255. 5.已知向量a (sin ，1)，b(2，2cos 2)2 ，若 ab，则 sin 4等于 () a.32b.12c.12d.32考点三角恒等变换与向量的综合题点三角恒等变换与向量的综合答案d 解析 ab，a b2sin 2cos 2 2 2sin 420，sin 412. 2 ，34 454，cos 432. sin 4 sin4

19、 cos 432. 6.若1tan 3，则 cos2 12sin 2 的值是 () a.65b.45c.45d.65考点三角恒等变换题点利用三角恒等变换求值答案d 解析由题意知， tan 13，则 cos2 12sin 2 cos2 sin cos cos2 sin cos sin2 cos21tan tan2 165. 7.函数 ysin xcos x3cos2x3的图像的一个对称中心为() a.23，32b.56，32c.23，32d.3，3考点三角函数的性质题点利用辅助角公式研究三角函数的性质答案b 解析y12sin 2x32(1cos 2x)3sin 2x332，令 2x3k (k z

20、)，xk26(kz)，当 k2 时， x56，函数图像的一个对称中心为56，32. 二、填空题8.若点 p(cos ，sin )在直线 y 2x 上，则 sin 2 2cos 2 . 考点正弦、余弦的二倍角公式题点利用倍角公式求值答案 2 解析由题意知， tan 2， sin 2 2cos 2 2sin cos 2cos2 2sin22sin cos 2cos2 2sin2sin2 cos22tan 2 2tan2tan2 14 2245 2. 9.函数 y(acos x bsin x)cos x 有最大值2，最小值 1，则实数a，b. 考点三角函数的值域或最值题点利用辅助角公式研究三角函数的

21、值域或最值答案1 2 2 解析 yacos2xbsin xcos xb2sin 2xa2cos 2xa2a2b22sin(2x )a2，a2b22a22，a2 b22a2 1，a1， b 22. 10.若32 2 ，sin 35，则 cos 2. 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案3 1010解析32 2 ，342.又 sin 35，cos 45，cos 21cos 214523 1010. 11.若 (4tan 1)(14tan )17，则 tan( ). 考点两角差的正切公式题点逆用两角差的正切公式求值答案4 解析由已知得4(tan tan ) 16(1tan tan )，即tan tan 1tan tan4. tan( )4. 三、解答题12.已知函数f(x) 11tan x