简单曲线的极坐标方程学案

1、三简单曲线的极坐标方程歹预习导学歹预习导学!挑战自我，点点落实学习LI标1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.知识链接1曲线的极坐标方程是否唯一？提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多 种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是Q=2COS0,那么该曲线对应怎样的儿何图形？提示由p=2cos得p2 = 2pcos,即x2+y2=2x,即标准方程为(%l)2+jr =1,曲线为以(1,0)为圆心，半径为1的圆.预习导引1曲线与方程的关系在平面直角坐

2、标系中，平面曲线C可以用方程/.X,y)=0表示，曲线与方程满足 如下关系：曲线C上点的坐标都是方程夬x, y) = 0的解；以方程金，y) = 0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满 足方程弘，)=0,并且坐标适合方程心，)=0的点都在曲线C上，那么方 程血 )=0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为厂的圆p=i(OW02IT)圆心为（厂，0）,半径为厂的圆p=2/cos0(JTJTl 2电)圆心为（儿半径为厂的圆oXp=27一 二sm0(OWE)过极点，倾斜角为d

3、的直线/A3=a或0=a+兀过点（Q, 0）,与极轴垂直的直线O(a.O) %pcos0 =a(JIJIA亍 f过点（d,斗），与极轴平行的直线阴)I111ofr11psin0 =ci(O0v n )要点一 圆的极坐标方程例1求圆心在C（2,斗彳处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点（-2, sin讣）是否在这个圆上.解如图，由题意知，圆经过极点O, CU为其一条直径，设；M（p,0）为圆上除点O, /以外的任意一点，则|CU|=2儿连接VcJ贝ijOM丄.在RtAOJM中，|OM| = |CU|cosZ/OM,即p人J Q = 4sin0 ,经验证，点0（0, 0）,彳4,斗 |的坐标满足上

4、式.满足条件的圆的极坐标方程为p=4sin0.5口1. 5口二 sm=刁 Q = 4sm = 4sm= 2,点（一2, sin|在此圆上.规律方法1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）：（2）在曲线上任取一点M（p,“）：（3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（4）用极坐标“）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）.2求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的儿何条件，并进行坐标表课堂讲义课堂讲义垂点难点.个个击破f3n= 27COS| 跟踪演练1曲线C的直角坐标方程为x

5、2+y2+2x=0,以原点为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.解析 直角坐标方程“+長一2x=0可化为将二工+尸/二0代入整理得/?=2cos0.答案p=2cos要点二射线或直线的极坐标方程例2如图，在极坐标系中，直线/过加(3,今且该直线与极yl轴的正方向成寸，求此直线/的极坐标方程.7解法一设直线上任意一点为PS，“)，在中ZOMP*兀 兀3JIp3才.根据正弦定理得一一 ,法二 设直线上任意一点为PS，0),点M的直角坐标为(0, 3),直线的倾 斜角为夕，：直线/为y=x+3,化直角坐标方程为极坐标方程为psin0 =pcos规律方法 法一通过运用正弦定

6、理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而 集中条件建立了以”，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然 后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化 了思维方式，而且简化了解题过程.跟踪演练2求以.4(1, 0)为端点，倾斜角为土且在极轴上方的射线的极坐标方 程.解 山题意，设MS，为射线上任意一点，根据例题可知，Qsin(宁一=，化简得“(cos0sill)=1经检验点/(l, 0)的坐标适合上述方程.因此，以刃为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为p(cos”一sino)=1其中Q0, 0W04 P-CS=5=2P=2pcos+5.VP =yjx2+y1f

7、Pcos=x,代入上式得2y?4-p = 2x+5,两边平方整理得 尸=5x+亍，它表示的曲线为抛物线.答案D3已知直线/的极坐标方程为2psin（寸|=迈，点/的极坐标为2迄，子 则点A到直线7的距离为_ .解析 由2处寸0 |=羽得yx=1. /.x1 = 0.而点对应直角坐标为刃（2, -2）,则点出2, 2）到直线xy+l=0的距离为|2+2+1|5迈2 -答案答案军（nA3 n4.设片2,丁丿， 直线/经过P点且与极轴所成的角为， 求直线1的极坐标方程.解 如图，设w，“）为直线/上除P点外的任意一点，连接OM.OP、直线/交Ox于点则旬OM=p, |OP|=2,ZxAM3 nnnn

