北京大学量子力学课件_第20讲

1、 第第 二十二十 讲讲 i. 算符及其表示算符及其表示 a.a. 算符的自然展开算符的自然展开：在量子力学中，可观测：在量子力学中，可观测力学量是以厄密算符表示，其本征方程为力学量是以厄密算符表示，其本征方程为 则则 或或nnnllllllll或nnnnlllldlllll称为算符称为算符 的自然展开。的自然展开。 b. 算符的表示算符的表示 算符算符 是将一态矢量变为另一态矢量是将一态矢量变为另一态矢量而而 是将态矢量是将态矢量 表示变到态表示变到态矢量矢量 表示，所以它起到算符表示，所以它起到算符 同样的作用。同样的作用。 llnlrmmmnn mnl rnl 的全体称为算符在表象的全体称

2、为算符在表象 中的矩中的矩阵表示。阵表示。 显然，计算这一表示，其结果与在那一个显然，计算这一表示，其结果与在那一个表象中计算是无关的表象中计算是无关的 mnl amnmnrrdrlrrdrl rdrd) r (v)l)(r (vmnr r* 为力学量为力学量 在表象在表象 中的算符。中的算符。 事实上，矩阵事实上，矩阵 描述了表象描述了表象 中的本中的本征态，即基矢征态，即基矢 ，在算符在算符 作用下，所得到作用下，所得到 的新的态矢量在的新的态矢量在 表象中的表示。表象中的表示。 rr)l( )rr ()i, r (l )i, r (l lr nmlam la 即即 这表明，这表明， 表象

3、中的基矢表象中的基矢 在在 作用下作用下所产生的新的态矢量在表象所产生的新的态矢量在表象 中的表示正是算中的表示正是算符符 在表象在表象 中矩阵表示的第中矩阵表示的第 列元素集合列元素集合nnnmnmnnmlll m33m22m11mllll am lalam 于是，于是，我们求算符我们求算符 在某表象中的矩阵表在某表象中的矩阵表示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展开系数形成的矩阵转置，即得开系数形成的矩阵转置，即得 在该表象中的在该表象中的表示。表示。 ll3132121111llll 3232221212llll 3332321313llll

4、 其系数矩阵为：其系数矩阵为： 转置转置 这即为在表象这即为在表象 中的矩阵表示中的矩阵表示 显然，算符在其自身表象中的表示为显然，算符在其自身表象中的表示为 22122111llll22211211llll111a 222a a系数矩阵为，系数矩阵为， 转置同。转置同。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。 333a 0000000321 例：例： 给出方程给出方程 在在 表象表象中的表示式中的表示式所以在所以在 表象中，表象中， 算符的形式为算符的形式为 )x(x)x( xpxxpxpapib xpx xpi . 不可约张量算符的矩阵元计算简介不可约张量算

5、符的矩阵元计算简介 a. 不可约张量算符的不可约张量算符的g. racah定义定义 若若 满足以下的对易关系满足以下的对易关系其中其中 ，则称，则称 为为 秩不可约张秩不可约张量算符。量算符。 lmt 1211 lmlmt)ml)(ml(t,j lmlmzmtt,j lmtlyxjijj b. wigner-eckart定理定理 维格纳维格纳-埃伽定理：矩阵元埃伽定理：矩阵元 与与投影量子数的关系完全包含在投影量子数的关系完全包含在c-g系数中系数中 c.c. 一秩张量的投影定理一秩张量的投影定理jmtmjlm jtjjmlmmjjljmtmjllm mmm)j ( jjm)tj(jmjjmt

6、mjjjmm 111 . . 表象变换：表象变换： （1） 同一状态在不同表象中的表示间的关系同一状态在不同表象中的表示间的关系 对于态对于态 在在 表象中，其表示为表象中，其表示为 就是就是态态 在表象在表象 中的表示中的表示 f nnfannnffff na f 在在 表象中其表示为表象中其表示为 则有则有g gb bsagfnn 构成一矩阵形式构成一矩阵形式即即 s 212221121121bbssssaagfsba 矩阵的矩阵元正是矩阵的矩阵元正是 表象基矢与表象基矢与 表象基表象基矢的标积，其第矢的标积，其第 列，是列，是 表象中第表象中第 个基矢在个基矢在 表象中的表示。表象中的表

