第26章二次函数全章导学案

1、二次函数导学案26.1二次函数及其图像26.1.1二次函数九年级下册编号01【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念.2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。3. 确定实际问题中二次函数的关系式。【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。【学习过程】一、知识链接：1. 若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说 y是x的, x叫做。2. 形如y = ( k式0)的函数是一次函数，当 =0时，它是函数;形如 ( k =0)的函数是反比例函数。二、自主学习：1用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y( m2)与长方

2、形的长x(m)之间的函数关系式为。分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米， 那么y与x之间的 函数关 系式为y =，整理为y =.2. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数 m与球队数n之间的关系式3. 用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为 r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是。4. 观察上述函数函数关系有哪些共同之处？5. 归纳：一般地，形如 , ( a,b,c是常数，且a)的函数为二 次函数。其中x是自变量， a是, b是, c是三、合作交流：（1）二次项系数a为什么不等于0 ?答：。（2）一次项系数b和

3、常数项c可以为0吗？答：.四、跟踪练习1. 观察： y =6x2 : y 二3x2 5 :y= 200x2+ 400x + 200:讨仝2x :2 1 2 2y =x 3 :y - x 1 ； X .这六个式子中二次函数有 。（只填序x号）22. y =（m +1）xm3x +1是二次函数，则 m的值为.3. 若物体运动的路段 s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s=5t2，2t，则当t = 4秒时,该物体所经过的路程为 4二次函数y=_x2 Ex 3 .当x= 2时，y = 3,则这个二次函数解析式为 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化

4、带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）若设绿化带的BC边长为x m , 绿化带的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式，并写出自变 量x的取值范围.326.1.2二次函数y=ax思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答： 归纳： 由图象可知二次函数 y =x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；的图象九年级下册编号02【学习目标】1 知道二次函数的图象是一条抛物线;2 .会画二次函数3 .掌握二次函数 【学法指导】y = ax2的图象；y - ax2的性质，并

5、会灵活应用.（重点）数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数 【学习过程】、知识链接：1画一个函数图象的一般过程是 :。2次函数图象的形状是 ;反比例函数图象的形状是 二、自主学习（一）画二次函数 y = x2的图象.列表：x-3-2-101232y = x在图（3）中描点，并连线1997工4t弋/4 -3 -2 -10t、3)41(1)#抛物线y =x2是轴对称图形，对称轴是 y =x 2 2归纳：抛物线yx , y = -x , y = -2 x 2的的图象的形状都是 顶点都是；对称轴都是;二次项系数 a0;开口都;顶点都是抛物线的最点（填“高”或“低”）.的图象开

6、口 ； 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 目=x的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最值等于0. 在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即x <0时，y随x的增大而， x >0时，y随x的增大而。1（二）例1在图（4）中，画出函数y x2， y =.x2， y =2x2的图象.2解：列表:x5-4-3-2-10123451 2 y = x255x5-2-1.5-1-0.500.511.5252y =2x55归纳：抛物线y=x?,科=£ , y=2x2的2图象的形状都是 ；顶点都是 ；对称轴都是;二

7、次项系数a0 ;开口都;顶点都是抛物线的最 点（填例2请在图（4）中画出函数y“高”或“低”）.(5)4y - -2x2的图象.列表：x5-4-3-2-1012341 2y = x25x5-3-2-1012352y = -x55x-2-1.5-1-0.500.511.5252y = 2x5三、合作交流：归纳：抛物线y二ax 2的性质图象（草图）对称 轴顶点开口 方向有最高或最低点最值a > 0当x =时，y有最值，是.a v 0当x =时，y有最值，是.2. 当a > 0时，在对称轴的左侧，即 x0时，y随x的增大而 ;在对称轴的右侧，即 x0时y随x的增大而 。3. 在前面图（4

8、）中，关于x轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答：。由此可知和抛物线y二ax 2关于x轴对称的抛物线是 4. 当>0时，a越大，抛物线的开口越 ;当a v 0时，a越大，抛物线的开口越;因此，a越大，抛物线的开口越 四、课堂训练321 函数y x 的图象顶点是 ，对称轴是 ，开口向 ，当x7=时，有最值是.x2. 函数y = -6x2的图象顶点是，对称轴是=时，有最值是.3. 二次函数y=(m 3卜2的图象开口向下，贝Um.4. 二次函数 y = mxm 有最高点，则 m =.5. 二次函数y = (k + 1)x2的图象如图所示，贝Uk的取值范围为 6 若二次函数y =ax2的图象

