椭圆离心率总结

1、关于椭圆离心率设椭圆X2=1( a b 0)的左、右焦点分别为F、F2，如果椭圆上存在点P,使.F1 PF2二90，求离心率e的取值范围。解法1 ：利用曲线范围设 P(x，y)，又知 F1 (- c, 0), F2 (c, 0)，则TF1P =(x c, y)， F2P =(x-c, y)由 F1PF2 =90，知 F1P _ F2P ,n., T T则 F1P F20,即(x c)(x -c) y2 = 0得x2 y2 = c2将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得2 2 2, 2a2 -b22 a c -a b x但由椭圆范围及 ZF1PF90知 0 _ x2 : a22 2 2. 2

2、a c -a b2Z2a -b可得 c2 -b2，即 C2 _a2 -c2，且 C2 ： a2/-从而得e=E 2，且e=E：1a 2a所以e 2, 1)2解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知2 2 2|PF1|PF2| = 2a= |PFj IPF2I '2|PF1|PF24a又由.F1PF2 =90，知|PFi|2 IPF2I2 =|FiF2|2 = 4c2则可得 |PFi|PF2| = 2(a2 -c2)这样,|PF1|与|PF2|是方程u2 -2au 2(a2 -C2) = 0的两个实根，因此: =4a2 _8(a2 _c2) _02 c21二 e ya22申=e _2因此e

3、 鼻，1)2解法3:利用三角函数有界性记一PF1 F? -，一PF2F1 -由正弦定理有|PFi| = IPF2I _ IF1F2Isin ：sin ： sin 90=IPF1IIPF2Isin j 1 sin :=|Fi F2I又 |PF1PF2| = 2a，c1e =:-a sina +sin P|F1 F22c，则有1 1a + P a - P 厂 a - P2 sincos、2 cos2 2 2而0半:讣:90知 01 : 4522cos12 22从而可得乞e ： 12解法4:利用焦半径 由焦半径公式得|PF1 = a ex, | PF2 = a -ex又由PFj2 PF22 =厅芾2

4、2，所以有2小222小22,2a 2cx e x a -2cx e x 4c2 22 e且 x =二a，贝V知 0 巴 x2 ： a2，又点P (x, y)在椭圆上,即 a2 e2x2=2c2, x2 2c _a2 22c a 2 02 ae得e 二,1)2解法5:利用基本不等式由椭圆定义，有 2a = PF1 PF2平方后得2 2 2 2 2 2 24a =PFi PF2 2PFiPF2"(PFi PF2 )=2FiF2 = 8c2 得务1 所以有e，,1) a222解法6:巧用图形的几何特性由F1PF2 =90，知点P在以FiF2 = 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与

5、椭圆有公共点P故有 c _b= c2 _b2 二 a2 -c2由此可得e 二,1)2水深火热的演练、直接求出a, c或求出a与b的比值，以求解e。在椭圆中,2倍，则椭圆的离心率等于1.已知椭圆的长轴长是短轴长的122.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为13. 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2(3,0),则椭圆的离心率为 一_2_4. 已知矩形 ABCD AB= 4, BC= 3，则以A B为焦点，且过 C D两点的椭1圆的离心率为。22 25.若椭圆P满足PF1 _ PF2，则椭圆笃与=1,(a b 0)短轴端点为a b的离心率为<2mn取得最小值时,1

6、26.已知1(m O.n 0)则当m n的的离心率为2 27.椭圆X2 £ -1(a b 0)的焦点为F1, F2，两条准线与x轴的交点 a b分别为M , N，若MN < 2IF1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是2丿P为椭圆e亠。28. 已知F1为椭圆的左焦点， A B分别为椭圆的右顶点和上顶点，上的点，当PF丄F1A,PO/ ABO为椭圆中心)时，椭圆的离心率为2 29. P是椭圆于計(a> b >。)上一点， F2是椭圆的左右焦点，已知2PFF2F扌FF =2t, ZF1PF3/,椭圆的离心率为 e = 43-110. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭

