-维纳滤波与卡尔曼滤波--卡尔曼滤波

1、1现代数字信号处理现代数字信号处理Advanced Digital Signal Processing计算机学院通信工程系计算机学院通信工程系 王洪金王洪金2 作作 业：业： 2 1. 设观测信号设观测信号x(n)x(n)为一高斯为一高斯- -马尔柯夫信号马尔柯夫信号d(n)d(n)与其不与其不相关的白噪声相关的白噪声v(n)v(n)的线性叠加。的线性叠加。试设计非因果试设计非因果IIR平平滑滤波器从滑滤波器从x(n)中估计中估计d(n) 。已知。已知d(n)d(n)和和v(n)v(n)的自相的自相关函数分别为关函数分别为| |( )(0.9)kdr k ( )0.64 ( )vr kk 设观

2、测信号设观测信号x(n)x(n)为一高斯为一高斯- -马尔柯夫信号马尔柯夫信号d(n)d(n)与其不与其不相关的白噪声相关的白噪声v(n)v(n)的线性叠加。的线性叠加。试设计因果试设计因果IIR平滑平滑滤波器从滤波器从x(n)中估计中估计d(n) 。已知。已知d(n)d(n)和和v(n)v(n)的自相的自相关函数分别为关函数分别为| |( )(0.9)kdr k ( )0.64 ( )vr kk3 前 课 复 习 FIR维纳滤波器维纳滤波器11( ) ()0,1,2,.,1( )pxdxlkpw l r klrkIIR维纳滤波器维纳滤波器( ) ()( ),xdxlh l r klrkk 2

3、0( )1( )( )*(1/ *)dxPzH zQ zQz4 本 课 内 容 本课研究卡尔曼滤波不需要过本课研究卡尔曼滤波不需要过去全部的观测，去全部的观测，它是根据前一个估它是根据前一个估计值和最近一个观测值来估计信号计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，的当前值，它是用状态方程和递它是用状态方程和递推推方法进行估计的，因而卡尔曼滤波方法进行估计的，因而卡尔曼滤波对信号的平稳性和时不变性不做要对信号的平稳性和时不变性不做要求。求。 5 本 课 内 容 A(n-1)C(n)z-1K(n)H(n)A(n-1)z-1(1)nx( )nx( )ny( )nw( )nv(1|1)nnx( | )n

4、 nx更新( |1)n nx( |1)n ny误差相关信号预测数据预测信号模型观测模型离散卡尔曼滤波器问题描述问题描述:从噪声观测从噪声观测y(n)=x(n)+v(n)中估计信号中估计信号x(n)。6 第第六六章章 维纳滤波与卡尔曼滤波维纳滤波与卡尔曼滤波6.1 引言引言6.2 FIR维纳滤波器维纳滤波器 滤波问题滤波问题 线性预测问题线性预测问题 噪声抑制噪声抑制 FIR维纳滤波器的格型表示维纳滤波器的格型表示6.3 IIR维纳滤波维纳滤波 非因果非因果IIR维纳滤波维纳滤波 因果因果IIR维纳滤波器维纳滤波器 因果维纳滤波应用因果维纳滤波应用 因果维纳线性预测因果维纳线性预测 6.4 离散

5、卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器7 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器优点：优点：1、适用于非平稳环境；、适用于非平稳环境； 2、基于状态方程、基于状态方程 3、递归求解；、递归求解； 4、计算效率高；、计算效率高； 5、不需要存贮过去的数据。、不需要存贮过去的数据。( )( ) (1)(1)nnnnxAxw( )( ) ( )( )TnnnnyCxv8 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器 信号信号x(n)可以认为是由白噪声可以认为是由白噪声w(n)激励一个线性激励一个线性系统系统A(z)的响应，假设响应和激励的时域关系可以的响应，假设响应和激励的时域关系可以用下式表示：用下式表示：

6、上式也就是一阶上式也就是一阶AR模型。在卡尔曼滤波中信号模型。在卡尔曼滤波中信号x(n)被称为是状态变量，用矢量的形式表示为被称为是状态变量，用矢量的形式表示为x(n)，在在n时刻的状态用时刻的状态用 表示，在表示，在n1时刻的状态用时刻的状态用 表示。表示。 A(z)20( )x n( )w n( )(1)(1)x nax nw n一、状态方程一、状态方程( )nx(1)nx9 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器 上式表示的含义就是在上式表示的含义就是在n时刻的状态时刻的状态 可以由可以由它的前一个时刻的状态它的前一个时刻的状态 来求得，即认为来求得，即认为n1时刻以前的各状态都已记忆

