第6章定积分的应用习题集及答案

1、1.曲线yIn X、yin b(A) in XdX ;In ain a、y in beb(B) aee第六章习题定积分的应用dx ;2.曲线y1(A) .(ee(C)1(e3 .摆线Xb）和y轴所围图形的面积为（C ）(C)in bin aeaeydy ；( D) b in XdX .eeX下方与该曲线过原点的切线左方和y轴右方所围图形的面积为a)ex)dx ；exx)dx ；a(t Sint)、 y a(1 cost) ( a形绕X轴旋转一周所成旋转体的体积为（(A) O a2 (1 CQSt)2dt ;2 a 2 2O a (1 CQSt) dt ;4.曲线(C)(A)21(2aCQS )

2、2d ；0 2(C)02 10 2(B)(D)(B)(D)eI (iny1o(inyyin y)dy ；yin y)dy .2 a020的一拱（O2 ）与X轴所围图a2(1a2(12CQSt) da(t2CQSt) da(t2acoS (a 0)所围图形的面积为(B)-(2acoS )2d2O 12(2a CQS ) d 22(2a CQS ) d ；(D) 25.连续曲线y f（）与直线X转一周生成的旋转体体积为（bb -(A) 2 Xf (x)dx ; ( B) 2 X f (x) dx ; (C)aaSint);Sin t).b）及X轴围成的图形绕y轴旋b 2b 2Xf2 (X) dx;

3、 ( D) 2 x2f(x)dx .aa6 .半径为R的半球形水池已装满水.要将水全部吸出水池，需做功的为(C )RRRR(A) O (R2 y2)dy ； (B) O y2dy ； (C)O y(R2 y2)dy ； (D) O y3dy .二.计算题1.求曲线y解：易知:1 2 2X与X2曲线y2 8所围图形(上半平面部分)的面积.1X2 与 X22y2 8的交点为(2,2) O所以所求面积为9 2 _S 20 8x2dx2.求心形线2acost2asintacos2tasin2t(Ot 2 , a 0)所围图形的面积.解：所求面积上半部分面积的两倍3a2( W2a-a2 yd)2 3y(

4、t)d(t) 03 y(t)d(t)3.求曲线转体体积.解：V02 a(2s intSin 2t)d(2a COSt cos2t)2 2 24a O ( 2sin t 3sint sin2t Sin 2t)dt6 a23 2sn2 X)与X轴围成的图形绕X轴旋转一周，生成的旋sin3 XdX4.求由曲线3x2 1所围成的平面图形绕X轴旋转生成的旋转体体积.解：由X23x23解得曲线13 与 y 3x21的交点坐标为(1,4)与(1,4),所求体积1 2 2I (X 3) dx(3x21)2dx1 (8 84)dx -64155.曲线2y绕y 2旋转周所成旋转体的体积.V1解：所求体积31 X2

5、31 X2dx 121 . 1 X2 dX 616.由曲线y与直线X0 )及X轴围成的曲边梯形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积记为V().问a为何值时，V(S) imV().2解: V() 0 y2dX 0 Fdx ； Hm V( ) i由 V(a) lim V(),有 2 ，得 a 1 .22 1a 47.求由曲线y .X(X 0)绕y X旋转一周所生成的旋转体的体积.二 1X 2 2x tdx 亠4)亠2022 3 5608计算曲线y x(3 x)上相应于1 X 3的一段弧长.解：所求弧长S I .1/31 X(y ) dx I dx1 WX2.3 4 .39.求曲线ae ( a0 ,0)

6、上从0到 a的弧长.解：S= a 12(ea 110求摆线;：(1 COSt) (a 0,0 t 2 ) 一拱的弧长.解 x(t) a(1 cos), y(t) asint由弧长计算公式，得S 0 .(t)2 y(t)2dt20 a . 2(1 cost)dt22a0Sin Edt22a Sin - dt0 22a $ Sindt28a.11.设一物体由静止开始作直线运动，在t秒末的速度是3t2 (米/秒).求(1) 在3秒时物体离开出发点的距离.(2) 走完343米所需的时间.解：在t秒末物体的速度V v(t) 3t2 (米/秒)，离开出发点的距离S s(t)o3t2dt t3 (米).(1