7、圆上一点，若J6 PF1F2 =15PF2F1 =75 ,则椭圆的离心率为311.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为,2 ,焦点到相应准线的.'7距离为1,则该椭圆的离心率为 22 2xV12.设椭圆 二 亍=1 (a> b> 0)的右焦点为 F1,右准线为丨1,若过F1ab且垂直于213.椭圆笃ax轴的弦的长等于点 F1到11的距离，则椭圆的离心率是 -。22-y2 =1 (a>b>0)的两顶点为 A (a,0 ) B(O,b),若右焦点 Fb21到直线AB的距离等于一I AFI，则椭圆的离心率是22 214.椭圆- y 1 (a>b>0)的

8、四个顶点为 A、B、C D,若四边形 ABCD a2b2的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是5 -122x15.已知直线L过椭圆 a2每=1 (a>b>0)的顶点 A (a,0 )、B(0,b),b如果坐标原点到直线 L的距离为a，则椭圆的离心率是3一x2y216.在平面直角坐标系中，椭圆22 = 1( a b 0)的焦距为2，以0a b为圆心，a为半径作圆，过点广2、,0作圆的两切线互相垂直，则离心<c丿率 e =22、X2y21亿设椭圆二 2 =1(a b 0)的离心率为e二一，右焦点为F(c,0),2分别为X1和X2，则点P(X1,a方程aX2 bx - c=0的两个实

9、根(A )A.必在圆C.必在圆x2y2 =2 内Xy =2 外2 2E.必在圆x y =2上D.以上三种情形都有可能X2)二、构造a, c的齐次式，解出e 1 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 2 以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于N两点，椭圆的左焦点为F1,直线 MF与圆相切，则椭圆的离心率是.3 -13.4.5.以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O并且与椭 圆交于M N两点，如果I MFI = I MO，则椭圆的离心率是天巧1设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF 1PF2

10、为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.2 -1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是36.设R、F2分别是椭圆准线上纵坐标为、3c圆的离心率是22X-a2 b2(c为半焦距)的点，且RF2 = F2P，则椭y = 1 a b 0的左、右焦点，P是其右三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1.已知内部,I IF1、F2是椭圆的两个焦点，满足MFMF2=0的点M总在椭圆则椭圆离心率的取值范围是(0,)2印F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且 F1PF2 =90 ,/2 、椭圆离心率e的取值范围为,1.2丿2.已

11、知3.已知FF2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且 F1PF2 =60 ,椭圆离心率e的取值范围为-,112丿2 24.设椭圆=1 (a>b>0)的两焦点为Fi、F2,若椭圆上存在一点 Q a b使/F 1QF=120o,椭圆离心率 e的取值范围为 乞e ： 135 .在 ABC 中，AB 二 BC , cos B =经过点C，则该椭圆的离心率 e = 3.8.若以A, B为焦点的椭圆182 2x y6.设 F2分别是椭圆 2 =1 ( a b 0)的左、右焦点，若在其a b右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值 rj3)范围是1,工丿7.如图，正六边形

12、ABCDE的顶点A D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是、3 -1椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范 围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多, 难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮 助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶 点，准线L交0A于B, P、Q在椭圆上，PD丄L于D,QF丄AD于F,设椭圆的离心率为e则e禺I A0|” e=I AF|I BA|I F0|I AO |评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO| =a

13、, | 0F| =c, 有；T| AO| =a, |2BO | =有。c2 2x y题目1:椭圆h + =1(a>b >0)的两焦点为Fi、 a bF2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助 椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BFi ,把已知条 件放在椭圆内，构造 F1BF2分析三角形的各边长 及关系。解：| F1F2 | =2c | BFi | =c | BF2 |-1c+ ；3c=2a2 2x y变形1 :椭圆h +厂=1(a>b >0)的两焦点为Fi、a bF2，点P在椭圆上，使厶O

