欧拉法、梯形法和龙格-库塔解微分方程

1、- - 欧拉法、梯形法和龙格 - 库塔一、解方程： ? x( ) (0）=1 二、算出方程的解析解为：y 2 - ?-4?2三、实验原理 : 1. 欧拉法原理 : 将区间a,b 分成 n 段，那么方程在第xi点有y （xi）= f(xi,y（x） ）, 再用向前差商近似代替导数则为：，在这里,h 是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi 点和 i点的数值计算出+来: ,i=0,1 ，,n 这就是欧拉格式，若初值yi+ 1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解1,y.yn 2. 梯形法原理：将向前欧拉公式中的导数 （i,y )改为微元两端 f(xi,yi）和 f （i+ ,yi+ )的平均

2、 , 即梯形公式。3.龙格库塔方法的基本思想: - - 在区间 xn ， n+ 内多取几个点 ,将他们的斜率加权平均 , 作为导数的近似。令初值问题表述如下。则, 对于该问题的 r4 由如下方程给出：其中这样, 下一个值 (n+1)由现在的值 (）加上时间间隔 (h) 和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：k是时间段开始时的斜率；?2 是时间段中点的斜率 ,通过欧拉法采用斜率 1 来决定 y 在点 tn + h/2 的值；? k3也是中点的斜率 , 但是这次采用斜率k2 决定 y 值; ?是时- - 间段终点的斜率，其y 值用 k3 决定。当四个斜率取平均时 , 中点的斜率有

3、更大的权值：r4 法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。四、欧拉法、梯形法和龙格库塔的实现代码：h=0.; =0:h：1; y1zer s（size(x); y1(1)= ；=zro (ze(x ）) ；y(1) 1; y3=zeo(size(x)）; y3( ）=; or i =2:len th(x ）y1( ) = y1( 1） + h*x(i1-1)*(2-y( 1) ） ； %欧拉法1= 8*x(i1-1)*(2y2（11) ；% 梯形法- - m2 =8* (i )(2-y2(i-1) h*m1); y2(）=y2(i -1)+h*( 1m )/2; % 梯形法

4、公式k1=8*x （11) (2- 2(i1-1 ）; 龙格库塔 k2=8*(x（1-1)+h/2 ）( (y (i1 ) *k /2 ）); 3=*( （1-1)+h/2)*(2（2(i -1)+h k/2 ）; k4=8(x(i1-1)+h）（ -( (i1- )+h*k ) ；y3(i ) y3（i1-1) (1+2*k2+2*k3+k4)*h/ ； % 龙格- 库塔公式=-e p( 4*(x. ) ；解析解ot(x,y ,x ，y,x ， , , ) % 解析解与数值解图像eged(y1 , y2 , y3 ,y4 ) plot(x,4-y1,x,y4 ,x ，y4-y3) 解析解与数

5、值解误差图像leg n(y4 1, y4-y2，y4y3 ) 五、图像 : 1. 解析解 y4 与各个数值解 y1,y ，y3 的图像：- - (1）当步长 h=0.1 时：()当步长 =0.05 时: - - (3) 当步长 h=. 1 时: - - 结论: 三个图中，方程的解析解都是y4。 y1表示欧拉法 , y2 表示梯形法 ,y3 表示龙格库塔法。从上面三个图像可以看出， y与 y4 的拟合度比其他两个都好, 即龙格库塔法得到的数值解与真实解的拟合度比欧拉法和梯形法都高。同时, 从上图可以看出，步长 h=0.1 比 h=.5 和 h=1 所得到的的解更接近于真实解，这也说明了, 步长越小，区间内的点越多, 估计解也就越接近与真实解。2. 解析解 y4 与各个数值解 1,y ,y3 的误差图像 : (）当步长 h=.1 时- - （2）当步长 h0.05 - - (3) 当步长 =0. 1 时- - 结论: 同样的 , 上面三个误差图可以看出:y -y3 表示龙格- 库塔法与真实解的误差,y 2 表示梯形法与真实解的误差,y 1 表示欧拉法与真实解的误差。从