7、在时刻以前的各状态都已记忆在 状态中状态中 了。了。 ( )( ) (1)(1)nnnnxAxw一、状态方程一、状态方程 激励信号也用矢量表示激励信号也用矢量表示 ，激励和激励和响应响应之间之间的关系用传递矩阵的关系用传递矩阵 来表来表示，它是由系统的示，它是由系统的结结构确定的，与构确定的，与 有一定关系。有了这些假设后有一定关系。有了这些假设后我们给出状态方程：我们给出状态方程： ( )nw( )nA( )A z( )nx(1)nx(1)nx10 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器 已知系统的输入输出模型的数学模型：已知系统的输入输出模型的数学模型：1( )( ) ()( )pkx

8、na k x nkw n系统的信号流图系统的信号流图(1)a(2)a(1)a p ( )a p( )w n( )nx n(1)nx n(2)nx n(1)nx np()nx np1(2)nxn1(1)nxn1(3)nxn1( )nxn1(1)nxn补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导11 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器(1)a(2)a(1)a p( )a p( )w n( )nx n(1)nx n(2)nx n(1)nx np()nx np补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 11111(1)( )(2)(1)(3)(2).(1)(2)()(1)nnnnnnnnnnx nxn

9、x nxnx nxnx npxnpx npxnp中间控制量间的一组关系中间控制量间的一组关系系统的输出系统的输出( )nx n( )w n(1)(1)nax n(2)(2)nax n.( )()na p x np( )w n1(1)( )naxn1(2)(1)naxn.1( )(1)na p xnp12 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 ( )nx n系统的输出系统的输出( )nx n( )w n1(1)( )naxn1(2)(1)naxn.1( )(1)na p xnp11( )( )(1)( )pnnkx na k xnkw n( )w n(

10、1)(2)( )aaa p111( )(1)(1)nnnxnxnxnp13 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 ( )nx n系统的输出系统的输出( )w n(1)(2)( )aaa p111( )(1)(1)nnnxnxnxnp11111(1)( )(2)(1)(3)(2).(1)(2)()(1)nnnnnnnnnnx nxnx nxnx nxnx npxnpx npxnp中间控制量间的一组关系中间控制量间的一组关系11( )( )(1)( )pnnkx na k xnkw n14 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导

11、、状态方程的推导 ( )nx n系统的输出系统的输出( )w n(1)(2)( )aaa p111( )(1)(1)nnnxnxnxnp1(1)( )nnx nxn中间控制量间的一组关系中间控制量间的一组关系10(1)nxn 1.0(1)nxnp 100111( )(1)(1)nnnxnxnxnp(1)nx n1(2)(1)nnx nxn10( ) 1nxn 1.0(1)nxnp 010(2)nx n15 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 ( )nx n系统的输出系统的输出( )w n(1)(2)( )aaa p111( )(1)(1)nnnxn

12、xnxnp1()(1)nnx npxnp.100(1)nx n(2)nx n010()nx np00111( )( )(1)( )pnnkx na k xnkw n16 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 系统的输出系统的输出(1)(2)(3)( )100001000001aaaa p1111( )(1)(2)(1)nnnnxnxnxnxnp( )(1)(2)()nnnnx nx nx nx np( )w n1000 1( )( )()( )pnnkx na k x nkw n11( )(1)( )pnka k xnkw n( )nx( 1 )nx

13、(1)nA( )nw17 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 ( )( )( )y nx nv n( )(1)( )100( )(1)x nx ny nv nx np18 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器补充补充、状态方程的推导、状态方程的推导 练习：写出如下系统的状态方程练习：写出如下系统的状态方程332( )0.080.192zH zzzz( )3 (1)2 (2)( )y ky ky kf k19 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器( )( )( )y nx nv n二、观测方程二、观测方程 卡尔曼滤波是根据系统的量测数据卡尔曼

