波动光学复习题

1、第一章1.2 光自真空进入金刚石（nd=2.4）中，若光在真空中的波长0=600nm，试求该光波在金刚石中的波长和传播速度。解：，1.4 有一个一维简谐波沿z方向传播，已知其振幅a=20mm，波长=30mm，波速v=20mm/s，初相位0=/3。（1）试问该简谐波的振动物理量是什么？（2）写出该简谐波的波函数。（3）试在同一图中画出t=0和t=0.5s两个时刻的波形图（z的范围自02），并指出波的传播方向。解：（1）E B（2）该简谐波的波函数如下：（3）该波沿z轴方向传播。1.6 试求一维简谐波的相速度，问该简谐波的传播方向为何？（z和t的单位分别是米和秒）解：将z写成：，所以，该波沿z轴负

2、方向传播。1.7 有一频率为v0的一维简谐波沿Z方向传播，已知OB段媒介与BC段媒质性质不同：在OB段，波速为v1（cm/s），波长为1（cm），振幅为E10；在BC段，波速为v2，振幅为E20。假设t=0时，O点处的相位为零，在B点处相位连续，试求OB段和BC段的波函数表达式。解：在OB段：，t=0时，B点相位为，此即为BC段初相位。，对于BC段而言，所以，当t=0时，z=3，则有：1.9有两个简谐波，其波函数分别为：，（1） 试用相幅矢量法求合成波的振幅和初位相。（2） 写出合成波的波函数。解：将两个波首先用相幅矢量来表示，并求出它们的合矢量，如图，则有：E130°30°

3、;30°E(1)合成波的初相位为60°；其振幅为：E2(2)合成波的波函数为：1.12 有一个波长为的简谐平面波，其波矢k与y轴垂直，与z轴的夹角为（见图）。试求这个波的各个空间频率分量及在z=0平面上的复振幅表达式。解： ， 它在z=0平面上的复振幅为： 1.22 设一简谐平面电磁波电矢量的三个分量（采用MKSA单位）分别为：（1） 试求该电磁波的频率、波长、振幅和初位相。并指出其中振动方向和传播方向。（2） 写出这个波的磁感应强度B的分量表达式。解：（1）将Ey改写成：，该波沿x轴方向传播，振动方向为y轴方向。（2）因波沿x轴方向传播，所以B应为Bz，又，1.23 有一

4、简谐平面波在玻璃内传播，已知其波函数为：试求该波的频率、波长、传播速度，并求玻璃的折射率。解：，频率：1.28 一束平面光波以布儒斯特角入射到一透明平行平板上，试证明在平板上、下表面反射的都是线偏振光。Btt证明：如图，设平板的折射率为n，上、下皆为空气，当光线以布儒斯特角入射时，则有：sinB = nsint，由于平班上、下表面平行，现在只要证明t正好为下表面的布儒斯特角即可。由上式：，根据布儒斯特定律，布儒斯特角为：，B+t = 90°平板两表面平行，对于下表面来说，对于下表面也是布儒斯特角，所以反射光也为线偏振光。1.33 一玻璃平板（n=1.5）置于空气中，设一束振幅为E0、

5、强度为I0的平行光垂直射到玻璃表面上，试求前三束反射光R1、R2、R3和前三束透射光T1、T2、T3的振幅和强度。（图见书p49）解：根据菲涅耳公式，当光线垂直入射时，有：，对于上表面，有：，对于下表面，有：，先看反射光：R1反射一次，R2：R3：强度：，对于透射光，T1：T2：T3：，1.35 一束振动方向平行于入射面的平行光以布儒斯特角射到玻璃棱镜（n=1.5）的侧面AB上，如图所示，欲使入射光通过棱镜时没有反射损失，问棱镜顶角A应为多大？ BtACBD解：与入射面平行的是P分量，当以布儒斯特角入射到界面上时，P分量的反射系数为0，没有能量损失。所以，只要该光线在AC面上仍旧以布儒斯特角入

6、射，t就没有反射损失。t，在AC面上，由1-28题可知，当时，所以此时光线在AB面上也满足布儒斯特定律B又因为，D是AB、AC两法线的交点，1.38 如图所示，一直角棱镜（n=1.5）置于空气中，试问为了保证在棱镜斜面上发生全反射，最大入射角max为何？cD解：若要在斜面上全反射，则，t与c之间的关系是：，答：最大入射角约为4.79°第三章 光的干涉3.1 试利用复数表示法求下述两个波：的合成波函数，并说明该合成波的主要特点。解：，这是两个传播方向相反的波，合成后为驻波，利用驻波合成：，该驻波满足时，为驻波；满足时，为波节。3.3 有两个波面与y轴平行的单色平面波分别以1和2角射向观

