三角恒等变换知识总结

1、三角恒等变换知识点总结sin cos32014/10/24一、基本内容用讲1 .两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos msin sintan(tan tan1 mtan tana tan B ),有时应用该公式比较方便。sin 2tan2要熟悉余弦(1)基本恒等式：sin1 2 * 4对其变形：tan a+tan B =tan( a + p )(1- tan2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：2.222sin cos . cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin2 tan(2)三角形中的角:(3)向量的

2、数量积:r rrag) XiX2 y1y2, aABC,sinA sin(B C),cosAr r agor b.r r.cos(a,b),r rX1X2 y1y20 a/bX1 y2X2y1cos(B C)；0；、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式一一 一4 一2、右 tan 3, tan -,则 tan（ ）等于（）3、若 二，则（1 tan ）（1 tan ）的值是. 44、（1 tanl ）（1 tan 2 ）（1 tan3 ）L （1 tan 44 ）（1 tan 45 ） .考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos cos 2-的值等于（）（提示：构造分子分母）55

3、6、cos200 cos400 cos600 cos80o（）337、已知3_ a 2，且cosA 3,那么sin2A等于（）25考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换218、已知 tan（ ） 一,tan（）一，则 tan（一）的值等于（）54441 1 -9、已知 sin sin -, cos cos 一，贝Ucos（）值等于（）2 310、函数 f（x） cos2（x 一） sin2（x 一） 1是（）1212（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为 的奇函数（D）周期为的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：asinx bcosxa2 b2 s

4、in x .其中cos . a ,sin , b （可以通过 JOb来判断最大最小值 ） .a2 b2,a2 b2如：1.若方程sin x T3cosx c有实数解，则c的取值范围是2. y 2cosx 3sin x 2的最大值与最小值之和为 .r H2i7-右 tan（一） 一，则 tan45（二）三角函数式的化简与求值小cos150 sin15000、例 1 1.00 ;2.sin50 （1 V3tan10 ）；cos150 sin1503.求 tan70o tan50o J3tan70° tan50o值；4公ABC 不是直角三角形，求证：tanA tanB tanC tan A

5、?tanB ?tanC（三）三角函数给值求值问题1 .已知 cos( a 6) + sin a= 573,则 sin( ，的值是2.已知cos(54.）产5,均为锐角，sin 的值。03.3,cos 一443 .3,sin -545_13 ,求 sin的值.（四）三角函数给值求角问题1.若 sinA=,sinB= 110,且A,B均为钝角，求A+B的值.102.已知一，一），且 tan , tan2 22是方程x20的两个根,3.已知均为锐角，且tanA.-67t1 , tan 2TTC .一3tan1 皿 一，则 +85冗D. 4的值（）4.已知tan的值.综合问题（求周期，最值,对称轴，增

6、减区间等）1.(2010 北京)已知函数 f(x) 2cos 2x sin2x.（1）求f （）的值；（2）求f （x）的最大值和最小值. 32 .已知函数 f(x) 2sin( x)cos x .（3）求函数在（求f （x）的最小正周期；（2）求f （x）在区间,一上的最大值和最小值;6 2的单调区间。三、解题方法分析1 .熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。1o - 3 ocos6 sin 6 , b222t

7、an13osin 50o二:c :1 tan213 2cos 25则有（本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式例如:=1sin 2 , cos = sin2- , cos2 sin2 cos 2 22sin,ga? tan2 1-tan21 2 sin cos (sin、22cos ),1 cos2 2cos2,1 cos22 sin21 cos2cos 22sin1 cos2t tan a + tan B =tan( a + p )(1- tana tan B )等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为bva2 b2 sin(x )即

8、asinx+bcosx= va2 b2 sin(x )(其中 tan )是常用转化手段。 a特别是与特殊角有关的sin ±cosx, ± sinx ±V3cosx,要熟练掌握其变形结论。2 .明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口(1)运用转化与化归思想，实现三角包等变换'【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想, 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2.已知< B < a < 三，cos ( a B ) =12 , sin ( a + B

9、 )=-,求 sin2 a 的 2413556652a=(a 3) + (" + §)(本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点, 例2解答:例 3.化简：2sin50° +sin100 (1+T3tan10° ) - Jsin280【解析】：原式=【点评】：本题属于“理解”层次 ，解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与 差的三角函数关系式整理化简.化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数 尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。(2)运用函数方程思想，实现三角包等变换【方

10、法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4： 已知 sin ( a + B ) =2 , sin ( a 0 ) =3 , 求 色n(2-)-tantan 的值.34tan tan( )【解析】tan( ) tan tan _tan( ) tan( )(1 tan tan ) _ tan _2； zx； 2； zx-；17tan tan( )tan tan( )tan【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到

11、求值的目的。(3)运用换元思想，实现三角包等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。2例5:右sin sin ，求cos cos的取值沱围。 21【斛析】：令 cos cos t ,则(sin sin ) (cos cos ) t -,【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子cos cos 看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围。3.关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、

12、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。r例6:已知：向量a(石 1) , b(sin 2x, cos2x),函数 f (x)(1)若 f(x) 0且 0 xr r(2)求函数f(x)取得最大值时，向量a与b的夹角.r r【解析】：: f (x) a b二, 3sin 2x cos2x7(2)2sin(2 x当 f (x)2时,由 a b |a|b| cosr ra, b/日 r r行 cos a, br ra b-r j|a| |b|1, Q0 a,ba,b 0【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识 的

13、分析和计算能力.四、课堂练习1. sin165o = () A2.sin140cos16o+sin760cos74o 的值是(3 .已知 x ( ,0) , cosx24 .化简 2sin ( ：-x) -sin,则 tan2x(产),其结果是724247247A. sin2xB . cos2x一cos2xD . 一 sin2x5. sin "v'3 cos 的是A. 0 B2 sin512/ x 2 rLtan756. 1 tan 75的值为 (2.37.若 cos-2sin 2则角的终边一定落在直线)上。A. 7x 24y7x24y 024x 7y 08. coscoss

14、insin9.1 tan151 tan15一o10 . tan20o tan40o 褥tan 20 tan40o 的值是 .11 .求证： cos 1sin2 .12.已知 tan2-,求 tan 的值.4cot tan32213. 已知 0 x ,sin( x)勺-,求cos2x的值4413c叫 x)75sin A 4 cos A14 .右 A 0,，且 sin A cos A ,求的值1315sin A 7cosAC15 .在 ABC中，若 sin Asin B=cos2y ,则ABC!()A.等边三角形C不等边三角形B .等腰三角形D .直角三角形16.化简方!cos2cos 217.求证:1 tan1 tan1 2sin cos22cos sin a18. 已知 sin a = , sin ( a + p ) =- , a 与 B 均为锐角,求 cos .1351 tan2“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次).特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，cos21 cos2 , sin21 cos2这两个形式常用。223.辅助角公式：sin x cosx T2sin x ; J3sin x cosx 2sin