高等数学教学课件：Lecture 39-Linear Equations of Constant Coefficients

1、复习复习可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 通过引入变换进行降阶通过引入变换进行降阶( )1.( )nyf x 2.( ,)yf x y 令令( ) ,yp x 3.( ,)yf y y 令令( ) ,yp y ddpyx 则则ddpypy 则则逐次积分逐次积分齐次线性齐次方程齐次线性齐次方程线性相关与线性相关与线性无关线性无关降阶法与降阶法与常数变易法常数变易法( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y 11( )( ).nnyC y xC yx解的结构解的结构1( )(1)1( )( )( ) nnmkknya x yafxx y 非非齐次线性齐次方程齐

2、次线性齐次方程111(*( )nnnkkyC y xxyC yx 解的结构解的结构基本基本思路；思路； 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化常常系数系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程第七节第七节n 阶阶常系数线性微分方程的标准形式常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式一、定义一、定义( )(1)11( )nnnnyP yPyP yf x 0ypyqy( )ypyqyf x二、二阶常系数齐次线性方程解

3、法二、二阶常系数齐次线性方程解法特征特征方程法方程法将其代入上方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根0ypyqy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程: ,rxye 设设2()0rxrprq e0,rxe 20rprq21,24,2ppqr 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为(1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根(0) 特征根特征根21,24,2ppqr 特征根特征根为：为：214,2ppqr 224,2ppqr 22,r xye 11,r xye 1212r xr xyC eC e得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为0

4、,u 特征根特征根21,24,2ppqr (2) 有两个相等的实根有两个相等的实根(0) 特征根为特征根为12,2prr 一特解为一特解为11,r xye 12( ),r xyu x e 设另一特解为设另一特解为代入原方程并化简得代入原方程并化简得2111(2)()0,urp urprq u( ),u xx 取取21,r xyxe 则则121()r xyCC x e(3) 有一对共轭复根有一对共轭复根实部实部从而，从而，齐齐次方程的通解为次方程的通解为特征根为特征根为(0) 1,ri2,ri1(),ixye 2(),ixye 1121()2yyycos,xex 2121()2yyyisin,x

5、ex 12(cossin).xyeCxCx 虚虚部部根据解的叠加原理，根据解的叠加原理， 仍为原方程的解仍为原方程的解. 1,y2y定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解: 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1. 求方程求方程 的通解的通解. 230yyy2230 ,rr121, 3rr 312.xxyC eC e 解解: 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2. 求方程求方程 的通解的通解. 440yyy2440 ,rr122,rr 212().x

6、yCC x e 例例3. 求方程求方程 的通解的通解. 250yyy解解: 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为1 212 ,ri ，12(cos2sin2 ).xyeCxCx 2250 ,rr特征方程为特征方程为三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法( )(1)110nnnnyP yPyP y 1110nnnnrPrPrP 若是若是 k 重根重根 r 若是若是 k 重共轭重共轭复根复根 i 特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rxkkexCxCC)(1110 10111011()cos()sinkkkxkCC xCxxDD xDxx e n

7、 次次代数方程代数方程有有 n 个个根根, 而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项对应着通解中的一项, 且每一项各且每一项各有有一个任意常数一个任意常数.特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例4. 求方程求方程 的通解的通解. (5)(4)(3)220yyyyyy54322210,rrrrr22(1)(1)0,rr123451,rrrirri 12345()cos()sin .xyC eCC xxCC xx 即：即：解解: 特征方程特征方程:特征根为特征根为则方程通解则方程通解 :例例5. 求方程求方程 的通解的通解. (4)20yyy 4

8、2210,rr22(1)0r 即：即：1, 2i,r 3, 4ir 12()cosyCC xx34()sinCC xx解解:例例6. 求方程求方程 的通解的通解. 0ya y 0:a 通解为通解为12yCC x0:a 通解为通解为12cossinyCa xCa x0:a 通解为通解为12eea xa xyCC 例例7. 解微分方程组解微分方程组 由由(2)式得式得1d(3)2 dzyzx设法消去未知函数，设法消去未知函数，y解解两边求导两边求导得：得：把把(3), (4)代入代入(1)式并化简式并化简, 得得d32 ,(1)dd2.(2)dyyzxzyzx 22d1dd(4)d2 ddyzzx

9、xx解之得通解解之得通解再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程组的通解为原方程组的通解为22dd20ddzzzxx12(),(5)xzCC x e1221(22).(6)2xyCCC x e122121(22)2,()xxyCCC x ezCC x e 解解: 根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为因此特征方程为即即故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为为特解的为特解的 4 阶常系数线性阶常系数线性齐次齐次微分方程微分方程,并并求其通解求其通解 .例例8. 求一个以求一个以 以及以及 123e ,2 e ,cos2 ,xxyyxyx43sin2yx