7、察屏II（z=0平面），如图所示。已知此两光波的振幅均为E0，振动方向平行于xz平面，波长=500mm，初相位分别为10=0，20=30°。（1）试求沿x轴的光强分布表达式；（2）试问距离O点最近的光强极大值位置为何？（3）设1=20°，2=30°，求x方向光强度分布（即条纹）的空间频率和空间周期。（4）求干涉条纹的反衬度。解：根据空间频率的计算公式，在x轴方向，波的空间频率分别为：，现在，两列波在xy面上相遇并干涉，则在xy面上，波的复振幅可表示为：，或可表示为，或可表示为所以，干涉场为：则光强为：，其中，利用欧拉公式，将1、2代入，最终得到：当时，为干涉极大，

8、；当m=0时，此时，为距O点最近的极大处。求出m=0时条纹位置和m=1时条纹位置，它们的差就是条纹的间距。当m=1时，与m=0时的位置之差：其空间频率为空间周期的倒数，则：。（4）由公式：，其中为两支光的振动方向的夹角，可以得到：所以，此时干涉条纹的反衬度为0.71。3.5 在杨氏实验装置的一个小孔s1后面放置一块n=1.5、厚度h=0.01mm的薄玻璃片，如图所示。试问与放玻璃片之前相比，屏II上干涉条纹将向哪个方向移动？移动多少个条纹间距？（设光源波长为500nm）。解：（1）放入玻璃片之后，由s1到达P点的光波的光程增加，所以，屏上的干涉条纹的零级将向上方移动。（2）由厚度为h的玻璃片引

9、进的光程差为，由于这个光程差，使原来的0级条纹可能移动到了P处，原来P处的条纹可能是m级，m是s1P和s2P的差，现在这个差被h中和了，条纹移动了10个间距。3.6 在图3-16的杨氏干涉装置中，设光源s是一个轴外点光源，位于=0.2mm处，光源波长=550nm。已知双缝间距l=1mm，光源至双缝距离a=100mm，双缝至观察屏II的距离d=1m。试求：（1）屏II上的强度分布；（2）零级条纹的位置；（3）条纹间距和反衬度。解：由于s位于轴外，此时由s发出的经s1、s2到达P点的光的光程差就由两部分组成：，所以，根据干涉公式：（1）屏上的光强分布为。（2）零级条纹位于=0处，零级条纹位于P点下

10、方2mm处。（3）条纹间距为：当为2m时，当为(2m+1)时，。3.9 已知He Ne激光器的波长=632.8nm，谱线宽度约为0.00006nm，试问若用它作为光源，干涉条纹的最高干涉级和相干光程各为何？解：由公式：最大干涉级，相干长度3.11 假设图示菲涅耳双棱镜的折射率n=1.5，顶角=0.5°，光源s和观察屏II至双棱镜的距离分别为a=100mm和d=1m，若测得屏II上干涉条纹间距为0.8mm，试求所用光源波长的大小。解：根据双棱镜干涉的公式：屏幕上条纹间距为，3.13 瑞利干涉仪可用来测量媒质折射率的大小，其光路如图所示，T1和T2是两个完全相同的玻璃管，对称地放置在双缝

11、S1、S2后的光路中。通过玻璃管的两束光被透镜L2汇聚在屏II上产生干涉条纹。测量时，光在T1、T2管内以相同气压的空气开始观察干涉条纹；然后把T1管逐渐抽成真空，与此同时计数到条纹向下移动了49条。其后，再向T1管内充以相同气压的CO2气体，观察到条纹回到原位后又向上移动了27条。已知管长为100mm，光源波长为589nm，试求空气和CO2气体的折射率大小。解：（1）移动的49个条纹是由两路光程不一样引起的，即此时两路光的光程差为1=49，此是由管内分别为空气和真空引起的，所以：，=1.00028861将CO2充入T1后，条纹回到原位又向上移了27条，这27条是空气和CO2的折射率不同造成的

