定积分在经济学中的应用实用教案

1、1 f(x) 在 x=x0处的边际(binj)值为f(x0). 0 xx 边际的经济意义:当 时, x 改变一个单位, y 改变)(0 xf 个单位 . 边际成本；边际收益；边际利润第1页/共29页第一页，共30页。2 定积分定积分(jfn)(jfn)在经济学中的应用在经济学中的应用 一、已知边际一、已知边际(binj)函数求总函数函数求总函数 二、资金流的现值和未来值二、资金流的现值和未来值 第六章 第2页/共29页第二页，共30页。3一、已知边际(binj)函数求总函数 问题(wnt)：已知某边际经济函数，求该总经济量. 设某个经济函数 u(x)的边际函数为 , 则有 )(xu )0()(

2、)(0uxudxxux 于是(ysh) .)()0()(0 xdxxuuxu第3页/共29页第三页，共30页。42. 已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，R(0)=0, 则总收益函数为)x(R x0dx)x(R)x(R1. 已知生产某产品的边际成本(chngbn)为 ，x为产量，固定成本(chngbn)为C(0), 则总成本(chngbn)函数为( )C x 00( )( )( )xC xC x dxC 第4页/共29页第四页，共30页。53. 设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量， R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若 L(x),R(x),C(x)均可导，则边际(

3、binj)利润为： L (x)=R(x)-C(x).因此总利润为：0d0( )( )( )xL xL xxL 0d0( )( )( )xR xC xxC 第5页/共29页第五页，共30页。6 例1 生产某产品的边际(binj)成本函数为 100143)(2 xxxC 固定成本 C(0) = 1000, 求生产 x 个产品(chnpn)的总成本函数 . 解 dxxCCxCx 0)()0()(dxxxx 02)100143(1000.1007100023xxx 第6页/共29页第六页，共30页。7 例2 已知边际收益为 , 设R(0) = 0, 求 收益函数R(x) . xxR278)( 解 xd

4、xxRxR0)278()0()(.782xx 第7页/共29页第七页，共30页。8 例3：设某商品的边际(binj)收益为( )200100QR Q 199.75 (50)(50)50RR 00( )200100QQQR Q dQdQ ( )R Q (50)9987.5R 21200200QQ (1) 求销售50个商品时的总收益(shuy)和平均收益(shuy)； (2) 如果已经(y jing)销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解: (1) 总收益函数:平均收益:第8页/共29页第八页，共30页。9 例3：设某商品(shngpn)的边际收益为( )200100QR

5、Q 198.5 (200)(100)200100RRR 200100200100QdQ (200)(100)RR19850 (1) 求销售(xioshu)50个商品时的总收益和平均收益； (2) 如果(rgu)已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解: (2) 总收益为:平均收益:第9页/共29页第九页，共30页。10 例4：已知生产某产品x台的边际(binj)成本为2150( )11C xx 210150ln(1)xxx2( )305R xx ( )C x 201501011xdxx 0(0)( )xCC x dx (万元/台)，边际(binj)收入为 (万元/台)

6、. (1) 若不变成本(chngbn)为C(0)=10 (万元/台),求总成本(chngbn)函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解: (1)总成本为第10页/共29页第十页，共30页。11 由于(yuy)当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是22129150ln(1)105xxxx0( )(0)( )xR xRR x dx 020(30)5xx dx ( )( )( )L xR xC x21305xx 总收入为总利润(lrn)函数为第11页/共29页第十一页，共30页。128040(80)(40)( )CCC x dx 143.96

7、240 8040(80)(40)( )RRR x dx （万元）(2)当产量(chnling)从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加(zngji)到80台时,总收入的增量为;（万元）第12页/共29页第十二页，共30页。13 二、由变化率求总量 例5 某工厂生产某商品, 在时刻 t 的总产量变化率为 (单位/小时). 求由 t = 2 到 t = 4 这两小时 的总产量 . ttx12100)( 解 总产量 4242)12100()(dttdttxQ.2726100422 tt 例6 生产某产品的边际成本为 , 当 产量由200增加到300时, 需追加成本为多少?xxC2

8、. 0150)( 解 追加(zhuji)成本dxxC 300200)2 . 0150(30020021 . 0150 xx .10000 第13页/共29页第十三页，共30页。14 设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息(lx)A0r,本利和为A0A0rA0(1r),n年后所得利息(lx)nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)这就是单利的本利和计算公式假设(jish)在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.三、收益流的现值与未来值第14页/共29页第十四页，共30页。15 第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利和为A2

9、A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此计算,n年后应得本利和为AnA0(1r)n这就是(jish)一般复利的本利和计算公式. 这种计息方式的基本思想(sxing)是：利息收入自动被计入下一期的本金. 就像常说的“利滚利”.三、收益流的现值与未来值第15页/共29页第十五页，共30页。16 资金周转过程是不断(bdun)持续进行的, 若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为A1A(1 r/n )n，t年后本利和为AtA(1 r/n )nt ，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为 这就是连续复利公式0lim(1)nttnrAA

10、n 00lim(1) .nrtrtrnrAAen 第16页/共29页第十六页，共30页。17 因此，在年利率为r的情形下,若采用连续(linx)复利，有： （1）已知现值为A0, 则t年后的未来值为AtAert， （2）已知未来(wili)值为At , 则贴现值为A At e-rt期数趋于无穷大的极限情况(qngkung)下的计息方式，即每时每刻计算复利的方式称为连续复利.时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.第17页/共29页第十七页，共30页。18 我们(w men)知道, 若以连续复利率 r 计息, 一笔 P 元人民币 从现在起存入银行, t 年后的价值(将来值) ,t rPeB 若 t

