高等数学教学课件：Lecture 35-Application of Definite Integrals in Physics

1、（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）复习复习 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用1. 平面图形的面积平面图形的面积在直角坐标系下在直角坐标系下参数方程形式下参数方程形式下极坐标系下极坐标系下21( )( )dbaAfxfxx 21d( )( )d .btatAf xxttt 21 ( ) d .2A (1) 旋转体的体积旋转体的体积(2) 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕平行于坐标轴的直线旋转一周绕平行于坐标轴的直线旋转一周2. 体积体积( )d .baVA xx 2|( )|dbyaVx f xx

2、2ddcVyy 2 ( ) dbaVf xx 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴轴旋转一周旋转一周y直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下3. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长21d .basyx 22( )( )d .sttt 22( )( )d .srr 22( )1( ) dbaAf xfxx 旋转体的侧面积旋转体的侧面积:第三节第三节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题四、四、 转动惯量转动惯量 (补充补充)定积分定积分在物理学在物理学上的应用上的应用 一、变力沿直线所作的功一、变力沿

3、直线所作的功FsF：不变的力：不变的力 WF sF 对物体所做的功：对物体所做的功：F(x)Ox x+dxabx d( )dWF xx 对物体所做的功：对物体所做的功：F(x)d( )dbbaaWWF xxab在这个电场中距离原点为在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的地方，那么电场对它的作用力的大小为的作用力的大小为 ( k为常数为常数)， 当这个单当这个单位位正电荷在电场中从正电荷在电场中从 处沿处沿 轴移动到轴移动到 处时，计算电场力处时，计算电场力 对它所作的功对它所作的功 例例1. 把一个把一个带带 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 轴上坐标轴上坐标q rr2qFkr ra

4、rrb F原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放解解所求功为所求功为将单位电荷移到无穷远处所作的功为：将单位电荷移到无穷远处所作的功为：取取 为积分变量，为积分变量，r , ,ra b 2dakqwrr .kqa 1akqr2dbakqwrr 1bakqr11.kqab例例2. 一圆柱形蓄水池高一圆柱形蓄水池高为为 5 米，底半径为米，底半径为 3 米，米，池内盛满了水池内盛满了水. 问要把池问要把池内的水全部吸出，需做内的水全部吸出，需做多少功？多少功？xoxdx

5、x 5这一薄层水的重力这一薄层水的重力为：为：29.83 dGx 功元素为功元素为d88.2d ,wx x 88.2 dx 5088.2dwx x 52088.22x 3462 (千焦千焦)例例3. 用用铁锤把钉子钉入木板铁锤把钉子钉入木板， 设设木板对铁钉的阻木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击击时将铁钉击入入 1 厘米厘米，若每次锤击所作的功相等，若每次锤击所作的功相等，问第问第 次次锤击时又将铁钉击入多少？锤击时又将铁钉击入多少？n解解第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉

6、的阻力为( ),f xkx 110( )dwf xx ,2k 设设 次次击入的总深度击入的总深度为为 厘米厘米nh次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n0( )dhhwf xx 22kh 次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n0( )dhhwf xx 22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1hwnw 22kh,2kn次击入的总深度为次击入的总深度为n,hn 第第 次次击入的深度为击入的深度为n1.nn从而平板一侧所受的水压力为从而平板一侧所受的水压力为二、水压力二、水压力平板水平放置在水下平板水平放置在水下 h 米处米处, ,平板面积为平板面积为A，水深水深 h

7、 米处的压强为米处的压强为 水的密度为水的密度为 pgh Pp AAh平板垂直放置在水下平板垂直放置在水下 h 米处米处, ,h不同水深处压强不同，不同水深处压强不同，需采用微元法处理需采用微元法处理设桶的底半径为设桶的底半径为水的密度为计算桶的一端水的密度为计算桶的一端例例4. 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，,R, 面所受的压力面所受的压力xo解：解：在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图取取 为积分变量，为积分变量，x0,xR 小矩形片上各处压强近似相等小矩形片上各处压强近似相等,pgx 小矩形片的面积：小矩形片的面积：222d .Rxx

8、 ,d x xx 取任一小区间取任一小区间xdxx 小矩形片上的压力元素为：小矩形片上的压力元素为：22d2dPgx Rxx 端面上所受的压力为：端面上所受的压力为：2202dRPgx Rxx 22220d()RgRxRx 322023RgRx 32.3gR xoxdxx 例例5. 将直角边各为及将直角边各为及 的直角三角形薄板垂直的直角三角形薄板垂直地进入水中，斜边朝下，长直角边的边长与水面平地进入水中，斜边朝下，长直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力板所受的侧压力a2a 解：解： 建立坐标系如图建立坐标系

9、如图xoa2a2ay直线方程直线方程 2yax面积微元面积微元2()d ,axx d(2 ) 2()dPg xaaxx 02(2 )()daPg xa axx 37.3ga 三、引力三、引力相距为的两个质点相距为的两个质点r两个质点间的引力：两个质点间的引力：122;m mFGr 引力方向沿着两质点的连线方向引力方向沿着两质点的连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力，则由于棒如果要计算一根细棒对一个质点的引力，则由于棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点队该质点上各点与该质点的距离是变化的，且各点队该质点的引力方向也是变化的，需用微元法的思想求解的引力方向也是变化的，需用微元法的思想求解G

10、为引力系数；为引力系数； 1m2mr1,m2m质量分别为质量分别为 xyoMa2l 2l解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将这小段近似看成质点，将这小段近似看成质点，rydyy 例例6. 有一长度为有一长度为线线密度为密度为的均匀细棒，在的均匀细棒，在单位处有一质量为单位处有一质量为的质点的质点计算该棒对质点计算该棒对质点的引力的引力其中垂线上距棒其中垂线上距棒, l am,MM取取 为积分变量，为积分变量，y,2 2lly 取任一个小区间取任一个小区间 ,d y yy 小段的质量为小段的质量为d , y 小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力元素引力元素水平方向的分力元素水平方向的分力元素

11、由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为 xyoMa2l 2lrydyy 22,ray22dd,myFGay ddcosxFF 3222d,()amyGay 232222d()llxamyFGay 12222,(4)Gm laal 0.yF 内容小结内容小结利用利用“微元法微元法”思想思想求求变力作功、水压力和引力等物理问题变力作功、水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）思考题思考题 一一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压