1-5连续性与间断点连续函数运算

1、函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节第八节函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 一、 函数连续性的定义定义:在0 x有定义, 则称函数设函数且.0处连续。在x)(xf)(xfy=处及其邻域内,)()(lim00 xfxfxx= =.0处连续。在x)(xf)()(lim00 xfxfxx= =函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(li

2、m00 xfxfxx=连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;否则函数否则函数 f(x) 在在 x0 处间断。处间断。若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 ,或称它为该区间上或称它为该区间上的的连续函数连续函数 . . ,baC在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合上的连续函数的集合记作记作)()(lim, ),(000 xPxPxxx=例如例如, ,nnxaxaaxP=10)(在在),(上连续上连续 . .( ( 有理整函数有理整函数 ) )又如又如, , 有理分式函数有理分式函

3、数)()()(xQxPxR=在其定义域内连续在其定义域内连续. .只要只要, 0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx=对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx=有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy=)()(00 xfxxf=)(xfy =xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx=)()(lim000 xfxxfx=0lim0=yx函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题: :)()()(000=xfxfxf左连续左连续右连续右连续,0,0当当=xxx0时时, 有有=yxfxf)()(0例例. . 证明函数证明函数xysin=在在),

4、(内连续内连续 . .证证: : ),(xxxxysin)sin(=)cos(sin222xxx=)cos(sin222xxxy=122 xx=0 x即即0lim0=yx这说明这说明xysin=在在),(内连续内连续 . .同样可证同样可证: : 函数函数xycos=在在),(内连续内连续 . .0在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) )(xf0 x(2)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx不连续0 x下列情形之一函数 f (x) 在点这样的点0 x有定义,但有定义,且称为间断点间断点 . 在无定义

5、 ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点: :)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , , )()(00=xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点: :)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 , ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 . .为为跳跃间断点跳跃间断点 . .为为无穷间断点无穷间断点 . .为为振荡间断点振荡间断点 . .xytan) 1 (=2=x为其无穷间断点为其无穷间断点 . .0=x为其振荡间断点为其振荡间

6、断点 . .xy1sin) 2(=1=x为可去间断点为可去间断点 . .11)3(2=xxyxoy1例如例如: :xytan=2xyoxyxy1sin=01) 1 (1)(lim1fxfx=显然显然1=x为其可去间断点为其可去间断点 . .=1,1,)(21xxxxfy(4)(4)xoy211(5) (5) =0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(=f1)0(=f0=x为其跳跃间断点为其跳跃间断点 . .小结小结)()(lim00 xfxfxx=0)()(lim000=xfxxfx)()()(000=xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一

7、类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式12sin ,0( ),0 xxxf xaxx = = (0 )0,f = =1. 讨论函数231)(22=xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设时提示提示:03. P65 题 2 , 3(2)(3) 为连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,练习练习( )f x,_a = =(0

8、 )(0)ffa = 作业作业 P64 - 4 备选题：确定函数间断点的类型.xxexf=111)(解解: 间断点1,0=xx)(lim0 xfx,=0= x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1=x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 定理定理2.2. 连续单调函数的反函数也连续单调连续单调函数的反函数也连续单调xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续一、连续函数的四则运算法则一、连续函数的四则运

9、算法则定理定理1.1.连续xx cos,sin例如例如,例如例如,xysin=在在,22上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin=在在 1 , 1 上也连续单调递增上也连续单调递增. .xey =在在),(上连续上连续 单调单调 递增递增, ,其反函数其反函数xyln=在在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增. .又如又如, , 定理定理3. 3. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的. .证证: : 设函数设函数)(xu=,0连续在点 x.)(00ux=,)(0连续在点函数uxfy =. )()(lim00ufufuu=于是于是=)(lim0 xf

10、xx)(lim0ufuu)(0uf=)(0 xf=故复合函数故复合函数)(xf.0连续在点 x且且即即.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx= = = = = = = 时的极限也存在，且时的极限也存在，且当当则复合函数则复合函数，又，又的某去心邻域内的某去心邻域内但在点但在点，即，即时的极限存在且等于时的极限存在且等于当当运算法则）设函数运算法则）设函数定理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu = =令令)(lim0 xaxx = =意义：意义：例如例如, ,

11、xy1sin=是由连续函数链),(,sin=uuy,1xu =*Rx因此xy1sin=在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin=例例1 . 设设)()(xgxf与均在均在,ba上连续上连续, 证明函数证明函数)(, )(max)(xgxfx =也在也在,ba上连续上连续.证证:21)(=x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx=)()(xgxf根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则 ,可知可知)(, )(xx也在也在,ba上上 连续连续 .)(, )(min)(xgxfx =三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连

12、续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一一切切初初等等函函数数在在定定义义区区间间内内连连续续例如例如, ,21xy=的连续区间为的连续区间为 1, 1( (端点为单侧连续端点为单侧连续) )xysinln=的连续区间为的连续区间为Znnn, ) 12 ( ,2 (1cos =xy的定义域为的定义域为Znnx=,2因此它无连续点因此它无连续点而而例例2.2.求求.)1 (loglim0 xxax解解: :原式原式xxax1)1 (loglim0=ealog=aln1=例例3.3.求求.1lim0 xaxx解解: :令令, 1=xat则则,

13、 )1 (logtxa=原式原式)1 (loglim0ttat=aln=说明说明: :当当时时, , 有有0 x)1ln(x1xex例例4. 4. 求求.)21(limsin30 xxx解解: :原式原式ex0lim=)21ln(sin3xxex0lim=x36e=x2说明说明: :若若lim ( )0 ,u xa=则有则有0( )lim( )v xu x=lim ( ),v xb=e0lim( )ln( )v xu xe=lnba( )( )( )0, ( )1v xu xu xu x=1,41,)(xxxxx例例5. 5. 设设,1,21,)(2=xxxxxf解解: :讨论复合函数讨论复合

14、函数)(xf的连续性的连续性 . .= )(xf=1,2xx1,2xx故此时连续故此时连续; ; 而而)(lim1xfx21lim xx=1=)(lim1xfx)2(lim1xx=3=故故 )(xfx = 1为第一类间断点为第一类间断点 . .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点在点x = 1不连续不连续 , , 小结小结基本初等函数在基本初等函数在定义域定义域内连续内连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明

15、说明: :分段函数在分段函数在界点处界点处是否连续是否连续 需讨论其左、右连续性需讨论其左、右连续性. .练习练习续续? 反例反例=, 1,1)(xf x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数处处间断处处间断,处处连续处处连续 .反之是否成立反之是否成立? 作业作业P70 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6。提示提示:“反之反之” 不成立不成立 .,)(0连续连续在点在点若若xxf是否连是否连在在问问02)(, )(xxfxf)(xf)(, )(2xfxf人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自