12、，或者，与真空的T1管情况相比条纹共移动了27+49=76条，这是由真空和CO2的折射率不同引起的，所以，由此可求出nCO2：或：3.14 在海定格干涉仪中，设平板玻璃折射率为n=1.5，板厚d=2mm，宽光源s的波长=600nm，透镜焦距f=300mm。试求：（1）干涉条纹中心的干涉级，试问是亮纹还是暗纹；（2）从中心向外数第8个暗环的半径及第8个和第9个暗纹间的条纹间距；（3）条纹的反衬度。解：（1）诲定格干涉仪圆环中心处对应的干涉级为：，所以中心处为暗级。（2）从中心处自外数，第8个暗纹的半径为：，N=8第9个暗纹的半径为（N=9）： 所以，它们的条纹间距为：（3）在不考虑其它因素的情况

13、下（可以用扩展光源，光源只有一个），干涉条纹的反衬度与I1、I2有关，海定格干涉仪是双光束反射光干涉，其第一支光的反射光强为0.04I0，I0为入射光强，第二支反射光的光强度为0.037I0，所以：，当时，有：，当时，有：3.15 一束波长=600nm的平行光垂直照射到位于空气中的薄膜上，设薄膜的折射率为n=1.5。试问使两表面反射光干涉抵消的最小薄膜厚度为多少？解：此为一平行光正入射的平行平板的双光束反射光干涉，根据光程差公式：，若干涉相消，即得到暗纹，即时，得到暗纹，所以，当时，干涉相消；当m=1时，d最小，最小膜厚为200nm。3.16 利用干涉法测细丝直径，如书上图。形成的是空气楔。当

14、用=589nm的纳黄光垂直照明时，可观察到10个条纹，试求细丝直径的大小。解：此时是等厚条纹，相邻亮纹或暗纹处所对应的厚度差为/2，所以，厚度差即细丝的直径为：。3.19 在平凸透镜和平晶产生牛顿环的装置中，若已知透镜材料的折射率为1.5，照明光波波长为=589nm，测得牛顿环第5个暗环半径为1.2mm，试问透镜曲率半径？解：根据牛顿环的公式，第k个暗纹的半径与透镜的曲率半径之比为：，现k=5，则3.21 在做迈克尔逊干涉仪实验时，若将钠灯作为光源，则在移动M1镜的过程中会看到条纹由清晰到模糊再到清晰的周期变化。已知纳双线的波长分别为589nm和589.6nm，试问在条纹相继两次消失之间，M1

15、镜动了多少距离？解：设现在纳双线的波长分别为1、2，显然当波长1的单色光的亮条纹和波长为2的单色的亮条纹重合时，条纹的可见度最好，即为清晰可见；而当1的亮条纹和2的暗条纹重合时，条纹消失，此时相当于光程差等于1的整数倍和2的半整数倍的情形，此时的光程差可表示为：，当h增加h时，条纹两次消失，但这时两种波长的干涉级的差增加了1，所以：，与上式相减：，。将纳双线的波长代入，可得到：。可以这样理解，1的m级和2的m+1级重合时，条纹清晰，当1的m级和2的m+2级重合时，条纹又变得清晰，两次重合之间条纹的级差为1，条纹消失也是如此。3.24 设法珀干涉仪两反射镜的距离d=2mm，准单色宽光源波长=54

16、6nm，透镜焦距f=320mm。试求从中心向外算第6个亮纹的角半径，半径和条纹间距。解：根据公式：半径： ，条纹间距：3.26 汞的同位素Hg198、Hg200、Hg202和Hg204在绿光范围各有一条特征谱线，波长分别为546.0753nm、546.0745nm、546.0734nm和546.0728nm。分别用一法珀标准具（=0.9）分析这一精细结构，试问标准具的间隔d需要满足什么条件？解：标准具的自由光谱范围为，其分辨率为：要使用此干涉仪，可使用=546nm，最小的波长差为，最大的波长差为。，=0.0025nm，即，当m=30537时，G=0.0179nm，该标准具所允许的最大波长差为0

17、.0179nm。而题中，4个波长的最大差别为：546.0753-546.0728=0.0025nm，小于0.0179nm，符合要求，可以用此标准具来测量。根据法珀的光程差公式，n=1，所以，标准具的间隔大于8.3mm即可。第四章4.4 波长为546nm的绿光垂直照射到缝宽为1mm的狭缝，在狭缝后面放置一个焦距为1m的透镜透镜，将衍射光聚焦在透镜后焦面的观察屏上。试求：（1）衍射图形中央亮环的宽度与角宽度；（2）衍射图形中央两侧2mm处的辐照度与中央辐照度的比值。解：（1）根据单缝衍射的公式，时为极小，则当m=1时，得到的是中央亮环的半角宽度，此时：，中央亮环的角宽度为2，亮环宽度（2）根据辐照

