西安交通大学03-09_高数考题

1、2003年1月 一、解下列各题1、 2、设由方程确定，求3、设在点连续，试确定的值4、判定级数的敛散性5、设曲线方程为，求此曲线在点处的切线方程6、设在点处有，而在点及其邻域有定义且有界，试证明函数在点处可导，并求7、将展开成周期为的付立叶正弦级数8、计算不定积分9、计算定积分10、求由所围成的平面图形绕轴旋转所成的立体的体积二、证明：当时，三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的倍，水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省？四、试求幂级数的收敛域及和函数五、设为上单减连续函数，有，证明当时

2、，为单调减函数六、设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得七、已知可导函数满足，求2004年1月 一、解下列各题1、 2、设,求3、求不定积分 4、求不定积分 5、求定积分 6、求由曲线及轴围成的图形的面积。7、判定级数的敛散性8、将展开为的幂级数，并求收敛域。9、求幂级数的收敛域及和函数。10、曲线上哪一点的法线在轴上的截距最小二、证明：当时，三、设某产品的成本函数为，需求函数为，其中为成本，为需求量(也是产量)，为单价，都是正常数，且。求(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。四、曲线轴旋转一周，得一旋转体，若把它在与之间部

3、分的体积记为，试求五、设为上连续，且，求证：在内存在一点，在05年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1. 计算极限.2. 设，求.3. 设在处可导，求常数和.4. 判定级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？5. 设由方程所确定，求6. 设连续，且满足，求？7.（1） 将展开成以为周期的傅里叶级数.（2） 求的极值.8计算不定积分 9. 计算定积分10. 求曲线直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二、（8分）试证明不等式时，三、（9分）将函数展成的幂级数，并指出收敛区间.四、（9分）已知在的邻域内可导，且，.求极限.五、（8分）求幂级数的收敛域及和函数.六、（

4、6分）设在上连续，在内可导，且，证明：06年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1. 计算极限2. 设，求.3. 设，求.4. 判定的敛散性.5. 设由方程所确定， 求.6. 计算不定积分.7. 将展开成以为周期的Fourier级数.8. 将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间.9. 求微分方程的通解.10. 设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一个平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积最大.二、（8分）试证明不等式：当时，.三、（9分）设，求.四、（9分）一物体在某一介质中按作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的平方成正比，计算物体由移动到时克服阻力所作

5、的功.五、求级数的和.六、（5分）设，证明：07年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1.计算极限 2.设，求.3. 设，求4.判定级数的敛散性.5.计算反常积分6. 设为的原函数，求7.将展开成以为周期的傅里叶正弦级数，并求此级数分别在和两点的收敛值.8.将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域.9.求微分方程的通解.10.求抛物线与所围图形的面积.二、（9分）若函数在点可导，求和三、（9分）在曲线上求一点，使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.四、（8分）半径为的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时，试问此时

6、水面下降的深度为多少？五、（8分）求幂级数的和函数并求出级数的和.六、（6分）已知函数在上可导，且并满足等式，求并证明：2008.1.15高等数学（11）一、解答系列个题（每小题6分，共60分）1 计算极限2 设，求3 设求4 判定级数的敛散性.5 判断反常积分的敛散性，若收敛，试计算其值.6 计算不定积分.7 计算定积分.8 将函数在上展成以4为周期的正弦级数.9 求微分方程的通解.10.求由曲线及所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.二、（9分）证明：当时，有三、（9分）设抛物线通过点，为了使此抛物线与直线所围成的平面图形的面积最小，试确定和的值.四、（8分）设一车间空间容积为100

7、00立方米，空气中含有0.12%的二氧化碳（以容积计算），现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间，同时按1000立方米每分钟的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五、（9分）求幂级数的收敛域及和函数.六、（6分）设函数在的邻域内有连续的一阶导数，且，证明：条件收敛2008.3.2高等数学补考一、解答系列个题（每小题6分，共60分）1. 计算极限2.设3设 4.判定级数的敛散性.5.计算反常积分 6.计算不定几分7.计算定积分 8.将展开为以为周期的复利叶级数.9.求微分方程的通解.10.把由曲线，直线及所围成的平面图形绕直

8、线旋转所得旋转体的体积.二、（9分）试证明：在内，恒有不等式成立三、（9分）在曲线上取一点，过点作平行于轴的直线，由直线，轴及曲线所围成的图形面积记为，由直线，直线及曲线所围成的图形面积记为，问取何值时，取得最小值.四、（8分）半径为的球沉入水中，它与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？五、（8分）求幂级数的收敛域及和函数.六、（6分）设在上具有连续导数，且，证明：2009-1-12一、解答系列个题（每小题6分，共60分）1.计算极限2.设求 3.设，求4.判定级数的收敛性. 5.求反常积分6.求. 7.8.将在上展为以为周期的傅立叶级数，并指出收敛于的区间.9.求微

9、分方程的解.10.求曲线与直线所围城平面图形绕轴旋转一周所得旋转体积的体积.二（8分）将展为的幂级数，并指出其收敛域.三、（9分）在曲线上取点，过点作平行于轴的直线，由直线，轴及曲线所围城的图形记为，由直线，直线及曲线所围成的图形面积记为，问为何值时，取得最小值.四、（9分）冷却定律指出，物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比，已知空气温度为时，物体由经15分钟冷却至，问该物体冷却至需要多少时间？五、（8分）求幂级数的收敛及和函数.六、（6分）设，试证存在，使高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式 也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式 曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：