10、 121,rr3,42ir 2(4)0r 2(1)r 43225840rrrr(4)25840yyyyy1234()ecos2sin2xyCC xCxCx3. 根据根据特征根的不同情况特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 内容小结内容小结求求 通解通解的一般步骤的一般步骤:0ypyqy常数常数20rprq1. 写出相应的特征方程：写出相应的特征方程：12, ;r r 2. 求出特征根求出特征根 实根实根 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式1212r xr xyC eC e 12rr 实根实根 12rr 122()r xyCC x e1,2ri复根复根 12(cossi

11、n)xyeCxCx 常系数非齐常系数非齐次线性次线性微分方程微分方程 第八节第八节一一、 型型 ( )e( )xmf xPx 二二、 型型 ( )e( )cosxlf xP xx ( )sinnP xx 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :(1)( )ypyqyf x( 为常数为常数), p q根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据f (x)的特殊形式的特殊形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法yY

12、*y 给出特解给出特解 的的待定形式待定形式,*y一、一、 型型 ( )( )xmf xePx 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.( )ypyqyf x0,ypyqy*,yYy( ),xmPx e ( ),mPx( )cos,xmPx ex ( )sin,xmPx ex 设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程*( )xyQ x e 2( )(2)( )() ( )( )mQxp Q xpq Q xPx1. 若若 不是特征方程的根，不是特征方程

13、的根， 20,pq*( );xmyQx e 可设可设 ( )( )mQ xQx 2. 若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根， 20,pq20,p 可设可设 ( )( )mQ xxQx *( );xmyxQx e 综上讨论综上讨论注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分阶常系数非齐次线性微分方程（方程（k是重根次数）是重根次数）.3. 若若 是特征方程的重根，是特征方程的重根， 20,pq20,p 可设可设 2( )( )mQ xx Qx *2( );xmyx Qx e *( ) ,kxmyx e Qx 012 k 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的单根是特

14、征方程的单根是特征方程的重根是特征方程的重根解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为例例1. 求方程求方程 的通解的通解. 232xyyyxe2320,rr1212rr，212,xxYC eC e2 为单根为单根,*2(),xyx AxB e设设22AxBAx1, 1.2AB *21(1)2xyxxe于是于是22121(1).2xxxyC eC exxe利用欧拉公式利用欧拉公式( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 型型二、二、( )cossinxlnf xePxPx 22i xi xi xi xxl

15、neeeeePPi ()()()()2222ixixlnlnPPPPeeii()()( )( ),ixixP x eP x e()( ),ixypyqyP x e 设设()1,kixmyx Q e ()2,kixmyx Q e ()( ),ixypyqyP x e 设设上述上述结论可推广结论可推广到到 n 阶阶常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程.()( ),ixypyqyP x e 设设()1,kixmyx Q e ()2,kixmyx Q e ()( ),ixypyqyP x e 设设 kxi xi xmmyx eQ eQ e (1)(2)( )cos( )sin,kxmmx

16、eRxxRxx 其中，其中， 为为 m 阶多项式，阶多项式，(1)(2)( ),( )mmRxRx max,ml n 01iki 不是根不是根是单根是单根注注:解解 对应对应齐齐次次方程通解方程通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）（取虚部）例例2. 求方程求方程 的通解的通解. 4sinyyx 12cossin ,YCxCx4,ixyye i 是单根是单根* ,ixyAxe24Ai 2 ,Ai *22 sin(2 cos ) ,ixyixexxxx i 2 cos ,yxx 12cossin2 cos .yCxCxxx解

17、解 对应对应齐次方程通解齐次方程通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程14,39ABi ，例例3. 求方程求方程 的通解的通解. cos2yyxx 12cossin ,YCxCx2,ixyyxe 2i 不是特征方程的根不是特征方程的根*2(),ixyAxB e设设43031AiBA *214 (),39ixyxi e 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）（取实部）14()(cos2sin2 )39xixix 1441cos2sin2( cos2sin2 ) ,3993xxxxxx i 14cos2sin2 ,39yxxx 1214cossincos2

18、sin2 .39yCxCxxxx分别是分别是 的实部的实部注意：注意：cos,sinxxAex Aex()ixAe 和虚部和虚部.*214 ()39ixyxi e (1) ( )( ),xmf xePx 只含上式一项解法：只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取特解取特解的实部或虚部的实部或虚部, 得原非得原非齐次线性方程的特解齐次线性方程的特解.内容小结内容小结二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性方程方程 用待定系数法用待定系数法 可以是复数可以是复数( );kxmyx e Qx (2)( )( )cos( )sin,xlnf xeP xxP xx (1)(2)( )cos( )sin;kxmmyx eRxxRxx 思考题解答思考题解答*12yyy则所求特解为则所求特解为（重根）（重根）CBxAx 2设设 的的特解为特解为2446yyyx*1y设设 的的特解为特解为2448xyyye*2y2440rr特征根特征根1,22