18、度公式：，则，距中央2mm处的辐照度为：，它和中央的辐照度之比为：由此可见，此处的辐照度很低，可以认为基本为0。4.5 如图所示，一束平行光以角射向宽度为a的单缝，并在屏上形成夫琅和费衍射图形。 （1）试求屏上的辐照度表达式； （2）试问衍射图形中心应位于何处？（3）证明中央亮斑的半角宽度解：（1）与正入射时相比，斜入射时光孔面上各点次波源的相位不同，所以在秋各次波源的光程差或相位差时，要考虑这一部分的影响。单缝边缝两点到达P的相位差为：，其余求法与正入射时相同。根据单缝衍射的辐照度求解情况，反映在sinc函数的自变量中，实际上sinc函数的自变量是的一半，所以：（2）由辐照度分布公式可知，当

19、时，sinc函数为1，所以衍射图形的中心位于处。（3）当衍射第一级极小时，即时，求出此时的衍射角，即为中央亮斑的半角宽度，所以：设零级半角宽度为，则： （中心在处），很小，微分求解，则： （原始求微分、导数的公式），4.9 试以单缝夫琅和费衍射装置为例，讨论装置作如下变化时对衍射图形的影响。（1）透镜L2：焦距变大；（2）衍射屏：设为单缝。屏设轴平移，但不超出入射光照明范围；屏绕z轴旋转；（3）光源s：s是点光源，但设x方向有一移动；s是平行于狭缝的线光源。解：（1）增大透镜L2的焦距后，整个衍射花样会有所扩展，由确定，f越大，x越大。当然，零级条纹边线宽度增大了，注意，此时接收平面要后移，应

20、始终位于L2的焦平面上。（2）此时几何像点的位置不变，因此零级衍射的位置不变。但是显然由于衍射孔径不再对于光轴对称，所以衍射图样也不再对零级条纹对称。也就是说，零级条纹的两侧的条纹数目不再相同。我们已经知道，对光波的限制造成了衍射，限制的越多，衍射越强烈。所以，当单缝向上移动时，上面光波的受限制程度略低于下部，所以上部条纹减少，而下部条纹增多。以此类推，其余衍射特征不变。当屏绕z轴旋转时，衍射图样也一起转，其余不变。因为光波受限的方向在旋转，条纹也随之而转。（3）点光源s移动后，其几何像点边条纹改变位置，向下移动，所以衍射图样整体向下移动。下移后，有：，其中0是点光源平移后与L1中心点连线相对

21、光轴z的夹角。将点光源换成为平行与狭缝的线光源后，衍射条纹在线光源方向扩展，其余不变。4.11 （1）试求在正入射照明下，图示两种衍射屏的夫琅和费衍射对图形的复振幅分布和复照度分布。设波长为，透镜焦距为f。（2）设，试求方环衍射与边长为L的方孔衍射的中央辐照度之比。（3）设，试求圆环衍射与半径为R1的圆孔衍射的中央辐照度之比。解：（1）方环的透过率函数为，所以，其夫琅和费衍射图形的复振幅分布为：辐照度为： 对于圆环，透过率函数为：辐照度为：（2），所以比值为。（3）所以比值为。4.12 一台天文望远镜物镜的入射光瞳直径为D=2.5m，设光波长=0.55m，求该望远镜的分辨本领。若人眼瞳孔直径D

22、e=3mm，为了充分利用望远镜的分辨率本领，望远镜的视角放大率应等于多少？解：望远镜的分辨率公式为：人眼的分辨率本领：所以，望远镜的视角放大率应大于833.3倍。4.14 光谱范围为400700nm的可见光径光栅衍射后被展开成光谱。（1）若光栅常数d=2m，试求一级光谱的衍射角范围。（2）欲使一级光谱的线范围为50mm，试问应选用多大焦距的透镜？（3）问可见光的一级与二级光谱，二级与三级光谱会不会更叠？解：（1）对于400nm来说，=700nm时，所以一级光谱的衍射角范围在，即。（2）线范围，（3）400700nm的一级光谱衍射角范围是对于二级光谱：=400nm时，=700nm时，所以二级光谱