14、PF为正三角形，求椭圆离心率？解:连接 PF2,贝,OF | = | OF | = | OP| , / FiPH=90 °图形如上图，e= 3-12 2x y变形2:椭圆 h + =1(a>b >0)的两焦点为a bFi、F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PFi丄X轴，PF2 II AB,求椭圆离心率？b2 PR | = -aI F2F1 | =2c | 0B| =b |0A| =aPF2 II AB| PFi | b| F2 Fi | = a又 t -=a2-c2 a2=5c2 e=5点评：以上题目，构造焦点二角形，通过各边的 几何意义及关系，推导有关a与c

15、的方程式，推 导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形2 2x y题目2:椭圆 孑 + 计=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF=90 ,求e?解：| A0| =a | OF | =c| BF | =a | AB |两边a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0同除以a22 -1+ ,5-1-5 人亠e +e-1=0 e= 2°=2(舍去)变形：椭圆x2-1 +2 + 2=1(a>b >0) ， e= a b2是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF？点评：此题是上

16、一题的条件与结论的互换，解题 中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=一;的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ ABF=90° 2、假设下端点为 Bi ,则ABFB四点共圆。3、焦点与相应准线之间 的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据 几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式， 列出有关e的方程式。2 2x y题目3 :椭圆 h + 厂=1(a>b >0)，过左焦点Fi且a b倾斜角为60°的直线交椭圆与 AB两点，若|FiA | =2 | BF | ,求 e?解：设 | BFi | =m 贝U| AF>

17、; | =2a-am | BF2 |=2a-m在厶AF1F2及厶BFF2中，由余弦定理得:两式相除2a-c2a+ca2 - c2=m(2a-c)2(a 2-c 2)=m(2a+c)1 2=e=2 e 32 2x y题目4:椭圆 h + =1(a>b >0)的两焦点为F1a b(-c, 0)、F2 (c,0), P 是以 | F1F2 | 为直径的圆与椭圆的一个交点，且 / PF1F2 =5 / PF2Fi ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用解：由正弦定理：| F1F2 | F1P |sin F 1PF2sin F 1F2P丨PR |sin PF 1F2根据和比性质

18、：I F1F2 | F1P I + | PF2 I2a=esin F 1PF2sinF HP+sin PF 1F2变形得:| F1F2 | PF2 | + | F1P |sin F 1PF2sin F1F2P +sin PF 1F22c/ PF1F2 =75 ° Z PER =15sin90 ° sin75 ° +sin153点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F222x y变形1:椭圆 h + 厂=1(a>b >0)的两焦点为Fi a b(-c , 0)、F2 (c,0),

19、P 是椭圆上一点，且/F1PF2 =60。，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=a，则/ F2F1P=120° - asin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F2sin60 °sin a +sin(120 ° - a )111>we<12sin(a+30 ° )2222x y变形2:已知椭圆y+ 厂=1 (t>0) F1F2为椭圆4 4t两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端1点重合)设/ PF1F2 = a , / PF2F1 = B 若<tanB 1< tan B&l

20、t;2_,求e的取值范围?分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切解;根据上题结论e盂sin F 1PF2F 1F2P +sin PF 1F2sin( a + B ) sin a +sin B2sina + Ba + B亍 cos 丁小. a + Ba - B2sin cos 2coscosJ-sinasincos1- tan0tan 2-=e1- tanatan B1 1-e111v< <e<_3 1+e232三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.2 2x y题目5:椭圆孑+ ；厂=1(a>b >0)，斜率为1,且过椭圆右焦点F的直

21、线交椭圆于 A、B两点，OA+OB与话=(3,-1)共线，求e?法一：设 A(xi,yi) ,B(x 2,y 2), 2 22 22 2b x +a y =a by=x-c/2|2、22222|2小(a +b )x -2a cx+a c -a b =02a2cxi+x2=a2a2c*苻去=-2b 2ca2+b2OA+OB=(x i+x2,y i+y2)与(3, -1 )共线，则-(X1+X2) =3(y i+y2)既 a 2=3b2e=3法二：设ab的中点n贝y 2OH0A-OB2X12y /2 =1ab22X2y22 +2 =1aby1-y 2b2X1 +X 2X1-X 2=-2ay 1+y2 1=-得:b2尹3)a2=3b四、由图形中暗含的不等关系， 求离心率的取