方程的历史发展及其科学价值

1、第三讲方程一、方程的历史发展及其科学价值方程发展简史公元前 1700 年时期古埃及数学著作兰德纸草书记载：一个量，加上它的71，等于 19，求这个量。另一部古埃及数学著作柏林纸草书6619上有一个题目是“将一个面积为100 的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的43” 。古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数” 。欧几里得几何原本中则有很多问题还要用到解二次方程。中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实

2、二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将zyx,的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源。希腊数学家丢番图算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。印度数学家阿耶波多在阿耶波多历数书中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元 628 年完成的婆罗摩笈多修正体系一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。花拉子米的代数学一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。13 世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。1247

3、 年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的 “天元术” （1248 年）和朱世杰使用的 “四元术” （1303年）能够求解一大类的高次联立方程。16 世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515 年，费罗用代数方法求解三次方程nmxx3。1535 年塔塔利亚宣布自己发现了形如nmxx23的三次方程代数解法。 1545 年，卡尔丹在大衍术中给出了三次方程和四次方程的解法。三次方程)0,(3qpqpxx的解法，实质是考虑恒等式333)(3babaabba，若选取ba,，使得qbapab33,3，不难解出332332322,322pqqbpqqa，于是得到ba就是所求

4、的x，后人称之为卡尔丹公式。人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。方程在中学数学中的地位和作用高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。方程的科学价值自学教材中学代数研究p6263。二、方程的定义方程的几种定义目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。但是，形如12

5、1, 1cossin2222xxxxx之类的等式难以界定。给出一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。在高等数学中方程的定义：形如nnxxxgxxxf,2121的等式叫做方程，其中nnxxxgxxxf,2121是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。方程的分类无理方程分式方程高次方程二次方程一次方程整式方程有理方程代数方程反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程方

6、程三、一元方程的同解性定义 1 如果方程xgxf11的任何一个解都是方程xgxf22的解，并且方程的任何一个解也都是方程的解，那么方程和称为同解方程 。两个无解方程认为是同解方程。定理 1 如果函数)(xa对于方程)()(xgxf的定义域m中的数都有意义，那么方程)()(xgxf与方程)()()()(xaxgxaxf同解。证设mx1， 且有)()(11xgxf， 从而有)()()()(1111xaxgxaxf， 即方程)()(xgxf的每一个解都是方程)()()()(xaxgxaxf的解。如果)()()()(1111xaxgxaxf，由)()()()()()(111111xaxaxgxaxax

7、f，可得)()(11xgxf，即方程)()()()(xaxgxaxf的每一个解也都是方程)()(xgxf的解这两个方程是同解方程。定理 2 如果函数)(xa对于方程)()(xgxf的定义域m中的数都有意义，并且不等于零，那么方程)()(xgxf与方程)()()()(xgxaxfxa同解。定理 3 如果)()()(21xfxfxfxfk，那么方程0 xf的解集等于下列各个方程：0)(,0)(,0)(21xfxfxfk的解集的并集，其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集。定理 4 如果)()(),()(2121xgxgxfxf，方程)()(11xgxf与方程)()(22xgxf的定义域都是数集

8、m，那么方程与方程同解。四、几种常见方程的变形在解方程时，除了利用同解变形外，有时还要作以下几种变形：方程)()(xgxfnn是方程)()(xgxf的结果； 正整数n是对函数)(),(xgxf施行乘方运算的指数。 可能产生增根，如445312xx方程)()(xgxf是方程nnxgxf)()(的结果，不小于2的整数n是对函数)(),(xgxf施行开方运算的根指数（n为偶数时，0)(,0)(xgxf）如果)(),(21xgxg不等于 0，那么方程)()()()(2211xgxfxgxf是方程)()()()(2211xfxgxfxg的结果。如果对于定义域中的数)()(11xgxf，且)()(22xg

9、xf，那么方程)()()()()()()()(22221111xgxfxgxfxgxfxgxf是方程)()()()(2211xgxfxgxf的结果。方程xgxf是方程xgxflglg的结果。方程xgxf是方程xgxfsinsin的结果。五、解方程的常用方法换元法例 1 解方程6)1)(43(762xxx解令yx273，则)21(311,2143,276yxyxyx。原方程变形为18)21)(21(22yyy即018424yy解之得21,4922yy。所以得到如下四个解iyiyyy2,2,23,234321换回原来变量得到原方程的解ixixxx3267,3267,35,324321对于形如0,2

10、2xaxf或0,22axxf或0,22axxf的方程，可以引入三角代换使方程化为较简单的三角方程来求解。关键是使根号内的部分可以成为完全平方式，以便去掉根号。形如0)()(cxfbxfamnm的方程， 可令mxfy)(，将方程化为关于y的整式方程。形如0)()()()(2cxgxfbxgxfa或0)()()()(bxfxgcxgxfa的分式方程，可令)()(xgxfu，化为一个整式方程02cbuau。课堂练习 1 解方程01256895612234xxxx解将方程表示为08956) 1(12234xxxx因为0 x，将方程两端乘以21x，得089)1(56)1(1222xxxx设yxx1，则2

11、1222yxx，从而有08956)2(122yy由此得25y或613y。由251xx或6131xx解得32,23,21,2x引入参数法例 2 已知实数uzyx,满足xuuzzyyx，求uzyxuzyx的值。解法一令kxuuzzyyx，则.,kxukuzkzykyx所以)(uzyxkuzyx故0)1(kuzyx于是0uzyx或1k若0uzyx，则0uzyxuzyx若1k，则uzyx，所以2uzyxuzyx解法二令kxuuzzyyx，则xkukzkkyx432，所以14k，1k若1k，则224xxuzyxuzyx若1k，则020kuzyxuzyx二项方程和三项方程的解法形如0axn的方程叫做二项方

