曲线的凹凸与拐点

1、 第六节第六节曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 221xx x2 xOx1yx12)()(21xfxf )2(21xxf 221xx y f(x1) f(x2) x2 xx1O2)()(21xfxf )2(21xxf f(x1)f(x2),21Ixx(1) 若恒有若恒有定义定义1.设函数设函数 f(x)在区间在区间 I 上连续上连续 ,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称 f(x)在在区间区间 I 上上的的图形是图形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称f(x)在在区间区间 I 上的图形是上的图形是凸凸的的 . 连续曲线上有切线的凹凸连续曲线

2、上有切线的凹凸分界点称为分界点称为拐点拐点 . .yox定义定义2 定理定理.(凹凸判定法凹凸判定法), 0)( xf, 0)( xf则则f(x)在在a, b上的图形是凹的；上的图形是凹的；在在(a, b)内具有一阶和二阶导数，那么内具有一阶和二阶导数，那么(1)若若在在(a, b)内内(2)若在若在(a, b)内内则则f(x)在在a, b上的图形是凸的上的图形是凸的.0212xxx hxxxx 1002hxxhxx 0201,hhxfxfhxf)()()(1000 hhxfhxfxf)()()(2000 , 101 , 102 hhxfhxfxfhxfhxf)()()(2)()(201000

3、0 证明证明: (1)设设x1和和x2为为a, b内任两点且内任两点且x1x2,记记并记并记，则则由拉格朗日中值公式由拉格朗日中值公式,得得其中其中两式相减，得两式相减，得设设f(x)在区间在区间 a, b 上连续上连续 , 0212xxx hxxxx 1002hxxhxx 0201,hhxfxfhxf)()()(1000 hhxfhxfxf)()()(2000 , 101 , 102 hhxfhxfxfhxfhxf)()()(2)()(2010000 证明证明: 1 设设x1和和x2为为a, b内任两点且内任两点且x1x2,记记并记并记，则则由拉格朗日中值公式由拉格朗日中值公式,得得其中其中

4、两式相减，两式相减，得得 hxhx1020, 2212010)()()(hfhhxfhxf hxhx1020 有有若若0)( f0)(2)()(000 xfhxfhxf)(2)()(000 xfhxfhxf 即即)2(2)()(2121xxfxfxf 得得出出对对f (x)在区间在区间上再利用拉格朗日中值公式上再利用拉格朗日中值公式其中其中所以所以f(x)在在a, b上的图形是凹的；上的图形是凹的；得得同理可证同理可证(2) 定理定理.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则

5、在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .)(xf证法证法2:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明说明 (1) 成立成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数证毕证毕 例例3. 判断曲线判断曲线4x

6、y 的凹凸性的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,xyo 例例4. 求

7、曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 .oxy凹凸 xxy24362 )(3632xx例例5. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221xx对应对应3) 列表判别列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在)0,(),(32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 ,

8、 1 ) 及及),(271132均为拐点均为拐点.上在),0(32凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(271132 内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点 .),(21)1,(2121e 曲线曲线21xey的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:)21

9、 (222xeyx ),(2121),(21及及yox作业作业P , ;)1,(2121 e)1,(2121 e思考与练习思考与练习 112xxy有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx备用题备用题xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2 令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(32113