直接证明与间接证明

1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊特殊到到一般一般）类比类比（特殊特殊到到特殊特殊）三段论三段论（一般一般到到特殊特殊）复习复习 合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.综合法综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。条件条件结论结论数学推理数学推理条件条件定理定

2、理 公理公理定义定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc)4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a0 2bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.)2abc.又因为又因为c c2 2+a+a2 2 2ac,b02ac,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) 2abc.) 2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.)4abc.证明证明: :1.综合法:(顺推证法)(由因导果法

3、)变式变式1：abcbacacbcbacba6)()()(, 0,222222且不全相等，求证已知练一练：3ccbabbacaa-cb cba求证：为不全等的正数，、已知练习：求证：练习：求证： 5321232log 19log 19log 19证明：因为证明：因为 1loglogabba所以所以 左式左式=log195+2log193+3log192 =log19(53223)=log19360.因为因为log193600,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a

4、 a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归

5、结为判定一个明直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论分析法又叫执果索因法或叫逆推证法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法【分析法【分析法】要证要证 只需证只需证 只需证只需证 显然成立显然成立所以所以 结论成立结论成立格格 式式例例1:求证求证3526证明：

6、证明：为了证为了证 只需证只需证 展开得展开得82 1582 12 即即1512只需证只需证1512，因为，因为1512成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。352622( 35)( 26)3526例例2求证：求证：372 5证明：因为证明：因为 都是正数，都是正数， 372 5和所以为了证明所以为了证明 372 5只需证明只需证明 22( 37)(2 5)展开得展开得102 2120即即215只需证明只需证明2125，因为，因为210成立，成立， 即证即证a a2 2(a-b)+b(a-b)+b2 2 (b-a)0(b-a)0成立。成立。 只需只需(a(a2 2-b-b2 2)(a-

7、b)0)(a-b)0证成立，证成立， 也就是要证也就是要证(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 20 0成立。成立。 即证即证(a-b)(a-b)2 20 0成立（成立（a+ba+b00） 而由已知条件可知，而由已知条件可知，abab，有，有a-b0a-b0， 所以所以(a-b)(a-b)2 20 0显然成立，由此命题得证。显然成立，由此命题得证。 设设a a、b b是两个正实数，且是两个正实数，且abab，求证：，求证：a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2 一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列

8、的推理、论证，最后推导定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法。特点:“由因导果”小结小结综合法又叫由因导果法或顺推证法综合法又叫由因导果法或顺推证法. .1.1.综合法的定义综合法的定义: : 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做明的方法叫做分析法分析法 2.2.