高等数学教学课件：Lecture 31-Fundamental Formulas of Calculus

1、复习复习1. 定积分的实质定积分的实质：2. 定积分的思想和方法定积分的思想和方法4. 典型问题典型问题3. 定积分的性质定积分的性质分割，近似，分割，近似， 求和，取极限求和，取极限注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用(1) 估计积分值估计积分值(2) 不计算积分而比较积分的大小。不计算积分而比较积分的大小。特殊和式的极限特殊和式的极限第二节第二节 微积分的基本公式微积分的基本公式 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、引例一、引例 一、引例一、引例 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积

2、分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置函数已知位置函数与速度函数与速度函数 之间之间有关系有关系:( )s t( )v t( )( )s tv t 物体在时间间隔物体在时间间隔内经过的路程为内经过的路程为12,T T21( )dTTv tt 21()()s Ts T( )( )( )( )( )baf x dxF bF aFxf x 其其中中二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数设设 在在 上可积，上可积，( )f x , a b , ,xa b 则则 对于每一个给定的对于每一个给定的, x( )dxaf xx 有一个对应值有一个对应值

3、. .Oxyab( )yf x x 在在 上也可积上也可积. .( )f x , a x( )( )d , xaxf xxxba ( )dxaf xx 从而从而 在在 定义了一个函数定义了一个函数. . , a b记作：记作：上限变量上限变量积分变量积分变量( )( )d , xaxf ttxba 为了避免混淆，记作：为了避免混淆，记作：证证定理定理1 如果如果 在在 上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数( )f x , a bd( )( )d( )dxaxf ttf xx ( )( )dxaxf tt 在在 上可导，且它的导数为：上可导，且它的导数为： , a b()axb( )

4、x 0( )d( )dlimxxxaaxf ttf ttx 0( )dlimxxxxf ttx 0( )limxfxx ( )f x ( ,), 0 x xxxx 0()( )limxxxxx 积分中值定理积分中值定理定理定理1 初步揭示了定积分与原函数的关系初步揭示了定积分与原函数的关系定理定理1 把把微分微分和和积分联结为一个有机的整体积分联结为一个有机的整体因此被称为微积分学的基本因此被称为微积分学的基本定理定理.由定理由定理1 可知：可知： 连续函数连续函数 一定一定有有原函数原函数.( )f x就是就是 在在 上的一个原函数上的一个原函数.积分上限函数积分上限函数( )( )dxax

5、f tt 定理定理2 如果如果 在在 上连续，则上连续，则( )f x , a b( )f x , a b推论：推论：如果如果 在在 上连续，上连续， 可导，则可导，则( )f x , a b( ), ( )a x b x()()( )( )db xa xF xf tt 的导数的导数 为为( )Fx ()()d( )( )d( )( )( )( ).db xa xFxf ttf b xb xf a xa xx ( )F x ()0( )db xf tt ()0( )d ,a xf tt 证明：证明：()0( )( )d ,b xG xf tt 设设令令( ),ub x 则则0( )d ,uGf

6、 tt dd( )ddG uG xux ( ) ( )f u b x ( ) ( ),f b x b x ( ) ( )f a x a x 同理同理()0( )da xf tt 易见结论成立易见结论成立.练习：求下列导数练习：求下列导数2sind1.( )ddxxf ttx 2d2. ddxexttx lnd3. 1 ddxxtx d5.( )ddbaf xxa ( )f a d6.( )ddbaf xxc 0(sin )cosfxx22()xf x 222xxexex 1x1 21d4.ln ddxettx 222xxxe证证例例1：设：设 在在 内连续，且内连续，且 证明证明( )0.f

7、x (,) ( )f x00( )d( )( )dxxtf ttF xf tt (0,)函数函数 在在 内为单调连续函数内为单调连续函数. .( )Fx 0020( )( )d( )( )d( )dxxxxf xf ttf xtf ttf tt 0020( )( )d( )d( )dxxxxf xf tttf ttf tt ( )Fx 020( )() ( )d( )dxxf xxt f ttf tt 0020( )( )d( )d( )dxxxxf xf tttf ttf tt , ( )0 xt f t () ( )0 xt f t0 () ( )dxxt f tt (0,),x又又 (

8、)0Fx 在在 内为单调增加函数内为单调增加函数. .( )F x(0,)例例2. . 设设 在在 上连续，且上连续，且 证明证明( )1.f x 0,1( )f x(0,1)在在 上只有一个解上只有一个解. .02( )d1xxf tt 证证令令0( )2( )d1.xF xxf tt ),1)( xf( )2( )0,Fxf x 则则由于由于 在在 上连续上连续, , ( )f x0,1( )F x在在 上连续上连续. . 0,1故故1100(1)1( )d1( )d0Ff ttf tt故故在在 上只有一个解上只有一个解.02( )d1xxf tt (0,1)( )F x在在 上为单调增加

