考点8数列的综合应用资料

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点8 数列的综合应用1.（2010·湖北高考理科·7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n项和极限的计算，考查考生的运算求解能力【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关

2、系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从大到小的顺序排列构造一个等比数列，由公比知【规范解答】选C设正六边形第n个内切圆的半径为，面积为，则°，从而=，由，知是首项为，公比为的等比数列，所以=4.【方法技巧】对于等比数列，若公比，则其前n项和当n趋向于无穷大时极限存在且.2.（2010·上海高考理科·0）在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为aij(i,j=1,2,，n)当时， 【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时aij(i,j=1,2,，9)对应的数，再求解【规范解答】当时， 1+3+5+7+9+2+4

3、+6+8=45.【答案】45【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解3.（2010·湖北高考理科·20）已知数列满足: , .数列满足： =（n1）.()求数列，的通项公式;()证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力【思路点拨】()由题意构造新数列满足：，先求的通项公式，再求的通项公式，最后求的通项公式.()用反证法证明.【规范解答】()由题意可知： ，令，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，故.又>

4、0，故，=.()证明：（反证法）假设数列存在三项，按某种顺序构成等差数列，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，于是一定有， 则只能有成立，即：，两边同乘以可得：，由于，所以式左边为偶数，右边为奇数，从而式不可能成立，导致矛盾.故数列中的任意三项不可能成等差数列.【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式.4.（2010·重庆高考理科·21）在数列中，=1，其中实数.（1）求的通项公式.（2）若对一切有，求的取值范围.【命题立意】本小题考查归纳、猜想

5、解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想. 【思路点拨】（1）先求出数列的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明或将所给等式变形构造新数列，利用新数列求解.（2）对恒成立问题进行等价转化.【规范解答】（1）【方法1】：由，c3，猜测（）， 下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立；假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，综上可知，对任何都成立.【方法2】：由原式得，令，则，因此对有，因此，又当n=1时上式成立.因此，.（2）【方法1】：由，得因，所以解此不等式得：对一切，有或，其中，易知（因为的分子、分母的最高次项

6、的次数都是2，且系数都是8，所以极限值是）；用放缩法得：，所以，因此由对一切成立得；又，易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得：，从而c的取值范围为.【方法2】：由，得，因，所以4（c2-c）k2+4ck-c2+c-10对恒成立.记，下面分三种情况讨论.（i）当即或时，代入验证可知只有满足要求.（ii）当时，抛物线开口向下，因此当正整数k充分大时，不符合题意，此时无解.（iii）当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左侧，因此，在上是增函数，所以要使f(x)对x恒成立，只需即可.由得3c2+c-10，解得或，结合或得或.综合以上三种情况，的取值范围为.【方法技巧】（1）第（1）

7、问有两种方法解答：归纳猜想并用数学归纳法证明；数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用.5.（2010·重庆高考文科·16）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前n项和.（1）求通项公式及.（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n项和.【命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查等差数列、等比数列的前项和公式及其应用，考查运算求解的能力，考查化归与转化的思想.【思路点拨】（1）直接套用等差数列的通项公式和前项和公式计算.（2）

8、直接套用等比数列的通项公式求出的通项，再求数列的通项公式及前n项和.【规范解答】（1）因为是首项为19，公差为-2的等差数列，所以，即.，即.（2）因为是首项为1，公比为3的等比数列，所以，即=3n-1-2n+21，所以.【方法技巧】在求时，巧妙的利用（1）中的和可以快速解题.6.（2010·江西高考理科·22）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列.（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列【命题立意】本题是一类新型探索题，主要考查等差数列的定义及通项公式，等差数列的证明等基础知识，考查由特殊到一般的思想，考查等价命题的转化，考

9、查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，函数与方程思想方法，考查思维的严密性，本题属难题.【思路点拨】（1）先找到成等差数列，是解决本小题的关键.（2）先选取与n（nN*）有关的多项式进行分解因式，再解方程组确定边长，最后证明三角形的存在性和无穷性，难点在于构造多项式.【规范解答】（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列（2）若成等差数列，则有，即 选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于因此令，可得易验证满足，因此 an2,bn2,cn2成等差数列，当时，有且因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为

10、其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：，据此例性质有：，所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列【方法技巧】1.这类题目难度大，技巧性高，一般很难直接找到问题的突破口，只有平时打好基础，注意知识的总结和一些规律性的小结论的积累，才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答，并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子.2.本例第（1）问的突破口如下：设1，,符合条件要求，则有，由于,N*，所以为奇数，又设,则，化简得，可见，也为奇数，再设= N*,又得，化简得，故，且，解得.从而=5,=7,这样问题就得到了解决

