正弦余弦定理的应用举例实用教案

1、会计学1正弦正弦(zhngxin)余弦定理的应用举例余弦定理的应用举例第一页，共26页。 例例6 6 在在ABCABC中，求证：中，求证： 222si n()si nabABcC第1页/共26页第二页，共26页。sinsinABACCB分析：已知两角一边，可以用正弦分析：已知两角一边，可以用正弦(zhngxin)定定理解三角形理解三角形测量者在测量者在 的同侧，在所在的河岸边选定一点，的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出测出 的距离是的距离是55 m， 求求 两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）ACAC 51 , 75 ,BACACBAB、例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测

2、量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。一、测量一、测量(cling)距离距离1 1、河两侧、河两侧(lin(lin c) c)的两点间的距离的两点间的距离第2页/共26页第三页，共26页。解：根据正弦解：根据正弦(zhngxin)定理，得定理，得sinsinABACACBABCsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ACACBACBABABCABCm答：答： 两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。,A B5175第3页/共26页第四页，共26页。B分析：用例1的方法(fngf)可以在在ACD中，可求出AC

3、长；在BCD中，可求出BC长；在ABC中，由AC、BC、 可求出AB长.PABDCAa例例2、 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。AB、2 2、河同侧两点间的距离、河同侧两点间的距离(jl)(jl)转化转化(zhunhu)(zhunhu)为例为例1 1第4页/共26页第五页，共26页。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点 ，测，测得得 ,并且在并且在 两点分别测得两点分别测得, .在在 和和 中，应用正弦定理中，应用正弦定理得得CD、CDaCD、,BCAACD , CDBBDAAD

4、CBDCsin()sin()sin()sin 180()aaAC sinsinsin()sin 180()aaBC计算出计算出 和和 后，再在后，再在 中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出 两点间的距离两点间的距离ACBCABCAB222cosABACBCACBCABDCa第5页/共26页第六页，共26页。在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线基线，如例如例1中的中的 ，例，例2中的中的 .在测量过程中，要根据实际在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一

5、一般来说，基线越长，精确度越高般来说，基线越长，精确度越高.ACCD例如，早在例如，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角，测量计算望角，测量计算 的大小和两地之间的距离的大小和两地之间的距离 ，从，从而算出了地球与月球之间的距离约为而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.（如图）（如图）我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴长长.当然，随着科学技术的发展，还有一些更加先进与准确当然

6、，随着科学技术的发展，还有一些更加先进与准确的测量距离的方法的测量距离的方法., ABAB图1.2-3第6页/共26页第七页，共26页。仰角、俯角、视角仰角、俯角、视角(shjio) 如图，当我们进行测量时，在视线与水平线如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角方的角叫做俯角 由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角叫做视角成的角叫做视角(shjio)数学数学(shxu)理论理论第7页/共26页第八页，共26页。解直角三角形解直角三角形:R

7、tACE和和RtADE中中,列方程求解列方程求解(qi ji).例例3 ：AB是底部不可到达的一个建筑物，是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高为建筑物的最高点设计点设计(shj)一种测量建筑物高度一种测量建筑物高度AB的办法的办法ECD 分析分析(fnx): 解斜角三角形解斜角三角形:斜斜ADC求求AC，RtACE中中,求求AE.二、测量高度二、测量高度1 1、一个竖直平面内的高度、一个竖直平面内的高度第8页/共26页第九页，共26页。,G H第9页/共26页第十页，共26页。例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上 处测得地面处测得地面上一点上一点 的俯角的俯角 ，在塔，在塔底底 处测得处测

8、得 处的俯角处的俯角 。已知铁塔已知铁塔 部分的高为部分的高为27.3m，求出山高求出山高 (精确到精确到1m)BA=54 40CA=50 12BCCDABCD分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出 或或 的长的长ABAC解：在解：在 中中ABC90BCABACBAD所以根据所以根据(gnj)正弦定理，可得正弦定理，可得)90sin()sin(ABBC第10页/共26页第十一页，共26页。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，ABCD)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBAD

9、ABBDABDRt得解17727.3149.7150( )CDBDBCm答：山的高度答：山的高度(god)约为约为150米。米。第11页/共26页第十二页，共26页。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得处时测得公路北侧远处一山顶公路北侧远处一山顶 在西偏北在西偏北15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达 处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此，求此山的高度山的高度 .DABCD82515A82515BCD分析：要测出高分析：要测出高 ,只要测出高所在的直角三角形的另只要测出高所

10、在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出 的长。的长。CDBC2 2、立体、立体(lt)(lt)中的高度中的高度第12页/共26页第十三页，共26页。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得处时测得公路北侧远处一山顶公路北侧远处一山顶 在西偏北在西偏北15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达 处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此，求此山的高度山的高度 .（长度精确到（长度精确到1m）DABCD根据正弦根据正弦(

11、zhngxin)定理，定理，解：在解：在 中中ABC15 ,A251510CCABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCtantan81047( )CDBCDBCBCm答：山的高度答：山的高度(god)约为约为1047米。米。A82515BCD第13页/共26页第十四页，共26页。15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC例例6 一艘海轮从一艘海轮从 出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛 ,然后从然后从 出发，沿北偏东出发，

12、沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛 .如果下次航行直接从如果下次航行直接从 出发到达出发到达 ,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到到0.1,距离精确到距离精确到0.01n mile）?ABBCAC解：在解：在 中中ABC1807532ABC根据根据(gnj)余弦定理，余弦定理，得得三、测量三、测量(cling)角角第14页/共26页第十五页，共26页。sinsinsinsin54.0sin1370.3255,113.15BCACCABABCBCABCCABAC所以所以(suy)，答：此