14、滤波是根据系统的量测数据(即观测数据即观测数据)对系对系统的运动进行估计的，所以除了状态方程之外，还需统的运动进行估计的，所以除了状态方程之外，还需要量测方程。还是从维纳滤波的观测信号模型入手，要量测方程。还是从维纳滤波的观测信号模型入手，如下图，观测数据和信号的关系为：如下图，观测数据和信号的关系为： A(z)( )v n( )w n( )y n( )x n20 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器二、观测方程二、观测方程 则观测数据和状态矢量的关系为：则观测数据和状态矢量的关系为： ( )( )( )nnnyxv推广得到更普遍的多维量测方程推广得到更普遍的多维量测方程 称为观测矩阵，它

15、的引入原因是观称为观测矩阵，它的引入原因是观测矢量测矢量的维数不一定与状态矢量的维数相同，因为我们的维数不一定与状态矢量的维数相同，因为我们不一定能观测到所有需要的状态参数不一定能观测到所有需要的状态参数 .( )( ) ( )( )TnnnnyCxv( )nC( )nC( )nv1p矢量( )nx( )ny1p矢量1p矢量1p矢量21 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器三、信号模型三、信号模型 状态方程：状态方程：( )( ) (1)(1)nnnnxAxw观测方程：观测方程：( )( ) ( )( )TnnnnyCxv卡尔曼滤波的信号模型卡尔曼滤波的信号模型( ) nx( ) nC(1

16、)nA1z( ) nv( ) nw( ) ny(1)nx22 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器三、信号模型三、信号模型 例例1，设卡尔曼滤波中观测方程为，设卡尔曼滤波中观测方程为，已知信号的自相关函数的，已知信号的自相关函数的z变换为噪声的自变换为噪声的自相关函数为：相关函数为：10.36( ),0.81.25(1 0.8)(1 0.8 )xR zzzz( )( ) ( )( )TnnnnyCxv信号和噪声统计独立。求卡尔曼滤波信号和噪声统计独立。求卡尔曼滤波信号模型信号模型中的中的 和和 。( )nC( )nA23 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器三、信号模型三、信号模型 解

17、：解： 根据等式根据等式变换到时域变换到时域21010.36( )( ) (),0.81.25(1 0.8)(1 0.8 )xR zA z A zzzz可以求得：可以求得：10.6( ),0.81 0.8A zzz( )( )X zW z(1)0.8 ( )0.6 ( )x nx nw n所以所以( )0.8A n 因为因为( )1C n ( )( )( )y nx nv n所以所以24 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器四、四、一步递推法模型一步递推法模型 状态方程：状态方程：( )( ) (1)(1)nnnnxAxw观测方程：观测方程：( )( ) ( )( )TnnnnyCxv假设

18、信号的上一个估计值假设信号的上一个估计值 已知，已知，(1)nx推导当前时刻推导当前时刻的估计值的估计值( )nx(1)( ) (2)(2)nnnnxAxw(1)( ) (1)( )TnnnnyCxv25 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器四、四、一步递推法模型一步递推法模型 约定：约定： 表示给定表示给定i=1,2,n的观测的观测y(i)而而在时刻在时刻n获得的获得的x(n)的最佳线性估计。的最佳线性估计。( | )( )n nnxx 表示给定表示给定i=1,2,n-1的观测的观测y(i)时时x(n)的最佳线性估计。的最佳线性估计。( |1)n nx 表示相应的状态估计误差表示相应的状

19、态估计误差( | )( |1)n nn n和ee 表示相应误差协方差矩阵表示相应误差协方差矩阵( | )( |1)n nn n和PP( )( | )( )( | )( |1)( )( |1)nn nnn nn nnn n=-=-eexxexx( )( | ) ( | )( | ) ( )( )( |1) ( |1)( |1)HHHnn nEn nn nEnnn nEn nn nPPeeeePee26 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器四、四、一步递推法模型一步递推法模型 第一步，预测第一步，预测二步求得估计值二步求得估计值( | )n nx状态方程：状态方程：( | )(1) (1|1)

