第三章光纤模式理论

1、第三章光纤模式理论 第一节阶跃折射率光纤中的场模式第二节弱导光纤中的线偏振模第三节光波导中模式的普遍性质第四节波导横向非均匀性的微扰法处理第五节纵向非均匀性与模式耦合方程第三节光波导中模式的普遍性质模式的完备性和光场展开 二模式的正交性 三模式正交性的证明 四B 2的稳定性#一模式的完备性和光场展开任意被约束在纵向均匀光波导内沿Z方向传播的电磁波均 满足Helmholtz方程：+ (kjn2 E'E = 0, n = n(u, v)波导内各模式的传输常数和相应的场分布耳满足:"；Em +-研)巧” =0,n = nu, v)更完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场任意纵向

2、均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可 以表示为波导内沿土z方向所支持的各导模和辐射模 的迭加。事实上，这也是本征值方程的重要性质。光场展开光场展开任意纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可以表 示为波导内沿土Z方向所支持的各导模和辐射模的迭加。E(m, v, z)= 工 C：Eg, v) exp (-jp0n“ + E说 三 HS, v, z)=疋v) exp -jpPnz) +/ *，P/各模式的激发系数n = 1, 2不同导模 、辐射模在其连续谱上的积分P二+, -正反向传输的模式如果只研究在光波导内传导的电磁波，则仅需要进行导模的 迭加。否则应包括对辐射模的积分在内45二模式正交性积分

3、遍及整个波导横截面* *xH： +E：xH：由Maxwell方程可证，任意纵向均匀<mnS°(p,q) =物理意义m, n模式序号<q, P模式传摇方向(+, -)丿波导，各模式场分布满足:l.m = nO.m 主 n詁b X Hf+Efx H)ds+ 厶p = q = + O,pHq一,p = q = -(n, p)沿z方向传输的光功率不同模式之间彼此正交导模之间、导模与辐射模之间、辐射模之间均正交正反向传输的同一模式之间也彼此正交波导中总的光功率考虑有N个导模在波导中沿+z方向传输的情况，光波导中电磁场 所传导的总功率：4H涉初E二工 C“E”exp（T加）ptota

4、l2模式正交性H二工 C”H”exp（-皿 z）物理意义：波导中总 的光功率等于各个模 式光功率之和xHf+EfxH5 = 450（p,<rJ的归一化条件是:按“1”归一化l£-（E：xHr+EfxH：）=l（2）按总功率归一化光波导中各模式的场分布均有一个待定积分常数（如Eq或HQ针 对所研究的问题，这一常数通过适当选取归一化条件确定。常用模式正交性的物理含义在任意纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的,互不影响。光场展开式中各模式展开系数的模表示该模式 所携带的光功率的百分比。波导中总的光功率等于各个模 式光动率之和在任意纵向均匀无损光波导中，各模式之间不发生能量的 交

5、换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！正交性存在于任意两个不同模式之间，例如：正反向传输 的同一模式相互正交；导模与辐射模相互正交；任意两个 具有不同卩值的辐射模相互正交。线偏振(LP)模的正交性 弱导光纤xH： +E： xH级$ = 4此S°(阳比r/*5風一 H星V"。也加卜2此S°(p,g)FEeXi/fl(r,(p) = AG n(r) cos (n(p)内容回顾完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场光场展开任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可 以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加模式的正交性在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的

6、各模式之间不发生能量的交换和耦合沿正反方向传输的同一个模式也如此!波导中总的光功率等于各个模式光功率之和任意纵向均匀无损光波导弱导光纤Re机呎ds =2為S°（阳）P£ （E沙町+ E? x H伽=4為S。（阳比S三模式正交性的证明纵向均匀波导中的任意两个模式：5 q) &(7Q)E（厂0,z）=E（厂0）exp（丿/?z）exp（丿创）E = Et + ezEz H（厂sz）=H（人©）exp（丿0z）expC/型）H = H + jHMaxwe 11 方程 xE =-空dtVx H =竺dtvt x El - jqAA x E鳥二-j 0炖处 VtXm

7、-jqmz><m =jm VtXn(4)13#A-（BxC） = B-（CxA）出（1） E/（4）*水H為（3） E,（2）*V, 価 xHf）+ J（M -<,h 価 xHf）= jd测.E “oH H讣（5） 更 x Hf）+ ；«, - p» 良（说 x H“）= j 航 Ej - “oH： H；）（6）模式正交性的证明(5) + (6)*yL个波导横截面s积分！二维散度定理x 尤 + 船 x Hl)- j« -叭 >z 風 xHf+E何如护nd/SI"“(EYxHT+EfxHj)畑血EYxHY+EYxHn/ =0Ss的边