7、示。 fglglfs nnfggffffggf)s(s)ss(nnnn nnnnff gggffg)ss(nnngg 是一个幺正算符。是一个幺正算符。 （2）两表象的基矢之间关系）两表象的基矢之间关系 s nnfggfissss nfg)s(g 基矢的变换是经基矢的变换是经 来实现来实现（3 3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系。系。 对于算符在表象中的矩阵表示为对于算符在表象中的矩阵表示为 ssgfnnfggg,gf)s()l(s nnflf6.46.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形、平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形、 式。式。 （1 1

8、）平均值）平均值： a.a.力学量力学量 在体系（处于态在体系（处于态 ）中的平均值）中的平均值 设：设： 构成力学量完全集，共同本征矢为构成力学量完全集，共同本征矢为 ， 则则 l rd) r ()i, r (l) r (ll* an mmnm, nnll 是是 在在 中的表示。中的表示。 若若 包括力学量包括力学量 m,nmnm*nalalma aa)m,n,l(mnlmnl ,mlnmnlm,n, l*mlna)l(al )a(ll2nmmlnll b. 对于两个算符乘积的平均值对于两个算符乘积的平均值 （2）本征方程：）本征方程：对于算符的本征方程为对于算符的本征方程为 fggf)gf

9、(llmmnl ,m,nnlmlnml ,m,n*nafga)gf(ulul 在在 表象，则表象，则 算符的本征方程在算符的本征方程在 表象中的矩阵形式表象中的矩阵形式 为为aululkmmmklakmmkmalal2 , 1k 从而得从而得 要方程组有非零解，即要方程组有非零解，即 不全为不全为 ，则要，则要求系数行列式为求系数行列式为 ，即，即 0a )ll(mkmmkm 2103 , 2 , 1k，或ma000llkmkm 由这方程求出由这方程求出 . . 然后代入方程组求出相应的然后代入方程组求出相应的 例例1 1：某力学量：某力学量 在在表象中的矩阵为表象中的矩阵为 由系数行列式由系

10、数行列式 l lmax z 01100l11l01l2 1l本征函数本征函数求该力学量的本征值和求该力学量的本征值和, 代入方程得代入方程得 代入方程得代入方程得 1l 0aa0aa212121aa 1l0aa0aa212121aa 的本征值的本征值 所相应的本征矢在所相应的本征矢在 表象中的表示为表象中的表示为 所相应的本征矢在所相应的本征矢在 表象中的表象中的表示为表示为 x 1l z 11211lz 1121 顺便我们可以看到，对于两个表象顺便我们可以看到，对于两个表象 所以要求矩阵所以要求矩阵 ，只要求，只要求 表象中的基矢表象中的基矢在在 表象中的表示即可，这相当于表象中的表示即可，

11、这相当于 矩阵中矩阵中一个列。一个列。 gfs)v,u(gfsgfngfnn sgfs具体看具体看 的本征矢在的本征矢在 中的表示为中的表示为 由表象由表象 到到 表象的变换矩阵为表象的变换矩阵为x z 11211121x z 111121sxz 而我们知，算符在自身表象中的矩阵表示是而我们知，算符在自身表象中的矩阵表示是对角的，对角元为其本征值对角的，对角元为其本征值 1001)(x 自身表示 表示在（zx)111110011111210110s1001s 例例2 2： 在在 表象中，求表象中，求 ( (在在 子空间子空间) )的本征值，本征矢（即在的本征值，本征矢（即在 也就是也就是 本征

12、值为本征值为 子空间）子空间） 解：首先求在解：首先求在 表象中表象中 的矩阵的矩阵 )l,l(z2xl1l 1l 2l22xl)l,l(z21m, 1) 1m1)(m1 (m1l1m, 1) 1m1)(m1 (m1l)1m, 1) 1m1)(m1 (1m, 1) 1m1)(m1 (2m1lx 0220220220220mmxl 由本征方程由本征方程 0a l)l(nmnnxmnx0l22022l22022lxxx0223 xxxlll 101 ,lx 如何求在如何求在 的本征值为的本征值为 的本征态中测量的本征态中测量 的可取值的几率？的可取值的几率？ 101lx12121202211212