8、=,ZAOP=9故ZOPM=9ZMOP=0寸所以有OMcosZMOP=OP,即pcos（一）=2,显然P点也在这条直线上，直线/ 的极坐标方程为pcos *j=2.戸分层训练戸分层训练解疑纠偏.训练检测一、基础达标1.圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标方程为（）A Q=1B.P=cosoC. P=2cos0D.P=2sin0解析 圆的直角坐标方程是（X1）2+ = 1,将x=pcos，尹=/?sin代入上式,整理得，P=2cos久 即为此圆的极坐标方程.答案C2在极坐标系中， 圆p=2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.O=O(/?WR)和pcos0=2B=SGR)和pcos0=

9、2C.和pcoso = lD.0=OSGR)和“cos0 = 解析 由p=2cos ， 得p-=2pQQS 0 ,化为直角坐标方程为工+長一2x=0,即(A1)2+=1,其垂直于极轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标 方程为0=斗gR)和“cos0=2.答案B3极坐标方程psin=2sin2表示的曲线为()A.两条直线B.条射线和一个圆C.条直线和一个圆D.圆解析 曲/J-siii0=2siii 20,得psin=4sin cos“，即sin一4cos “) =0, /.sin =0或p4cos =0.： 极坐标方程psin=2sin20表示的曲线 为直线sin =0和圆p=4cos

10、0.答案C4.在极坐标系中，设圆C： p=4cos0与直线/： 0=fgR)交于B 两点,则以AB为直径的圆的极坐标方程为()A.”=2迄sin 0+另C.p=2迈cos 0+另解析 根据题意可得圆C的直角坐标方程为X2+/=4X,直线/的直角坐标方程 为y=x,联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0, 0), (2, 2),所以在 直角坐标系中，以为直径的圆的圆心为(1, 1)、半径为迈，则方程为工+尸=2x+2y,所以所求极坐标方程为p=2(cos 0+sin 0) = 2伍讨0+彳) 答案A5.在极坐标系 S，)(00衣2巧中，直线0=亍被圆p = 2sin0截得的弦长是B.p=/

11、isin（&_另D.p=/2cos（ 0_扌）解析 直线为y=x(xO),圆的方程为x2+C1)2=1,交于原点和点J(l, 1),弦长为辺.6在极坐标系中，曲线Ci与C2的方程分别为2pcos2=sin与pcos =1以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线Ci与C2交点的直角坐标为_ 解析 由2pcos，=sin =2 P2cos2=/?sin(=2x2=y.乂由pcos =l=x=l,答案2)7.已知圆C的极坐标方程为，+2羽Qsin 0士|一4 = 0,求圆C的半径.则圆C的直角坐标方程为”+y22x+2y4 = 0,即匕一l)2 + (y+

12、l)2 = 6,所以圆C的半径为&二、能力提升8.下列点不在曲线p = cos上的是()A.gT)B.C.Q, mD.解析 点g，亍11)的极坐标满足=+， =討，且Hcos =cos(-訂)由严,J-l,U=10=2,故曲线Cl与C2交点的直角坐标为(1, 2).解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴，建1“ COS立直角坐标系兀5圆C的极坐标方程为p2+2迄Q化简，得p+2/?sin0 2pcos 04 = 0.0-4 = 0,1 2JI)_亍T)12d)X_丁丿1=2答案D9在极坐标系中与圆p=4sin相切的一条直线的方程为（）化为p2=4 Psin0

13、,即x2+j2=4y,即x2+ ()2)2=4.山所给的选项中pcos0=2知，x=2为其对应的直角坐标方程，该直线与 圆相切.答案B10._在极坐标系中，曲线pcos2=4sin0的焦点的坐标为_.（规定：OWXZTU）解析易知曲线pcos=4siii3的直角坐标方程为工=4尹，故该曲线焦点的直角 坐标为（0, 1）,极坐标为（1,答案（1，期11.在极坐标系中，已知圆C经过点”迈，士圆心为直线从血（一寸）=一爭与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.令0=0,得p = l,所以圆C的圆心坐标为（1,0）,因为圆C的经过点H血，宁）,所以圆C的半径PC=（2）2+l2-2XlxV2cosy=l,于

14、是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为p=2cw 0.12.在直角坐标系xQy中， 以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为/?cos0-y=l, M,N分别为C与x轴，丁轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求M, N的极坐标；B.QCOS=2DJI3解析极坐标方程p=4siiiP=4si0（2）设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.当0=0时，Q=2,点M(2, 0).(2)由知，M点的坐标(2, 0),点N的坐标(0,点彳1,喲，则点卩的极坐标为(羊，y.所以直线OP的极坐标方程为 三、探究与创新13.在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2,宁)，半径r=l, P在圆C上运动.(1)求圆C的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若0为线段OP的中点，求点0轨迹的直角