23、的范围是，与一级光谱不重叠。三级光谱：1=400nm时，由于二级光谱的700nm的谱线大于三级光谱的400nm谱线的衍射角，所以二、三级光谱会重叠。4.15 用宽度为50mm，每毫米有500刻线的光栅分析汞光谱。已知汞的谱线有1=404.7nm，2=435.8nm，3=491.6nm，4=546.1nm，5=577nm，6=579nm等，假设照明光正入射。（1）试求一级光栅中上述各谱线的角距离。（2）试求一级光谱中汞绿谱线（4）附近的角色散。（3）用此光栅能否分辨一级光谱的两条汞黄线（5、6）？（4）用此光栅最多能观察到6的几级光谱？解：（1）由，m=11=11.67°，2=12.5

24、9°，3=14.23°，4=15.85°，5=16.77°，6=17.43°（2），将4带入，则有：（3）此时的分辨本领为：，可分辨（4）由，当时，m最大，最多能看到三级光谱。4.21复色光垂直照射一闪耀光栅，如图。设光栅常数d=4m，闪耀角=10°。（1）试求干涉零级和衍射零级的方位角，并在图中大致画出它们的方向。（2）问此光栅对什么波长的光波在二级光谱上闪耀？解：（1）衍射零级的方位即为符合几何光学传播规律的方向，如图，在光栅表面刻槽处，光线的入射角为，则根据反射定律，零级衍射在与光栅平面成2角方位。干涉零级：由于是多束干涉，干涉

25、极大满足：零级即m=0，衍射角=0，即在与光栅面垂直的方向上。（2）根据闪耀条件：，4.25 波长=625nm的单色平面波垂直照明半径=2.5mm的与圆孔，设轴上考察点P0至圆孔的距离d=500mm。（1）试求圆孔内所包含的半波带数。（2）试问这时P0点的光强为何？解：（1）根据波带数目的求解公式：因为平行光入射，R=，所以，圆孔所包含的半波带数为20.（2）由于N是偶数，所以P0是暗点。4.30 有一半径为2mm的小圆屏被强度为I0，波长=500nm的平面波垂直照明。试求与小圆屏相距2m远的轴上点P0处的光强为何？解：根据半波带数目的计算公式：平面波照明时，R=，所以在P0点处，其光强为第五

26、个波带的强度由于圆屏较小，只挡住了4个波带，所以P0处的光强度较大，可认为是强度较大的泊松亮点。补充题1. 一单缝被氦氖激光器所照明（=632.8nm），所得夫琅和费衍射图样中的第一极小对单缝法线的夹角为5°，问缝宽为多少？解：这是夫琅和费单缝衍射问题，由单缝衍射公式，将数据带入，有：所以，单缝的宽度为7.26微米。补充题2. 考察缝宽b=8.8×10-3cm，双缝间隔d=7.0×10-2cm，波长为632.8nm时的双缝衍射，在衍射中央极大两侧的两个衍射极小间，将出现多少个干涉极小值？若屏离开双缝457.2cm，计算条纹宽度。解：（1）这是一个双缝衍射问题，首先

27、需要求出衍射中央极大两侧的衍射极小，也就是单缝衍射的第一极小的衍射角，再求在这两个衍射极小间干涉条纹的情况。根据单缝衍射公式：，则第一衍射极小的衍射角为：再由双缝干涉的公式，有：，将第一衍射极小的衍射角带入，则得到此时干涉的级次：也就是说，在第一衍射极小处，大约是第8级干涉极大，所以从中央开始数，到第一衍射极小处，有8个暗纹，两侧共有16个暗纹。（2）双缝干涉是等距条纹，只要知道某两级条纹的角度差，就可以知道条纹间距，条纹间距的一半就是条纹宽度。我们以第一和第二级条纹为例来求。在干涉第一级，有衍射角：在干涉第二级，有衍射角：则这两个条纹的间距为：条纹宽度为间距的一半，所以为2.065mm。也可以直接用双缝干涉的条纹间距或宽度公式求解。根据双缝干涉的公式，其条纹间距为：条纹宽度为间距的一半，所以为2.065mm。补充题3. 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽为0.012mm，不透明部分宽度为0.029mm，缝数为1000条，求（1）中央峰的角宽度；（2）中央峰内干涉主极大的数目。(3)中央峰内主极大的角半宽度。解：首先求出该光栅的光栅常数：（1）根据题