13、1 zl0 xl 由于由于 在自身表象中的本征值为在自身表象中的本征值为 的表示的表示是是 于是测得于是测得 的几率振幅为的几率振幅为 zl00100 , 1lx0l , 1l , 1czxlx0l , 1l , 1l , 1l , 1zzlzxz0101, 2, 12101020, 2210101, 2, 12122022ccc0 所以在所以在 中（坐标表象中，中（坐标表象中， 的本的本征值为征值为0 0的本征态中）测量的本征态中）测量 的可取值的几率为的可取值的几率为 这表明，可在任何一个表象中来处理问题。这表明，可在任何一个表象中来处理问题。 而而 ( (对对 l=1l=1的子空间）的变

14、的子空间）的变换矩阵为换矩阵为 ),(y10 zlxl 0 xl21021)l,l()l,l(xz22 而从而从 则是则是 12120212121sxzll)l,l()l,l(x2z2 12120212121sszxzxllllslsslsxx 121202121210202020202121202121211012021011212021214（3 3） 薛定谔方程薛定谔方程 在在 表象中，基矢为表象中，基矢为 ，则，则100000001 htian 这即为这即为 表象中的表象中的薛定谔方程薛定谔方程的矩阵形式。的矩阵形式。 若若 不显含不显含 ，而，而 表象就是表象就是 表象，则表象，则

15、从而得从而得 mmmnnhdtdi) t (ah) t (adtdimnmnahtahnmmnmeh 当当 不显含不显含t t，在在 表象中表象中 的表示为的表示为tie0111ea) t (atie0222ea) t (ahh tie02tie0121eaea ， 由初态给出（它是由初态给出（它是 时，时， 在在 表象中表示）表象中表示） ，由，由 在任一表象中在任一表象中 求出。求出。 ,a ,a02010t h21e,eh0eh 6.5 6.5 量子态的不同描述量子态的不同描述 由由schrodingerschrodinger equation equation 它体现了量子力学的因果律

16、，即当知它体现了量子力学的因果律，即当知 在不受外界干扰下，体系的波函数随在不受外界干扰下，体系的波函数随 的演化的演化 是完全确定的。是完全确定的。 ) t , r (h) t , r (ti t ,ht ,ti t)t , r (0 而而 t ,at ,a t ,uuauut ,mmnm, nn ) t (ca ) t (cmnmnm, nn* 2nnn) t (ca nnnuaua t ,u) t (cnn 而波函数和算符不是直接观测量而波函数和算符不是直接观测量. . 仅仅力学力学 量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测 量。量。 因此，因此，

17、重要的是：重要的是： 可能取的值可能取的值 测量测量 取取 的几率的几率 振幅振幅 如果用不同方式来描述，但若上面两个量如果用不同方式来描述，但若上面两个量 是完全相同的，于是分不清这两种描述的差别，是完全相同的，于是分不清这两种描述的差别， 而都是可以接受的。而都是可以接受的。 anaana) t (ct ,unn （1 1）薛定谔绘景）薛定谔绘景 （schrodingerschrodinger picture picture） 设：设： 以以 来表示，遵守来表示，遵守薛定谔方程薛定谔方程 如果如果 和和 分别演化为分别演化为 和和 根据态叠加原理可能态根据态叠加原理可能态 将将 演化为演化

18、为 。这表明，这表明， 可由可由 一线性算符从一线性算符从 获得。因此可假设获得。因此可假设 ) t ( st , sst ,ht ,dtdi 0t , 0t , t , t , 0201t , ct , ct ,ct ,c 21t , 0 , （ 与与 无关）无关） 而而 于是有于是有由于由于 是初态，可任意设定是初态，可任意设定 ss0 ,)0 , t (ut , )0 , t (us0， 100 ),(u ss0 ,)0 , t (uh0 ,)0 , t (udtdi s0 , 00,tut , tu, tu 所以时间演化算符所以时间演化算符 满足满足 若若 不显含不显含 ，则，则 由于

19、由于 ，所以，所以 )0 , t (u)0 , t (uh)0 , t (udtdi htthie)0 , t (u hhi)0 , t (u)0 , t (u)0 , t (u)0 , t (u 所以，这一变换是一幺正变换所以，这一变换是一幺正变换 而本征方程而本征方程 若若 不显含不显含 ，那，那 ， 也与也与 无关无关 时刻，测量时刻，测量 取值取值 的几率振幅为的几率振幅为snnsnsaaaasatnattsana) t (bt ,ansn sna 在薛定谔绘景的描述中，态矢量随在薛定谔绘景的描述中，态矢量随 t 的变的变 化，反映在它的表示随化，反映在它的表示随 t 的变化。而力学量