8、界I的外法线方向S足够大=边界上的电磁场可忽略(q 以-p0jS/77H/7或 pHq* * xH： +E( xH认$ = 0 P0S Q）功率的4倍m二rt且p二q4Q4骡血EfxH仟SLP模正交性的证明任意两个线偏振模必考虑弱导光纤中的任意两个模式，满足标量波动方程v?<+(2-k= 0(1)*= 0(2)(1)必-*必波导横截面s积分二维散度定理s足够大=边界上的电磁场可忽略J心啓=几s耐门或pzq0 /、(n, p)功率的2倍m二n且p二q四卩2的稳定性（传输常数与场分布关系）弱导光波导中，任意线偏振模的横向场仏，满足标量波动方程场+X-0；加=0附录 (/A)=庐 A + A7

9、0 I P49017波导横截面S积分二维散度定理NW29 ? ?0；屮n 2 =鋼必 | +%；%=疋” J + .(/”S足够大n边界上的电磁场可忽略结论：对于给定的波导结构和工作波长，模式传输常数的 平方可以由相应的模式场分布得到19卩2的稳定性问题：屮“屮“ +叽尿=?SS犹血ds = #申內；_y型匕沁字和內;-代吶和s + C.C.t维散度定理=0f 0.复共辄，也为0!闷匕标量波动方程|切+&2-0% =021俨的稳定性的含义_结论：0”-必+5必,就=0对于场分布的微小变化，俨是稳定的在任意纵向均匀光波导中，由于各种原因所导致 的模式的场分布的微小变化不会对模式的传输特

10、性造成影响。在分析纵向均匀光波导中模式的传输特性时，可 以用一个不太准确的近似场分布函数得到较为准 确的模式传输特性。是光波导近似分析方法（特别是变分法）的基础, 在同一级近似下，模式传输的精确度优于场分布。#本节小结口模式完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场模式正交性在纵向均匀无损光波导中，模式相互独立传输各模式之间不发生能量的交换和耦合沿正反方向传输的同一个模式也如此俨的稳定性对于场分布的微小变化，俨是稳定的第三章光纤模式理论 第一节阶跃折射率光纤中的场模式第二节弱导光纤中的线偏振模第三节光波导中模式的普遍性质第四节波导横向非均匀性的微扰法处理第五节纵向非均匀性与模式耦合方程第四节波

11、导横向非均匀性的微扰法处理理论模型微扰处理一理论模型阶跃型折射率剖面横向非均匀112nvn<r <aa < r <b横向非均匀性问题横向折射率非均匀分布波导界面不规则a b模场解已知,用已知的解析解近似描述不可解问题!Aid. 11%、+微扰法两个相近的弱导波导结构:1、可解折射率分布n0(u.v)模场分布屮恳传输常数0心已知2 20 “0 "A；2、不可解折射率分布斤*)模场分布忙=0传输常数pm-未知血/)心仏巧只有微小爭异时，其解可用n°的已知解构造二微扰处理模式的完备性几二o+工必0，勿严格地，这里没有强诡写出辐射模在连续谱上的积分:必o +

12、(心2 -0；0比0 =0(1)Pm二他0 +扯?任务即是求解两 个修正因子九+(心忆=0 (2)仏(1) *-%(/横截面上积分一阶微扰近似jy （必op% 厂5%0创=。二维散度定理=0S1$（0； -尤）J 0必 Y附-启卜皿dsSS必予曲+习%）+正交性訂货-尤” y,dsSmn犖;=硏力-朮“肌SPm =仇0 +犖一阶微扰解屮m一阶微扰近似解为9Q必。盘Fo时%"o j (" "o bmoWnOs0；o _ 0；oX帖-命皿dscoo,n氏-除*沈=勺(宀认如ds丫”二监0 +工仏必o，mnnA2=Ao2+<mH n0n(u,v) n0(u,v)差

13、异甚小，一阶近似即可！ 必要时，可以进行反复迭代，做高阶微扰处理!第三章光纤模式理论 第一节阶跃折射率光纤中的场模式 第二节弱导光纤中的线偏振模 第三节光波导中模式的普遍性质 第四节波导横向非均匀性的微扰法处理 第五节纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性光波导的纵向不均匀起因：制蘇磊；使用时引入；人为引入芯包分界面不均匀芯子直径纵向变化使用时引入制作不完善重力影响导致的光纤纵向受力不均，引 起几何尺寸和折射率分布不均匀7 可力77"/"/"n纵向不均匀z=0LV人为弓入:光纤光栅，、 重要的光纤器件！ 丿波导纵向非均匀性的处理方法实际波导一不均匀理想波导一均匀折

14、射率分布n(u.v) <_辜异甚微><1_二缓变磁模场分布 =Z0)exp(-丿0忆)匸已知0低几z)“传输常数场方程： ；% +防%2 -用% H2仔+局22”=0f 屮W：ds =1模式展开模式的完备性，未知场用已知场展开:心山（妙）exp（-丿皿忆），p=±VV+Z:02nV0| j2 d2a .；+卞_2皿dzz的缓变函数dedzy <v2/ . n iin,p LjiZ舛-0花+ k紐乜屮：exp（-巾0Z）=OIn.pn1 r一2jp仇+鸟0 nandz 优ex认-jp恥卜0%+（心2一用城=o忽耦合方程dz好什-朮切心x&- jp仇沪0乘必exp（泌Z）横截面积分&模式正交性，且j= 1才尹gp（