20、( )n nnnnnxAxw忽略噪声：忽略噪声：( |1)( ) (1|1)n nnnnxAx-预测误差：预测误差：( |1)( )( |1)n nnn nxxe(1) (1)( )nnnAxw(1) (1|1)nnnAx(1)(1)(1|1)( )nnnnnAxxw-相应的预测误差方差矩阵相应的预测误差方差矩阵( |1) ( )( |1) ( )( |1) Tn nEnn nnn nPxxxx-27 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器四、四、一步递推法模型一步递推法模型 第二步，修正第二步，修正二步求得估计值二步求得估计值( | )n nx观测方程：观测方程：( )( ) ( )( )

21、TnnnnyCxv用上述的预测值估计观测值，并忽略噪声：用上述的预测值估计观测值，并忽略噪声：( )( ) ( ) (1|1)TnnnnnyCAx观测值与估计值之间有误差：观测值与估计值之间有误差：( )( )( )ynnnEyy称为新息(innovation) 新息的产生是由于前面忽略了新息的产生是由于前面忽略了w(n) 和和v(n)。新息。新息中含有中含有w(n) 和和v(n)的信息成分。的信息成分。28 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器四、四、一步递推法模型一步递推法模型 二步求得估计值二步求得估计值( | )n nx 用新息乘以一个增益矩阵用新息乘以一个增益矩阵 代替代替w(n

22、)对数对数据进行估计，据进行估计，( )nK( |1)( ) (1|1)n nnnnxAx一步递推法模型一步递推法模型( ) (1|1)( ) ( )( ) ( ) (1|1)TnnnnnnnnnAxKyCAxK(n)Z-1A(n)C(n)T-( | )n nx(1|1)nnx( |1)n nx( )ny( )ny( )ynE( )( )ynnKE( | )n nx最佳估计为最佳估计为29 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器四、四、一步递推法模型一步递推法模型 二步求得估计值二步求得估计值( | )n nx对于最佳估计有：对于最佳估计有：( )( ) ( ) ( |1)nnnn nPIK

23、PC2( |1)( )( )( ) (1)( )TTvn nnnnnnPKPCCC-( | )( |1)( ) ( )( )n nn nnnnxxKyy-30 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 状态方程：状态方程：( )( ) (1)( )nnnnxAxw观测方程：观测方程：( )( ) ( )( )TnnnnyCxv( ) ( )( )wHnknEnkknQww0( ) ( )( )vHnknEnkknQvv0( )( ) (1)( )( )( ) ( ) (1)TnnnnnnnnxAxKyCAxX(n)的最优估计是：的最优估计是：31 6

24、.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 1.1.初始值：假设给定了初始值：假设给定了x(0)x(0)的一个估计的一个估计 ，相应于，相应于这个估计的误差协方差矩阵这个估计的误差协方差矩阵 。(0)P(0)x(0) (0)Exx(0) (0)(0)HEPxx1220(1)| (1)| (1)|(1)| piiEtrEeeP2. 2. 滤波器的推导：先用滤波器的推导：先用x(0)x(0)预测预测x(1|0)x(1|0)。 当观测数据当观测数据y(1)y(1)到来时到来时( (加入新息后加入新息后) )，修正，修正x(1|0)x(1|0)为为x(1)x(1

25、)，使，使x(1)x(1)是是x(1)x(1)的最佳估计。采用使均方误差的最佳估计。采用使均方误差最小的估计方法，并得到误差协方差矩阵。最小的估计方法，并得到误差协方差矩阵。3. 假设给定了假设给定了(1)(1)nn和xP( )nx,求求32 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 预测预测n时刻值时刻值( |1)(1) )n nnnAxx( )( ) (1)( )nnnnxAxw状态方程状态方程( |1)( )( |1)n nnn n=-exx (1)0, ( |1)0EnEn n若则ee预测误差预测误差( ) (1)( )nnn Axw( )

26、(1)nnxA(1)()(1)(nnnnxAwx1()(nnnweA4. 预测预测n时刻信号值时刻信号值( |1) ( |1)( |1)( ) (1)( )( )HHwn nEn nn nnnnnPeeAPAQ33 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 预测预测n时刻值观测值时刻值观测值( )( ) ( )( )TnnnnxyCv观测方程观测方程4. 预测预测n时刻信号值时刻信号值( )( ) ( |1)TnnnnxyC( ) (1( )TnnnxAC5. 新的观测值到来时新的观测值到来时,修正预测值修正预测值,得到得到n时刻的估计。时刻的估计。