20、的本的变化。而力学量的本征值及本征矢不随征值及本征矢不随 t 变化。变化。sssst , at , asmssmsnssnst , aaaaat , 2nnn) t (ba 随随 变化取决于变化取决于 。取。取 之值的之值的几率为几率为 但所有这些测量可得值与实验可比较的量的但所有这些测量可得值与实验可比较的量的 描述并不唯一。上述描述只是一些等价描述方描述并不唯一。上述描述只是一些等价描述方 式之一。式之一。 ) t (b) t (bat ,aaaaatt ,at ,n*nnnmmsnn ,mns sat) t (bn na2n) t (b （2 2）海森堡绘景）海森堡绘景 （heisenb

21、ergheisenberg picture picture） a.a.矩阵元：矩阵元：对于对于薛定谔绘景薛定谔绘景中的矩阵元，我中的矩阵元，我们看到们看到 随随 t t 的变化（如的变化（如 不显不显含含 ）是由于态矢量随）是由于态矢量随 变化所致。变化所致。ssst ,at , sattss0 ,)0 , t (ut , ss0 ,)0 , t (ut , 的矩阵元可表为的矩阵元可表为 所以，所以，态矢量可保持不随时间变，而算符用态矢量可保持不随时间变，而算符用来代之；来代之； sasst ,at , ss0 ,)0 , t (ua)0 , t (u0 , )0 , t (ua)0 , t

22、(u) t (ah 态矢量可以表为态矢量可以表为 这样，矩阵元这样，矩阵元 ssht ,)0 , t (u0 , ssht ,)0 , t (u0 , hhh) t (a ssst ,at , 即这一描述与薛定谔绘景的描述一样。即这一描述与薛定谔绘景的描述一样。 b.b.本征方程本征方程 snnsnsaaaasnnsnsa)0 , t (uaa)0 , t (u)0 , t (ua)0 , t (uhnnhnhtaataa 力学量力学量 的本征值为的本征值为 ，即谱是相同的，即谱是相同的，但相应本征态为但相应本征态为 是随是随 变的。变的。 在在 中测得中测得 的几率为的几率为 hanat s

23、t , n snhna), t (ut ,a0 hnt ,a hnhsnssnst ,a, tuat ,a 00 在在 态矢量中测得态矢量中测得 的几率振幅与在的几率振幅与在 态态中测得中测得 的几率振幅也是一样的。的几率振幅也是一样的。 所以，这两种描述是完全等价的。于是，我所以，这两种描述是完全等价的。于是，我 们引入新的绘景们引入新的绘景海森堡绘景（海森堡绘景（heisenberg heisenberg picturepicture）。）。 a. a. 态矢量态矢量 b. b. 算符和本征方程算符和本征方程 h nana h st , )0 , t (us0 , st , 这时本征矢虽与

24、这时本征矢虽与 有关，但本征值相同，对有关，但本征值相同，对易关系保持不变易关系保持不变 )0 , t (ua)0 , t (uashhnnhnht ,aat ,aa snhna), t (ut ,a0 tssscib,a c. c. 算符随时间变化（运动方程）算符随时间变化（运动方程） 不显含不显含 hhhcib,a), t (ua), t (udtddtadsh00 sa() tdt), t (dua), t (u), t (uadt), t (duss0000 这时这时i)0 , t (uha)0 , t (u)0 , t (uaih)0 , t (ussss)0 , t (uh)0 , t (udtdis ihadtadh,hh shhh d. d. 本征矢随本征矢随 t 变化变化 snhna), t (ut ,a0 hn,a), t (u00 snhnadt), t (dudtt ,ad0 这表明，在这表明，在s. p.s. p.中态矢量在矢量空间随中态矢量在矢量空间随 t t 绕绕 一定方向一定方向“转动转动”。而算符和相应的本征矢不变。而算符和相应的本征矢不变。snsah)0 , t (ui1hnhnt ,ahdtt ,adi 因此，在本征矢因此，在本征矢 张开的坐标架下，态张开的坐标架下，态矢量随矢量随 t t 的变化，反映在其的变化，