9、过点(1 , - 2)，则a的值是 7.如图，抛物线 y - -5xy - -2 x y=5xy=7x 开口从小到大排列是；(只填序号)其中关于 x轴对称的两条抛物线 是禾廿。1&点A ( 2 ， b)是抛物线y上的一点，贝U b=;过点A作x轴的平行线交抛物线另一点 B的坐标是 。9. 如图，A、B分别为y =ax 2上两点，且线段AB丄y轴于点(0,6),若AB=6，则该抛物线的表达式为 。210. 当m=时，抛物线y =(m -1)xm 开口向下.11二次函数y =ax与直线y =2x-3交于点P (1, b).(1) 求a、b的值；(2) 写出二次函数的关系式，并指出 x取何值

10、时，该函数的 y随x的增大而减小.26.1.3 二次函数y = a x _h 2 k的图象（一）九年级下册编号03【学习目标】2 21 知道二次函数y =ax + k 与 y = ax 2的联系.2掌握二次函数y = ax 2 k的性质，并会应用；【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数y =ax2的性质学习，要构建一个知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线y = 2x T可以看做是由直线 y =2x得到的。练：若一个一次函数的图象是由y = 2x平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。解:由此你能推测二次函数 y =x2与y =x2 -2的图象之间又有何关系吗?猜想：二、自主学

11、习x321012352y = x 十 152y =x 151.填表：开口方 向顶点对称 轴有最高（低）点增减 性2y = x9（一）在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 -1 , y=x2-1 的图2y =x+1y = x2 _1象.2 可以发现，把抛物线y=x2向平移个单位,就得到抛物线y = x2 +1 ;把抛物线y =x2向平移个单位，就得到抛物线y = x2 1 3 抛物线y=x2 , y=x2亠1 , y=x21的形状开口大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线y = ax 2 k特点：1当a 0时，开口向；当a ：0时，开口2. 顶点坐标是3. 对称轴是（二）抛物线y = ax 2

12、 k与y =ax2形状相同，位置不同,y = ax 亠k是由2y 二 ax#平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上 下（三）a的正负决定开口的 ; a决定开口的 ，即a不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。三、跟踪练习：1. 抛物线y =2x2向上平移3个单位，就得到抛物线 抛物线y = 2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 22抛物线y = -3x2向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状，当x =时，y有最值是。3由抛物线y =5x2 _3平移，且经过(1,7)点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移个单位得到的

13、。4. 写出一个顶点坐标为(0, 3)，开口方向与抛物线 y=_x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式5. 抛物线y =4x2 +1关于x轴对称的抛物线解析式为 6. 二次函数 y =ax +k(aH0 )的经过点 A (1, -1 )、B ( 2, 5).求该函数的表达式；若点C(-2, m),D ( n , 7)也在函数的上，求 m、n的值。26.1.3二次函数y二a x _h 2 k的图象(二)九年级下册 编号04【学习目标】1. 会画二次函数y =a(x - h)2的图象；2. 知道二次函数y =a(xh)2与y = ax ?的联系.3掌握二次函数y =a(x -h)2的性质，并会应用

14、；【学习过程】一、知识链接：1. 将二次函数y =2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 2. 将抛物线y=/x2 T的图象向下平移 3个单位后的抛物线的解析式为 二、自主学习画出二次函数y =(x1)2 , y =(x -1)2的图象；先列表:x543210123452y =(x +1)5/52y =(x t)5/5归纳：（1） y=（x，1）2的开口向 ，对称轴是直线, 顶点坐标是。图象有最点，即x =时，y有最值是；在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而;在对称轴的右侧，即x时y随x的增大而。y =（X亠1）可以看作由y = X向平移个单位形成的。（2）y=（x1）2的开口向

15、，对称轴是直线，顶点坐标是 ，图象有最点，即x= 时，y有最值是；在对称轴的左侧，即 x时，y随x的增大而 ;在对称轴的右侧，即x时y随x的增大而。y =（x 1）2可以看作由y =x2向_平移个单位形成的。三、知识梳理（一）抛物线y =a（x h）2特点：1. 当a 0时，开口向；当a : 0时，开口 ；2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是直线 。（二）抛物线 y = a（xh）2 与 y =ax 2形状相同，位置不同，y =a（xh）2是由 y = ax 平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第 8页可知 二次函数图象的平移规律：左 右，上下c（三）a的正负决定开口的 ； a决定开口的