27、( )( ) ( |1)( ) ( )nnn nnnxKxKyn时刻信号估计值是预测值与观测值的线性组合。时刻信号估计值是预测值与观测值的线性组合。K(n)与与K(n)的求解通过，使误差为零，均方误差的求解通过，使误差为零，均方误差最小得到。最小得到。34 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 ( )( )( )nnnexx估计误差估计误差5. 修正：修正：( )( ) ( |1)( ) ( )nnn nnnxKxKy( )( )( )nnnxKK( )( |1)( )nn nnxev( )( )( ) ( |1)( ) ( )nnnn nnne

28、xKxKy ( )( |1)nn nxe( ) ( )( )TnnnCxv( )( )( )TnnnIKKC( )nK( )nK对上式的估计误差取统计平均，且令其为对上式的估计误差取统计平均，且令其为0，得，得0( )( )( )Tnnn 所以KIKC( )( )( )TnnnIKKC( )( )( ) ( |1)( ) ( )Tnnnn nnnxIKCxKy35 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 估计误差估计误差6. 求增益矩阵求增益矩阵( )( )( ) ( |1)( ) ( )Tnnnn nnnxIKCxKy( |1)( ) ( )(

29、) ( |1)Tn nnnnn nKyCxx( )( ) ( |1)( ) ( )nnn nnneKeKv( ) ( )( )HnEnnPee( )( )TnnIKC( |1)( )( )( ) ( )TnnnnnnIKCKev均方误差均方误差( |1)n nP( )( )THnnIKC( )( )( )HvnnnKQK求求K(n)，使，使P(n)最小。最小。2 ( / ) En ne36 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 6. 求增益矩阵求增益矩阵( )nP( )( )TnnIKC( |1)n nP( )( )THnnIKC( )( )(

30、)HvnnnKQK( )n2 ( | ) En ne0)()ddnnK()HdtrdKAAK()2HdtrdKAKKAK定义：定义：2( )( ) ( |1)Tnnn nIKCP0 ( )trnP( )HnC2( )( )vnn KQ( )n K( |1)( )Hn nnPC( ) ( |1)( )THnn nnCPC( )vnQ37 6.4 离散卡尔曼滤波器离散卡尔曼滤波器五、卡尔曼滤波器的推导五、卡尔曼滤波器的推导 7. 最小均方误差最小均方误差( )( ) ( |1)Tnnn nIKCP( )HnK2( )( )vnn KQ( )( )( ) ( |1)( )( )( )( )( )TT

31、HHvnnnn nnnnnnPIKCPIKCKQK( )( ) ( |1)Tnnn nIKCP0所以所以( )( )( ) ( |1)Tnnnn nPIKCP38 总结：离散卡尔曼滤波总结：离散卡尔曼滤波已知条件已知条件：状态方程状态方程 x(n)=A(n)x(n1)+w(n) 观测方程观测方程 y(n)=C(n)x(n)+v(n)初始化初始化： = =E x(0) , P(0|0)=Ex(0)xH(0)递归估计算法递归估计算法：对：对n=1,2, 计算计算 1. 2. 3. 4. 5. ( )( ) (1)( )nnnnxAxw( |1)( ) (1)( )( )Hwn nnnnnPAPAQ

32、( |1)( )( )( ) ( |1)( )( )HTHvn nnnnn nnnPCKCPCQ( )( |1)( ) ( )( ) ( |1 ) nn nnnnn nxCxyxK( )( ) ( ) ( |1)nnnn nPIKCP( ) ( |1)( ) ( |1)( )( )vTHvnn nnn nnnQPCPCQ(0)(0|0)xx39 第六章第六章 习题习题离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波 例例1：设：设x(n)是如下产生的是如下产生的AR(1)过程：过程： 其其中中w(n)是是零均值单位零均值单位方差方差白噪声。设白噪声。设y(n)是其含噪观是其含噪观测值，即测值，即y(n)=x(n)

33、+v(n)，其中，其中v(n)是与是与w(n)不相关的不相关的单位方差白噪声。现已知道由单位方差白噪声。现已知道由y(n)估计估计x(n)的因果维纳的因果维纳滤波器的形式为：滤波器的形式为：( )(1) (1) ( )(1) (1)x nax nK y nax n 试求使均方误差试求使均方误差 最小化的并用最小化的并用a(1)和和b(0)所表示的所表示的K值。值。 2| ( )( )| Ex nx n ( )(1)( )x nax nbw n40 第六章第六章 习题习题离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波解解: 这时的这时的A(n)=a, C(n)=1, ( )( )( )y nx nv n ( )(