13、船应该答：此船应该(ynggi)沿北偏东沿北偏东56.0的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15n mile.由正弦由正弦(zhngxin)定理，得定理，得19.0CAB7556CAB第15页/共26页第十六页，共26页。借助于正弦借助于正弦(zhngxin)定理和余弦定理，我们可以进一步解决一些有关定理和余弦定理，我们可以进一步解决一些有关三角形的计算问题，以及一些三角恒等式的证明问题三角形的计算问题，以及一些三角恒等式的证明问题.在在 中，边中，边 上的高分别记为上的高分别记为 那么那么容易证明：容易证明：ABC,BC CA AB,abch h hCABchbhahsinsin

14、sinsinsinsinabchbCcBhcBaChaBbA根据三角形的面积公式根据三角形的面积公式 ，应用以上高的公式，应用以上高的公式12SahsinahbC可以推导可以推导(tudo)出下面的三角形的面积公式：出下面的三角形的面积公式：1sin2SabC同理：同理：1sin,2SbcA1sin2ScaB四、三角形面积四、三角形面积(min j)（1 1）、面积公式的推导）、面积公式的推导（2 2）、结论）、结论1 1、面积公式、面积公式第16页/共26页第十七页，共26页。211(1)sin23.5 14.8 sin148.590.9()22ScaBcm解：例例7 在在 中，根据下列条件

15、，求三角形的面积中，根据下列条件，求三角形的面积S (精确到精确到0.1cm)ABC(1)已知已知14.8,23.5,148.5 ;acm ccm B(2)已知已知62.7 ,65.8 ,3.16;BCbcm（3）已知三边的长分别）已知三边的长分别为为41.4,27.3,38.7.acm bcm ccmsin(2)51.5 ,sinbCAcB2222(3)cos0.7679,sin1 cos0.6384,2cabBBBca21sin511.4().2ScaBcm2211sinsinsin4.0().22sinCASbcAbcmB2 2、求三角形的面积、求三角形的面积(min j)(min j)

16、第17页/共26页第十八页，共26页。例例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别(fnbi)为为68m,88m,127m，这，这个区域的面积是多少（精确到个区域的面积是多少（精确到0.1m）?2222221276888cos0.7532,22 127 68cabBca解：设解：设 ,根据余弦定理的推论，根据余弦定理的推论，68 ,88 ,127am bm cm2sin1 0.75320.6578.B 1sin,2ScaB应用得

17、21127 68 0.65782840.4().2Sm22840.4.m答：这个区域的面积是3 3、三角形面积、三角形面积(min j)(min j)公式的应用公式的应用第18页/共26页第十九页，共26页。).coscoscos(22sinsinsin19222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求证：在例证明证明(zhngmng)：sinsinsinabckABC（1）根据）根据(gnj)正弦定理，可设正弦定理，可设显然显然0,k 222222222222sinsinsinsinsinsinabkAkBABckCC所以左边右边（2）根据余弦定理）根据余弦定理

18、(y xin dn l)的推论，的推论，2222222222222bcacababcbccaabbccaab右边（）222abc左边五、三角形中恒等式的证明五、三角形中恒等式的证明方法一：边化角方法一：边化角方法二：角化边方法二：角化边第19页/共26页第二十页，共26页。六、海上台风预报问题六、海上台风预报问题(wnt)的研究的研究海上台风预报是天气预报中的一个重要课题，是一个庞大海上台风预报是天气预报中的一个重要课题，是一个庞大(pngd)的系统工程的系统工程.作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生命财产安全具有重要的意义。命财产安全具有重要的意义

19、。例例10、在某海滨城市附近海面有一台风，当前台风中心位于、在某海滨城市附近海面有一台风，当前台风中心位于（如图（如图1）的东偏南）的东偏南 方向方向 海面海面 处，并以处，并以 的速度向西偏北的速度向西偏北 方向移动方向移动.台风侵袭的范围为圆形台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为区域，当前半径为 ，并以，并以 的速度不断增大的速度不断增大.问几问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？个小时后该城市开始受到台风的侵袭？O2(cos)10P20/km h300km4560km10/km hrOP45东东北北Q第20页/共26页第二十一页，共26页。设在时刻设在时刻 台风中心位于台风中心位于 如图

20、所示如图所示,此时台风侵袭此时台风侵袭的圆形区域的半径为的圆形区域的半径为 ，则时刻，则时刻 城市城市 受受到台风侵袭的条件为到台风侵袭的条件为( )t hQtO解：由余弦定理解：由余弦定理(y xin dn l)知知2222cosOQPQPOPQ POOPQ容易计算得：容易计算得：4coscos(45 )5OPQ于是可以得到于是可以得到2224(20 )3002 20300(1060)5ttt 解得解得1224t 答：答：12小时小时(xiosh)后该城市受到台风侵袭，后该城市受到台风侵袭，24小时小时(xiosh)后风过天晴。后风过天晴。rOP45东东北北1060()tkm1060OQtO

21、Q45P第21页/共26页第二十二页，共26页。11545ASBSBAS 解：在中，sin2016.1sin207.787()sin45sin45ABSBnmile,sin657.06()SABhhSBn mile 设点 到直线的距离为则6.5hnmile此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在 处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向方向,30min后航行到后航行到 处，在处，在 处看灯塔在处看灯塔在船的北偏东船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距

22、离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？以继续沿正北方向航行吗？ABB由正弦定理得第22页/共26页第二十三页，共26页。（1 1）什么）什么(shn me)(shn me)是最大是最大仰角？仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABCABC中已知什么中已知什么(shn me)(shn me)，要求什么，要求什么(shn me)(shn me)？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为 ,AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 6 20第23页/共26页第二十四页，共26页。最大角度最大角度最大角度最