反常积分法课件

1、第四节第四节 反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分三、小结三、小结 思考题思考题 adxxf)( babdxxf)(lim一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim上述积分统称为无穷限的反常积分上述积分统称为无穷限的反常积分。例例1 1 计算反常积分计算反常积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarc

2、tanlim bbarctanlim .22 例例2 2 计算反常积分计算反常积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp1lnlnlim xx badxxf)(二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分(瑕积分瑕积分)( )( )f xaaf x若若 在在点点 的的任任一一邻邻域域内内无无界界， 则则 称称为为的的瑕瑕点点. .lim( )b

3、ttaf x dx badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(以上积分称为以上积分称为瑕积分瑕积分.例例4 4 计算反常积分计算反常积分解解).0(022 axadxa221lim,xaax axadx022022limttadxax 0lim arcsinttaxa lim arcsin0tata .2 证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq 101dxxq xxlnlim1ln0例例6 6 计算反常积分计算反常积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx21limlnttdxxx 21(ln )l

4、imlnttdxx 21lim ln(ln )ttx 1lim ln(ln2)ln(ln )tt . 故原反常积分发散故原反常积分发散.例例7 7 计算反常积分计算反常积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx2301lim(1)ttdxx 3 3132)1(xdx2331lim(1)ttdxx , 233 3032)1(xdx).21(33 无界函数的反常积分（无界函数的反常积分（瑕积分瑕积分）无穷限的反常积分无穷限的反常积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()

5、()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(三、小结三、小结思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(ln

6、kxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广义积分、广义积分 dxxx21=_=_；练练 习习 题题一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左边, ,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、发散；、发散； 5 5、322； 6 6、0 0； 7 7、!)1(nn . .三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11； 当当1 k时发散时发散. .四、四、 xxxxxdttfx