11、 年后得到(d do) B 元人民币, 则现在需要存入银行的金 额(现值) .t rBeP 下面先介绍收益流和收益流量(liling)的概念 . 若某公司的收益是连续地获得的 , 则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流 . 而收益流对时间的变化率称为收益流量 . 4、收益流的现值和将来值第18页/共29页第十八页，共30页。19 收益流量实际上是一种速率 , 一般用 R (t) 表示(biosh) ; 若时间 t 以年为单位 , 收益以元为单位 , 则收益流量的 单位为: 元/年. (时间 t 一般从现在开始计算) . 若 R(t) = b 为常数 , 则称该收益流具有均匀收益流量. 将

12、来值：现在一定量的资金(zjn)在未来某一时点上的价值现值：将来某一时点的一定(ydng)资金折合成现在的价值， 俗称“本金” 例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元. 10500为10000的将来值,而10000为10500的现值 .第19页/共29页第十九页，共30页。20 和单笔款项一样 , 收益流的将来值定义为将其存入 银行并加上利息之后的本利和 ; 而收益流的现值是这 样一笔款项, 若把它存入可获息的银行, 将来从收益流 中获得(hud)的总收益, 与包括利息在内的本利和, 有相同的 价值. 在讨论连续(linx)收益流时, 为简单起见,

13、假设以连续(linx)复利 率 r 计息 . 第20页/共29页第二十页，共30页。21 若有一笔收益流的收益流量(liling)为 R(t) (元/年) , 下面计 算其现值及将来值 . 考虑从现在(xinzi)开始(t = 0)到 T 年后这一时间段 . 利用元 素法, 在区间 0 , T 内, 任取一小区间 t , t + dt , 在该小 区间内将 R (t) 近似看作常数 , 则应获得的金额近似等 于 R (t) dt (元) . 从现在( t = 0 )算起, R (t) dt 这一金额(jn )是在 t 年后的将 来而获得, 因此在 t , t + dt 内, 从而，总现值为00

14、( )TrtRR t edt 收益的现值( )rtR t edt 第21页/共29页第二十一页，共30页。22 在计算将来值时, 收入(shur) R(t) dt 在以后的( T t )年内获 息, 故在 t , t + dt 内 例8 假设(jish)以年连续复利率 r = 0.1 计息 (1) 求收益(shuy)流量为100元/年的收益(shuy)流在20年期间的现 值和将来值; (2) 将来值和现值的关系如何? 解释这一关系 . 解 (1) 从而，将来值为()0( )Tr TtTRR t edt 收益流的将来值()( )r TtR t edt 第22页/共29页第二十二页，共30页。23

15、dtet1 . 0200100 现值现值;)(66.864)1(10002元元 edtet)20(1 . 0200100 将来值将来值dteet1 . 02200100 . )(06.6389)1(100022元元 ee (2) 显然(xinrn) ,2e 现值现值将来值将来值 若在 t = 0 时刻以现值 作为一笔款项存 入银行, 以年连续复利率 r = 0.1计息, 则20年中这笔单 独款项的将来值为 )1(10002 e.)1(1000)1(100022(20)0.12eeee 而这正好是上述收益(shuy)流在20年期间的将来值 . 第23页/共29页第二十三页，共30页。24例9 某

16、公司投资(tu z)100万元建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为30万元，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资(tu z) Ttt01 . 0100de30解 设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间(shjin)长度，因此有 100)e1(301 . 0 T即解得T=4.055，即在投资(tu z)后的4.055年内可收回投资(tu z)第24页/共29页第二十四页，共30页。25 一般来说, 以年连续复利率 r 计息, 则在从现在起到 T 年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为 单笔款项(kunxing)存入银行 T 年后的将来值.

17、例1 设有一项计划现在( t = 0 )需要投入 1000 万元, 在 10 年中每年收益为 200 万元. 若连续利率为 5%, 求 收益资本价值W. (设购置的设备(shbi)10年后完全失去价值) 解资本价值 = 收益(shuy)流的现值 投入资金的现值 100020010005. 0 dteWt100005. 020010005. 0 te1000)1(40005 . 0 e. )(88.573万元万元 第25页/共29页第二十五页，共30页。26 例2 某企业一项为期10年的投资(tu z)需购置成本80万元, 每年的收益流量为10万元, 求内部利率 (注: 内部利率 是使收益价值等

18、于成本的利率) . 解由收益流的现值等于(dngy)成本, 得 1001080dtet 10010 te , )1(1010 e 可用近似计算得 .04. 0 第26页/共29页第二十六页，共30页。27), 2 , 1()1 (0 trAAtt 设有一笔数量为A0元的资金存入银行，若年利率为r，按复利方式每年计息一次，则该笔资金t年后的本利和为1.连续(linx)复利概念), 2 , 1()1(0* tnrAAntt如果每年分n次计息，每期利率为r/n，则t年后的本利和为rnnnre1lim 当n无限增大时，由于，故三、收益(shuy)流的现值与未来值第27页/共29页第二十七页，共30页。28rtntntnAnrAAe1limlim00* rttAA e0称为t年末(nin m)的A t元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式rttAAe 0 称称公公式式为A0元的现值(即现在价值)在连续复利方式下折 算为t年后的未来(wili)值(将来价值)的计算公式建立(jinl)资金的