7、) 在3秒时物体离开出发点的距离S s(3 ) 3327 (米).(2) 令S s(t) t3 343 ,解得t 7 .故走完343米所需的时间7秒.12.设曲线y ax2(x,a 0)与y 1 x2交于点A ,过坐标原点O和点A的直线与曲 线y ax2围成一平面图形。问：a为何值时，该图形绕X轴旋转一周所得的旋 转体体积最大？最大体积是多少？ 解: A点坐标为(pL,-a ),直线OA方程为：y 二X。所以旋转体体积为:1 a 1 a1 aV(a)1 2 2 21 a ax2 42a1 aax dx01 a155 , V'(a)1 a空4a a215 1由此可知，当 Oa 4 时，V

8、'(a) 0 ；当 a 4时，V'(a) 0 ；当 a 4时，V'(a) 0 O 所以a 4为最大值点体积的最大值为 O13.设D1是由抛物线y 2x2和直线X a,X 2, y 0所围成的平面区域；D?是由 抛物线y 2x2和直线X a, y 0所围成的平面区域，其中0 a 2。(1)试求D1绕X轴旋转而成的旋转体的体积 V , D2绕y轴旋转而成的旋转体I4.某闸门的形状与大小如图所示 ，其中直线I 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平 时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承 的体积 v2。受的水压力之

9、比为 5:4,闸门矩形部分的高 h应为(2)当a为何值时，V V2取到最大值m(米并求此最大值。5.设Di是由抛物线y 2x2和直线X a, x 2 及y O所围成的平面区域；D2是由抛物线y 2x2和 直线y O, X a所围成的平面区域，其中Oa 2.0黴二考研题2 2解：(1)V12x2 dxa(2)V1 V2(32 a5)5所以0 a 1时，V1 V?'D2绕y轴旋转而成的旋转体的体积 V2;45-2a2(32 a5:5a4。2 a » y)；(2V试问Oa为何值时V1 V2取得最大值a4试求此最大值6.过坐标原点作曲线 y In X勺切线，该切线与曲线y02数三考研

10、题InX及X轴围成易见平面图形1 dV2 ' 4 a3 求DV的面积0；a 1时,求(1a)。03数一考研题a 2 时，V1 V2 ' 0 O(1)试求Di绕X轴旋转而成的旋转体体积 Vi;aIn aXdaaIn aXaaIn aXa adx由此可知a 1是最大值点'最大值为詈X14.设D是位于曲线y .Xa (a 1,0 X )下方，X轴上方的无界区域。(1) 求D绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积 V(a) o(2) a为何值时，V (a)最小，并求此最小值。解：(1)XV (a)Xa adx2aIn a(2) V'(a)由此可见:a(In a e时，1)a

11、V'(a)0; a e 时，V'(a) 0; a e 时，V'(a)0。所以 a e是最小值点。V(a)的最小值为e2XXe ?e与直线X 0,X t(t 0), y 0围成一曲边梯形。V(t),侧面积为S(t)，15.曲线y轴旋转一周得一旋转体，其体积为F(t)。(1)求St)的值。(2)求极限lim V(t)t解：(1) S(t) ：2 y.,1(y')2dx 2该曲边梯形绕Xt处的底面积为(2) F(t)Iim 型 Iimt F (t) tIimttte e2X 2-dx2tt 2e e2t 2Iimttt2 e_A_2tte e2tte e2Q(O)(1

12、)(2)S(t)OF(t)XXt e e0 22,所以2dx，V(t)X 2dX2已知某产品的总产量对时间t的变化率2Q(t) 225t e15t (单位：吨/天)，0,求:投产后多少天平均日产量达到最大？最大值是多少?达到最大值后再生产30天，求这30天的平均日产量.1515(1 )解：因为 Q (t) 225t 2e t，所以 Q(t) C 15e t。又因为 Q(0) 0 ,所以1515Q(t) 15e r151 T平均产量 R(t) =Qt2 .所以 R'(t)tQ '(t)2 Q225t e 2tt2t2t2易见：当t 15时，R'(t) 0 ；而当t 15时，所以投产后15天日产量最大,最大值是1515e TR'(t) 0 ；当 t15。e15e t厂(15 t) O15 时，R'(t)0。1e瓦。31(2)解：R(45) =Q45I 空454517 *.设生产某产品的固定成本为10,而当产量为X时的边际成本函数为MC 40 20x 3x2 ,边际收入函数为MR 32 10x .试求(1)总利润函数；(2)使总利润最大的产量.三.证明题已知抛物线通过X轴上两点A(1,0)、B(