9、函数上为单调增加函数. .0,1, 01)0( F又又例例3. . 求求21cos20dlim.txxetx 分析：分析：这是这是 型未定式，含有积分上限的函数，型未定式，含有积分上限的函数，00解解21cosdddtxetx 2cos(cos )xex 2cossin,xx e 21cos20dlimtxxetx 2cos0sinlim2xxx ex 1.2e 用洛必达法则！用洛必达法则！例例4. . 已知两曲线已知两曲线 与与 在点在点( )yf x 2arctan0dxtyet (0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim( ).nnfn

10、. 2)0(2 f解解 由已知条件，由已知条件，2(arctan)20(0)1,1xxefx .yx 故切线方程为故切线方程为(0)0,f 又又2( )(0)2lim( )lim22nnffnnfnn 定理定理 3（牛顿（牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )d( )( )baf xxF bF a 如果如果 是连续函数是连续函数 在区间在区间 上的一个原上的一个原( )F x( )f x , a b函数函数, 则有则有 由于由于 是是 的一个原函数；的一个原函数； ( )F x( )f x( )( )dxaxf tt 也是也是 的一个原函数的一个原函数

11、 ( )f x ( )( ),F xxC , xa b ( )( ), , F xxCxa b( )( )dxaxf tt 令令xa ( )( ),F aaC( )( )0aaaf t dt ( ),F aC( )( )( )( )d( ),xaF xxF xf ttF a 从而从而( )d( )( ),xaf ttF xF a 也即：也即：( )d( )( ).baf xxF bF a 令令xb 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.( )d( )( )

12、baf xxF bF a ( )baF x 一个连续函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间上的定积分等于 , a b它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间 上的增量上的增量 , a b( )( )( )baf x dxF bF a 当当 时，时， 仍然成立仍然成立ab 例例4. 求求 121 d . xx 解解121dxx 12ln|x ln1ln2ln2. 例例5. 求求 02(2cossin1)d .xxx 原式原式解解 202sincosxxx 3.2 2sincos2sin0cos00222. . 解解xyo12 例例6. 设设 求求 201( ),512xxf xx 2

13、0( )d .f xx 212001( )d( )d( )df xxf xxf xx12012 d5dx xx原式原式6. 在在 上规定：上规定：1,2当当 时，时，1x ( )5f x 例例7. 求求222max ,d .x xx xyo2xy xy 122 解解2( )max ,f xx x 222001,12xxxxxx 022dxx 原式原式10dx x 221dxx 11.2 例例8. 计算曲线计算曲线 在在 上与上与 轴所围成轴所围成 sinyx 0, x的平面图形的面积的平面图形的面积.yox 解解面积面积0sin dAx x 0cosx 2. 问题：曲线问题：曲线 在在 上与上

14、与 轴所围成轴所围成的的sinyx 0,2 x平面图形的面积平面图形的面积. 20sin dsindAx xxx 4 例例9. 设设 计算计算 解解20( ),0 xexf xxx 1( )( )d .xF xf tt 当当 时，时，0 x 1( )( )dxF xf tt 当当 时，时，0 x 1( )( )dxF xf tt 0210ddxtettt 031013xtet 1311.3ex 1dxtet 1;xee 12lim1cos1cos1cosnnnnnn例例10. 求求 101cosxdx 解解原式原式= =111cosniinn 1202cos2xdx 102 cos2xdx 2

15、 2. 102 2cosd22xx 102 2sin2x 12lim1cos1cos1cosnnnnnn例例10. 求求 解法二解法二原式原式= =111cosniinn 11 1co sniinn 011cos dx x 2 2 例例11. 求求 201sin2 d .x x 解：解： 222001sin2 dsincosdx xxxx 20sincosdxxx 20cossinxx 0. ? ?20sincosdxxx 原原式式 4204cossindsincosdxxxxxx 4240sincoscossinxxxx 2( 21).内容小结内容小结3. 牛顿牛顿-莱布尼茨公式：莱布尼茨公

16、式：( )d( )( )baf xxF bF a 沟通沟通了微分学与积分学之间的联系了微分学与积分学之间的联系1. 积分上限积分上限函数函数( )( )dxaxf tt 2. 积分上限积分上限函数的导数函数的导数( )( )xf x ( )( )d( )d( )( )( )( ).db xa xf ttf b xb xf a xa xx 作作 业业 P243 3, 4, 5(3), 6(8, 11, 12), 9(2), 11-14作业提交时间：作业提交时间：2013年年12月月25日上午日上午10:00AM备备 用用 题题解解：1. 设设求求21200( )( )d2( )d,f xxxf xxf xx( ).f x设设10( )d,f xxa 20( )d,f xxb 则则2( )2f xxbxa10( )daf xx 33x 22bx 2ax 101232ba20( )dbf xx 33x 22bx 2ax 208243ba1,3a 43b 242( )33f xxx2300tand