11、.7.（2010·四川高考理科·21）已知数列满足，且对任意都有，（）求，.（）设，证明：数列是等差数列.（）设，求数列的前项和.【命题立意】本小题主要考查数列的递推公式、等差数列的概念及求和公式，等比数列的求和公式，用错位相减法数列求和等知识的应用，考查化归，分类整合等数学思想，灵活运用已知公式，以及推理的能力.【思路点拨】（I）由题意，所给公式对都成立，故可给，赋值，结合的值求解.（）要证数列为等差数列，由等差数列的定义，需证为常数，即为常数，与所给公式比较可知，令，即，便可解决问题.（）需先确定数列的通项公式，即求的表达式，由（）知，观察公式，保留，故需出现，可令或，

12、当时，不便于计算，当时，即 时，又，此时由得，可求出，从而解决问题.需注意等比数列求和时注意公比是否为，故需分类讨论.【规范解答】(I)由题意，令，可得，令，.（）当,由已知，令，由已知可得， 即，也即， .数列是公差为的等差数列.（III）由(I)、（）可知数列是首项为，公差为的等差数列.则， 即.另令可得，即.则 ，.当时，Sn，当，Sn， 式两边同乘可得qSn ， 得(1-q)Sn ， Sn 综上，Sn 8.（2010·全国高考卷理科·18）已知数列的前项和（）求；（）证明：【命题立意】本题考查了数列的递推公式，极限的运算以及数列与不等式的证明综合运用. 【思路点拨】

13、（）可以用表示，代入再求极限.（）结合不等式的放缩法证明. 【规范解答】（）（）当n=1时， 当n>1时，=>.所以，9.（2010·上海高考理科·20）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n项和与第n项的关系【思路点拨】由前n项和与第n项的关系，求出与的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出,再求，由估算n的值【规范解答】（1）当n=1时，所以；当时，化简得，即，所以是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）得，所以，且=，

14、【方法技巧】由数列的前n项和与第n项的关系，求通项时，要先求，然后时，由求.10.（2010·上海高考文科·21）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n项和与第n项的关系【思路点拨】由前n项和与第n项的关系，求出与的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出,再求，由解不等式，估算n的值【规范解答】（1）当n=1时，所以；当时，化简得，即，所以是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）得，所以，且=，由，得，化简，得，所以故最小的整数n取15.【方法技巧

15、】由数列的前n项和与第n项的关系，求通项时，要先求，然后时，由求.11.（2010·湖北高考文科·19）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房.（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）【命题立意】本题主要考查由实际问题提取信息、建立数学模型的能力，同时考查考生运用所学知识分析和解决实际问题的能力【

16、思路点拨】（）由题意，设第年末实际住房面积为，则且（单位：m2）.（）由求出，结合题意建立方程即可解得.【规范解答】设第年末实际住房面积为.（）由题意，则（单位：m2），（单位：m2）.（），由题意，解得，所以每年拆除的旧住房面积为（单位：m2）.【方法技巧】本题第（）问也可通过构造新数列先求，再求，进而解方程求b.过程如下：由且可得：，若，则，从而与题目条件矛盾，所以，所以数列是以为首项，1.1为公比的等比数列，因此，从而， .由题意，解得.12.（2010·江西高考文科·22）正实数数列中,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数.(2)当为何值时，为整数，并

17、求出使的所有整数项的和.【命题立意】本题是一类创新题型，主要考查等差数列的定义及通项公式等基础知识，考查由特殊到一般的思想，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，考查思维的严密性，本题属难题.【思路点拨】（1）从通项公式的结构特点着手，找到非完全平方式的一类表达形式，是解决本小题的关键，此题也可利用整数的平方其末位数的规律求解；（2）利用整数的奇偶性，研究整数分解因式的规律，是解决本类问题的关键.【规范解答】（1）由已知有：，从而，方法一：取，则（）.用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，则必为正整数，且，故.,与矛盾，所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项

18、为无理数.方法二：因为（nN*），当的末位数字是时，的末位数字是 和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多(2) 要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即（）时，为整数；同理有（）也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则.【方法技巧】1.这类题目难度大，技巧性高，一般很难直接找到问题的突破口，只有平时打好基础，注意知识的总结和一些规律性的小结论的积累，才能把这类难度大的题通过已学的基础

19、知识层层分解来解答，并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子.2.本题巧妙利用整数的平方其末位数的规律求解，同时利用整数的奇偶性，研究整数分解因式的规律，是解决本类问题的关键.本题考查的不仅仅是这些知识，更重要的是分析问题和解决问题的能力.13.（2010·四川高考文科·20）已知等差数列的前项和为，前项和为，（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【命题立意】本小题考查等差数列的求和公式，用错位相减法求数列的和，考查化归，分类整合等数学思想，以及推理论证，分析与解决问题的能力.【思路点拨】（I）要求等差数列的通项公式，需知首项和公差，列方程组求解. （II）先求出，则Sn=1·q0+2·q1+3·q2+n·qn-1，可用错位相减法求解，注意分，两种情况分类讨论.【规范解答】（I）设等差数列的公差为 ，则 解之得，.（II）由（I）的解答可得，则Sn=1·q0+2&#