12、程，解此方程就是求a的n次方根。定理 如果)sin(cosirc，那么二项方程0cxn的根是1,2, 1 ,0),2sin2(cosnknkinkrn。例 3 解方程0325x解)sin(cos325ix所以)4,3, 2, 1 ,0)(52sin52(cos2kkikx形如02qpxxnn的方程叫做三项方程，特别当2n时，得方程024qpxx，称为双二次方程。例 4 解方程03436xx解设yx3，有0342yy解得3, 121yy，再分别解方程13x和33x，可得原方程的解为23635342321)231(3,2313,3,)231(,231, 1ixixxixixx因式分解法例 5 解方

13、程0323124xx解)176)(196()16()18() 11236()32436(32312222222244xxxxxxxxxxxx所以原方程同解与方程0)176)(196(22xxxx故方程的解为ixixixix223,223,103,1034321图像法例 6 确定方程222xx的实数解的个数。解1.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-1 .5-1-0.50.511.5g x = -x2+212f x = 2-xab由于原方程与方程222xx同解， 所以可设2,22xyyx，在同一坐标系内做出两个函数的图像，由图像不难看出：两个函数的图像有两个交点ba,，所以原

14、方程有两个实根。待定系数法例 7 解方程0144234xxxx解用待定系数法，令1yx，代入所给方程并化简得032524yyy设)(3252224mkyylkyyyyy，则041310246kkk0)49)(1(242kkk取,1k得3, 1 ml，因此方程可写成0)3)(1(22yyyy解得2131,251yy换回原来变量，得2133,2511xyx方程组的解法（自学教材8280p）第三讲家庭作业一解方程11)4(29)1(21xxxx解方程5462xx解方程4)43(log)2(log22xx解方程42logxxx解方程21lg1lg31lg2xxx解方程2cos2sinxx摘自初等代数研

15、究 （下册）331330p解方程062512256234xxxx摘自初等代数研究 （下册）343342p解方程83x解方程组560200444222zyxzyxzyx摘自初等代数研究 （下册）372371p六、一元三次、四次以及高次方程一元三次方程的解法设有一般三次方程)0(023adcxbxax，取abyx3，整理得到0)3272()3(2323dabcabycabay两端除以a得到03qpyy其中)3272(1),3(1232dabcabaqcabap。作变换vuy，代入方程，整理得到0)(3(33vupuvqvu要求03puv，则变为00333qvupuv解得，2742,27423233

16、23pqqvpqqu从而123123321123123321,2742,2742vvvvpqqvuuuupqqu其中231,2312ii例 8 解三次方程0162742742723xxx解作变换49134273yyabyx，代入方程，整理得到03qpyy，其中322971627134274271274272)3272(1,1613542713427)3(132322dabcabaqcabap再做变换zy43，并整理得到022153zz利用求根公式可以得到3233,3233,43321xxx一元四次方程的解法一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程

17、的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。自学教材85p。五次及五次以上代数方程求无根公式一般五次及五次以上方程不能用根式求解。自学教材8685p。代数基本定理定理（代数基本定理）任意一元n次方程有n个复数根。第三讲家庭作业二解三次方程011126223xxx摘自初等代数研究 （下册）338p七、不定方程与中国剩余定理定理 1 设二元一次不定方程为cbyax，其中cba,都是整数且ba,都不是 0，有一组整数解00,yyxx；又设,),(11dbbdaadba则cbyax的一切解可以表示成：,1010tayytbxx其中,2, 1,0

18、t。定理 2 二元一次不定方程cbyax有整数解的充分与必要条件是cba|),(。二元一次不定方程1),( ,1babyax的一个特殊解可以表示为：, 1, 0, 1) 1(,) 1(2110211101kkkkkkkknnnnqqqqqqppqpqpppyqx其中，nk, 3,2例 1求10047yx的一切整数解。解：先解147yx，此处1),( ,4,7baba. 0, 3, 1, 3, 3131, 1, 3, 4, 11343, 1,4,7, 3147332122111rqrrrqrbrqba因此147yx的一个解是.2)1(, 11)1()1(22212pyqx故原方程的一个特殊解是2

19、00,100 yx由定理 1，其一切解可以表成),2, 1,0(2007,1004ttytx例 2 求75321111yx的一切整数解。解：.1371072510737,75|3, 3)321,111(yxyx今先解的解完全相同。且原方程的解与故有解而4, 1, 4,4141,8,4,33, 184334, 1,33,37,41333733,2,37,107,33237107432332122111qrrrqrrrqrbrqba故137107yx的一个特殊解是26) 1(,9)1(33313pyqx.9,26110737yxyx的一解是故75321111yx的一切解可以表成),2, 1,0(3

20、7259,1072526ttytx课堂练习解下列不定方程6303603061002515yxyx把 100 分成两份，使一份可被7 整除，一份可被11 整除。定义 1（多元一次不定方程）可以写成下列形式的方程nxaxaxann2211（其中2,21nnaaan都是整数，,并且不失一般性）定理 3 多元一次不定方程nxaxaxann2211有整数解的充分必要条件是naaan| ),(21课堂练习判断下列多元一次不定方程是否有解：221153;50106523;10005249zyxzyxzyx定义 2（同余）给定一个正整数m,把它叫做模。如果用m 去除任意两个整数a 和 b 所得的余数相同，则称a，b