34、0) (0)1bE w nxE xa2221211( )( )( )*(1/ *)(1)(1)1(1)(1)xxbbaP zP z H z Hzazazaazaz2| |2( )1kxbr kaa202(0) (0) (0)1bPE xxPa ，y(n)=x(n)+v(n)，v(n)是与是与w(n)是互不相关是互不相关的零均值单位的零均值单位方差方差白噪声。由白噪声。由y(n)估计估计x(n)的因果维纳滤波器的的因果维纳滤波器的形式为：形式为： ，均方误差，均方误差 最小的并用最小的并用a(1)和和b(0)所表示的所表示的K值。值。 ( )(1) (1) ( )(1) (1)x nax nK

35、y nax n2| ( )( )| Ex nx n状态估计方程为状态估计方程为:观测方程为观测方程为:初始值初始值:( )(1)( )x nax nbw n( )(1)( )x nax nbw n( )(1)( ) ()(1)nnnnnxyxKx41 第六章第六章 习题习题离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波解解: ，y(n)=x(n)+v(n)，v(n)是与是与w(n)是互不相关是互不相关的零均值单位的零均值单位方差方差白噪声。由白噪声。由y(n)估计估计x(n)的因果维纳滤波器的的因果维纳滤波器的形式为：形式为： ，均方误差，均方误差 最小的并用最小的并用a(1)和和b(0)所表示的所表示的K值。

36、值。 ( )(1) (1) ( )(1) (1)x nax nK y nax n2| ( )( )| Ex nx n( )(1)( )x nax nbw n22221( |1)(1)nn nanbabPPP( |1)( )( )( ) ( |1)( )( )HHvn nnnnn nnnPCKCPCQ( )( ) ( ) ( |1)nnnn nPIKCP222211221( )()1nnnabnababPPIPP2212211nnababPP2212211nnnababPPP假设假设 a=0.5, b=0.5,则则2020.25110.753bPa2211112211110.250.250.25

37、 (1)110.250.25 10.25 (5)5nnnnnnnnnababPPPPPPPPP42 第六章第六章 习题习题离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波解解: ，y(n)=x(n)+v(n)，v(n)是与是与w(n)是互不相关是互不相关的零均值单位的零均值单位方差方差白噪声。由白噪声。由y(n)估计估计x(n)的因果维纳滤波器的的因果维纳滤波器的形式为：形式为： ，均方误差，均方误差 最小的并用最小的并用a(1)和和b(0)所表示的所表示的K值。值。 ( )(1) (1) ( )(1) (1)x nax nK y nax n2| ( )( )| Ex nx n( )(1)( )x nax nbw

38、 n111131453P211540.23809512154P35126210.236365110521P4261136171100.2361126576725110P517189720.2360717377572P68914662333770.2360698919749875377P43 第六章第六章 习题习题离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波解解: ，y(n)=x(n)+v(n)，v(n)是与是与w(n)是互不相关是互不相关的零均值单位的零均值单位方差方差白噪声。由白噪声。由y(n)估计估计x(n)的因果维纳滤波器的的因果维纳滤波器的形式为：形式为： ，均方误差，均方误差 最小的并用最小的并用a

39、(1)和和b(0)所表示的所表示的K值。值。 ( )(1) (1) ( )(1) (1)x nax nK y nax n2| ( )( )| Ex nx n( )(1)( )x nax nbw n221221( / )1nnnabn nabPPPP当当n时时,1nnPP22222210PPnnbabaa 222222222(1)4122nbaa bbaaa P当当a=0.5, b=0.5,则则11.25520.2360.50.5Pn 44 第六章第六章 习题习题离散卡尔曼滤波离散卡尔曼滤波例例2：设卡尔曼滤波中量测方程为设卡尔曼滤波中量测方程为： y(n)=x(n)+v(n)，已知已知信号的自相关函数的信号的自相关函数的z变换为变换为噪声的自相关函数为噪声的自相关函数