正弦定理公开课用实用教案

1、会计学1正弦正弦(zhngxin)定理公开课用定理公开课用第一页，共27页。创设创设(chungsh)(chungsh)情境情境.B.A.C第1页/共27页第二页，共27页。11/27/2021ACBcba想一想想一想? ?中在一个直角三角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin问题问题(wnt) （2）上述结论(jiln)是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1 1）你有何结论）你有何结论(jiln)?(jiln)?一、定理的猜想一、定理的猜想cc1第2页/共27页第三页，共27页。11/27/2021二、定理二、

2、定理(dngl)的证明的证明如图，当如图，当 ABC是锐角三角是锐角三角形时，设形时，设AB边上的高是边上的高是CD，根据三角函数的定义可得根据三角函数的定义可得BCAaAbBaCDsinsinBbAasinsin同理可得同理可得，CcBbsinsinCcBbAasinsinsin那么当那么当 ABC是钝角是钝角三角形时，以上结论三角形时，以上结论还成立么？还成立么？是否可以用其他方法是否可以用其他方法证明正弦定理？证明正弦定理？bDca第3页/共27页第四页，共27页。 asinAbsinBcsinC2R.=2RbsinB则设并延长交圆于连结为圆心作三角形的外接圆已知中在钝角,2,RABBA

3、OOcABbACaBCABC.2sinsinsin，对任意三角形都成立RCcBbAa090 ,sinsin2ACBBBbBBR 同理可得同理可得CABBobac第4页/共27页第五页，共27页。11/27/2021正弦定理：在一个正弦定理：在一个(y (y )三角形中，三角形中，各边和它所对角各边和它所对角 的正弦的比相的正弦的比相等等. .正弦正弦(zhngxin)定定理理: 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的的对边和它们的的对边a a，b b，c c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他他(qt)(

4、qt)元素求其他元素求其他(qt)(qt)元素的过程叫做解三角形元素的过程叫做解三角形外接圆的半径为 ABCRRCcBbAa2sinsinsin第5页/共27页第六页，共27页。11/27/2021公式公式(gngsh(gngsh) )变形变形: :ARasin2 BRbsin2 CRcsin2 CBAcbasin:sin:sin: 第6页/共27页第七页，共27页。11/27/2021三、正弦定理的应用三、正弦定理的应用RCcBbAa2sinsinsin（2）已知两角和任一边，求其他）已知两角和任一边，求其他(qt)两边和一角；两边和一角；（1）已知两边和其中一边的对角）已知两边和其中一边的

5、对角(du jio)，求另一边的对角，求另一边的对角(du jio)（从而进一步求出其他（从而进一步求出其他 的边的边和角）和角）知知 “三三” 求求 “三三”第7页/共27页第八页，共27页。11/27/2021 学以致用学以致用(xu y zh yng)C.B.A 已知三角形的两个角已知三角形的两个角 和一条和一条(y tio)边边AB=1公里，求另一条公里，求另一条(y tio)边边AC。45,60CB解：由正弦解：由正弦(zhngxin)定理得；定理得；AC ABsinB sinC=解得解得AC=（公里）26第8页/共27页第九页，共27页。11/27/2021例例1.在在ABC中，已

6、知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334正弦定理应用一：正弦定理应用一： 已知两边和其中一边已知两边和其中一边(ybin)对角，求另一边对角，求另一边(ybin)的对角，进的对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）290122222sinsinsinsin:0cBaAbBBbAa解232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 A

7、CacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacCBaAbBBbAa或或或或解解第9页/共27页第十页，共27页。11/27/2021点拨：已知两边和其中一边点拨：已知两边和其中一边(ybin)的对角解三角形时的对角解三角形时,通常要用到三角通常要用到三角形内角和定理或大边对大角定理等形内角和定理或大边对大角定理等三角形有关性质三角形有关性质.第10页/共27页第十一页，共27页。11/27/2021例例2 2、用正弦定理证明三角形面积用正弦定理证明三角形面积BacAbcCabSABC

8、sin21sin21sin21BACDabc证明(zhngmng)：过点A作 交BC于点D，则aADSABC21CbBcADsinsin利用正弦定理可得CabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21AbcSABCsin21BCAD 第11页/共27页第十二页，共27页。11/27/2021;,120,30,12)1(.30aBAbABC求已知中在例., 2,60,30)2(00caCBA求已知.,30,105,10)3(ABCSbCAc求已知第12页/共27页第十三页，共27页。11/27/2021;,)(aBAb求已知1203012100

9、012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34第13页/共27页第十四页，共27页。11/27/2021., 2,60,30)2(caCBA求已知,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac第14页/共27页第十五页，共27页。11/27/2021.,30,105,103ABCSbCAc求）已知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,45)30105(180)(180CAB21030sin45sin10sinsinCBcbAbcSABCsin21 105sin1021021第15页/

10、共27页第十六页，共27页。11/27/2021点拨：已知两角和任意点拨：已知两角和任意一边，求其余一边，求其余(qy)(qy)两边和一角两边和一角, ,此时的解是此时的解是唯一的唯一的. .第16页/共27页第十七页，共27页。11/27/2021;,60, 1, 3) 1 (. 4CAaBcbABC，和求已知中在例。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形第17页/共27页第十八页，共27页。11/27/2021NoImage;,60, 1,3)1 (.4CAaBcbABC，和求已知中在例9030,60, ACCBCBcb，为为锐锐角角，

11、,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca第18页/共27页第十九页，共27页。11/27/2021.,45,22,32)2(ABba求求已已知知 bBaAsinsin 解解：232245sin32 )(,大边对大角BAba12060 或或 A第19页/共27页第二十页，共27页。11/27/2021(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形sinsinbABa解 ：20120sin28 11037 .本本题题无无解解第20页/共27页第二十一页，共27页。11/27/20213练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则

12、B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我自我(zw)提高！提高！A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、不能确定(qudng)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的形状是的形状是则则若若中中在在练习练习 CCB第21页/共27页第二十二页，共27页。11/27/2021正弦定理正弦定理(dngl)的用途：的用途：(1) (1) 已知两角和任一边已知两角和任一边(ybin)(ybin)，解三

13、，解三角形角形（解唯一（解唯一(wi y)）(2) (2) 已知已知两边两边和其中和其中一边的一边的对对角角，解三角形，解三角形（解不唯一（解不唯一）(3)(3) 判断三角形的形状判断三角形的形状. .从已知条件出发，寻找到三角形的边与边或角从已知条件出发，寻找到三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之。与角之间的关系，然后判断之。第22页/共27页第二十三页，共27页。11/27/2021 课时课时(ksh)小结小结 二个二个 应用应用 ： 已知两角和一边（只有一解）已知两角和一边（只有一解） 已知两边和其中已知两边和其中(qzhng)一边的对角一边的对角 （有一解，两解（有一解，两解，无解），无解） 一个定理一个定理(dngl)： 正弦定理正弦定理(dngl)