16、 ，即a不变，则抛物线的形状 <因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线 a值四、课堂训练2 ,1. 抛物线y = 2（x +3 ）的开口；顶点坐标为 ；对称轴是直线 当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。抛物线y = -2（ x -1）2的开口 ；顶点坐标为 ；对称轴是直线 13当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。2. 抛物线y =2x2 -1的开口 ；顶点坐标为 ；对称轴是 ；4抛物线y=5x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 5. 抛物线y = Yx2向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为 126将抛物线y

17、 = -（x 2 ）向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 3 f27. 抛物线y =4（x -2 j与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 8. 写出一个顶点是（5, 0）,形状、开口方向与抛物线y=2x2都相同的二次函数解析式26.1.3二次函数y二a x _h 2 k的图象（三）九年级下册编号052【学习目标】1 会画二次函数的顶点式 y=：axh - k的图象；2. 掌握二次函数y=ax_h亠k的性质；【学习过程】一、知识链接：1. 将二次函数y =-5x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。2将抛物线y - -X2的图象向左平移 3个单位后的抛物2 o3. 抛物线y =

18、(x1 )-2是由y =x2如何平移得到的？答： 三、合作交流平移前后的两条抛物线 a值变化吗？为什么？答：。四、知识梳理结合上图和课本第 9页例3归纳：(一) 抛物线y =a(x _h)2 + k的特点：1. 当a 0时，开口向;当a : 0时，开口 ；2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是直线 。(二) 抛物线y =a(xhf + k与y =ax ?形状，位置不同，y=a(xhf + k是由2y = ax 2平移得到的。右，上下二次函数图象的平移规律：左(三) 平移前后的两条抛物线五、跟踪训练1 2 1 21. 二次函数y (x-1)川'2的图象可由y x的图象()2 2A. 向左平

19、移1个单位，再向下平移2个单位得到B. 向左平移1个单位，再向上平移 2个单位得到C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D. 向右平移1个单位，再向上平移 2个单位得到122. 抛物线yx-65开口，顶点坐标是，对称轴3f是，当x=时，y有最值为3.填表：2y =3x2y = _x -32y =2(x +3)2y = -4( x 5)-3开口方向顶点对称轴2 24函数y =2 x -3 ；1的图象可由函数y =2x的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到。25.若把函数y=5（x-2） +3的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式 为。1 26. 顶点坐标为（一2

20、, 3）,开口方向和大小与抛物线y = x相同的解析式为（）21 2A.yx _23212C. yx 2321 2B.yx 2-3212D .y二x 232ixx7. 一条抛物线的形状、 2 2 开口方向与抛物线 y = 2x相同，对称轴和抛物线 y = x-2 相同，且顶点纵坐标为0,求此抛物线的解析式26.1.3二次函数y=a（xhj +k的图象（四）九年级下册 编号06【学习目标】会用二次函数y=a（xhj+k的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：1. 抛物线 讨-2（x+1）2 - 3开口向,顶点坐标是 ,对称轴是当x=时，y有最值为。当x时，y随x的增大而增大.2. 抛物线y =

21、 -2（x + 1）2 -3是由y = -2x2如何平移得到的？答： 二、自主学习1. 抛物线的顶点坐标为（2, -3）,且经过点（3,2）求该函数的解析式? 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。2.仔细阅读课本第10页例4:分析：由题意可知：池中心是是喷头，线段的长度是x米。由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。求水管的长就是通过求点 的坐标。、跟踪练习:如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米，底部宽度为12米.AO= 3米，现以为原点,OM所在直线为x轴建立直角

22、坐标系.(1)(2)直接写出点 A及抛物线顶点 P的坐标; 求出这条抛物线的函数解析式；AB三、能力拓展1.知识准备一 2如图抛物线y = x -1-4与x轴交于A,B两点，交y轴于点抛物线的顶点为点 C(1)求厶ABD的面积。(2)求厶ABC的面积。(3)点P是抛物线上一动点，当厶ABP的面积为4时，求所有符合条件的点 P的坐标。(4)点P是抛物线上一动点，当厶ABP的面积为8时，求所有符合条件的点 P的坐标。(5)点P是抛物线上一动点，当 ABP的面积为10时，求所有符合条件的点 P的坐标。2.如图，在平面直角坐标系中， 圆M经过原点O,且与： 轴、，轴分别相交于 虫卜&从5 (0

23、,-6) 两点.(1 )求出直线AB的函数解析式；T1111111t/BxX1 T ' '1lDiUy*L CD，0DB(2 )若有一抛物线的对称轴平行于 且经过点B,求此抛物线的函数解析式;(3 )设(2 )中的抛物线交；轴于?若存在，请求出点轴且经过点 M ,顶点C在OM上，开口向下，D、E两点，在抛物线上是 否存在点 P，使得P的坐标；若不存在，请说明理由.26.1.4二次函数y = ax 2亠bx亠c的图象九年级下册编号07【学习目标】1. 能通过配方把二次函数 y =ax2 bx c化成y =a(x -h)2 + k的形式，从而确定开口 方向、对称轴和顶点坐标。2.

24、熟记二次函数 y =ax2 bx c的顶点坐标公式；3. 会画二次函数一般式 y二ax2，bx c的图象.【学习过程】一、知识链接：21. 抛物线y =2 (x + 3 ) -1的顶点坐标是 ;对称轴是直线 ;当x = 时y有最值是;当x时，y随x的增大而增大； 当x时，y随x的增大而减小。2. 二次函数解析式y =a(x -h)2 + k中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ,所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：(一)、问题：(1)你能直接说出函数 y =x2 2x 2的图像的对称轴和顶点坐标吗？_(2) 你有办法解决问题(1)吗？解：y =x2 ：；2x2的顶点坐标是 ，对称轴是

25、式从（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为而直接得到它的图像性质（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式:2x 52 y = ax bx c2 y=x -2x 2（5）归纳：二次函数的一般形式y=ax2bx - c可以用配方法转化成顶点 式：， 因此抛物线y = ax 2 bx - c的顶点坐标是;对称轴是 ，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法 叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 y=2x2-3x 4 y-_2x2 x 2 y-x2-4x1（二）、用描点法画出 y二一x2 2x -1的图像.2（1） 顶

26、点坐标为；（2） 列表：顶点坐标填在 ;（列表时一般以对称轴为中心，对称取值.）x时y随x的增大而减小。 该抛物线与y轴交于点 。 该抛物线与x轴有个交点三、合作交流1 2求出y x2 2x -1顶点的横坐标x = _2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比2较。26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式九年级下册 编号08【学习目标】1. 能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；2. 会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.解：二、自主学习1. 一次函数y =kx - b经过点A（-1,2）和点

27、B（2,5）,求该一次函数的解析式。分析：要求出函数解析式，需求出 k,b的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于 k,b的二元一次方程组即可。解：2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（ 1,1 ）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：;所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：25三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式y = a x 一 h 2 k和一般式 y = ax 2 +bx +cJo1 已知抛物线过三点，通常设函数解析式为

28、 ;2 已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。四、跟踪练习：1. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（一2, - 3）,且图像过点（一3, 1）,求这个二次函数的解析式.2. 已知二次函数 y =x2 + X + m的图象过点（1, 2），贝y m的值为3. 一个二次函数的图象过（0, 1 ）、（ 1,0）、（ 2, 3）三点，求这个二次函数的解析式。k18两点的抛物线交x轴于另一点C ( 3,0 ),(1) 求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点0,使厶ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由26.2用函数观点看一元二次方程(一)九年级下

29、册编号09【学习目标】1、体会二次函数与方程之间的联系。2、理解二次函数图象与 x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 【学习过程】一、知识链接：1. 直线y =2x _4与y轴交于点 ，与X轴交于点 2元二次方程ax 2 bx c =0，当时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；二、自主学习1.解下列方程2 2 2(1) x -2x-3=0(2) x -6x 亠 9=0(3) x -2x 亠 3=02. 观察二次函数的图象，写出它们与x轴的交点坐标:函数图象2y 二x _2x_3Oy = x2 -6x 9y = x 2 - 2x 亠

30、3yux+9:O交占八、与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是3. 对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理：一兀二次方程ax 2 bx c = 0的实数根就是对应的二次函数y = ax 2 bx c与x轴交点的 . （即把y = 0代入y = ax 2 bx - c ）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为x2）二次函数 y = ax 2 + bx + c与兀次方程 ax + bx + c = 0y(,)(,)与x轴有个交点b?_4ac0 , 方程有的实数根xy(,)与x轴有个交点；这个交点是点b2 -4ac 0 ，方程有实数根O/xy与x轴有个交点b2 -4ac 0 ，方程实数根.Ox二次函数y = ax 2 bx c与y轴交点坐标是 .四、跟踪练习21.二次函数 y=x - 3x+2，当 x = 1 时，y =;当 y = 0 时，x =2.抛物线y =x2 -4x 3与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 当x =29#如图，一元二次方程 ax 2 bx c = 0的解为#4. 如图，一兀次方程 ax :卜bx：；'c =3的解为。5. 已知抛物线y =x? _2kx +9的顶点在x轴上，则k =.6. 已知抛物线y =kx2 +