第07章4节三重积分

1、1第七章 重积分7.3 三重积分三重积分 计算三重积分的方法也是将它化为累次积计算三重积分的方法也是将它化为累次积分分,即化为先定积分后二重积分或先二重积分后即化为先定积分后二重积分或先二重积分后定积分的形式定积分的形式,从而化为三次积分从而化为三次积分,这两种方法这两种方法称为称为”投影投影”法和法和”切片切片”法。法。7.3.1 三重积分的定义三重积分的定义 2定义定义7.3.1 设设f (x,y,z)是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的上的有界函数。将有界函数。将任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 v1, v2, vn, 其中其中 vi表示第表示第i个小闭区域，也表示它的体积。个小

2、闭区域，也表示它的体积。 在每个在每个 vi上任取一点上任取一点( i , i, i) ，作乘积，作乘积 f ( i , i, i) vi (i=1,2, ,n) ， 1(,)niiiiifv 并并作作和和。,( , , )f x y z 如如果果当当各各小小闭闭区区域域直直径径的的最最大大值值 趋趋于于零零时时这这个个和和的的极极限限总总存存在在 则则称称此此极极限限为为函函数数在在闭闭区区域域上上的的三三重重积积分分。01( , , )lim( ,)(1)niiiiif x y z dvfv 301( , , )lim( ,)(1)niiiiif x y z dvfv 其中其中dv叫做体积

3、元素。叫做体积元素。 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分平面来划分 ，那末除了包含那末除了包含 的边界点的一的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域些不规则小闭区域外，得到的小闭区域 vi为为长方体。长方体。 设长方体小闭区域设长方体小闭区域 vi的边长为的边长为 xj, yk, zl，则则 vi= xj yk zl。 在直角坐标系下的体积元素：在直角坐标系下的体积元素：dv=dxdydz( , , )( , , )f x y z dvf x y z dxdydz 47.3.2 直角坐标系下的三重积分的计算法直角坐标系下的三重积分的计算法基

4、本方法：化三重积分为三次单积分基本方法：化三重积分为三次单积分 dv=dxdydz1、 为母线平行于为母线平行于z 轴的轴的柱体时柱体时 假设平行于假设平行于z轴且穿过轴且穿过闭区域闭区域 内部的直线与闭内部的直线与闭区域区域 的边界曲面的边界曲面s相交相交不多于两点。不多于两点。 xyzo1z2z:1s),(1yxzz :2s),(2yxzz 一、投影法一、投影法5d1z2z),(yxxyzo),(:11yxzzs ),(:22yxzzs 先将先将x，y看作定值，将看作定值，将f (x,y,z)只看作只看作z的函数，在的函数，在区间区间z1(x,y), z2(x,y)上对上对z积积分。分。

5、),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxf然后计算然后计算f(x,y)在闭区域在闭区域d的二重积分的二重积分。 dyxzyxzdddzzyxfdyxf),(),(21),(),( 积分的结果是积分的结果是x,y的函数，的函数，记为记为f(x,y)，即，即6 若若 在在xoy平面上的平面上的投影区投影区域记为域记为dxy，则有，则有 ),(),(21),(),(yxzyxzddzzyxfdxdydvzyxfxy 投影区域投影区域dxy用不等式表示用不等式表示: 1(x) y 2(x)，a x b2211( , )( )( , )( )( , , )( , , )x ybxzx y

6、axzf x y zdxdyf x y z dz 则将二重积分化为二次积分，则将二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式：于是得到三重积分的计算公式：d1z2z),(yxxyzo),(:11yxzzs ),(:22yxzzs ab)(1xyy )(2xyy )(2xy )(1xy oabxyxyd7 公式公式(2)把三重积分化为先对把三重积分化为先对z、次对、次对y、最、最后对后对x的三次积分。的三次积分。 上式的数学方法概括为：上式的数学方法概括为：“先单后重法先单后重法”，或，或 “投影法投影法” ),(),(21),(),(yxzyxzddzzyxfdxdydvzyxfxy 22

7、11( , )( )( , )( )( , , )( , , )x ybxzx yaxzf x y zdxdyf x y z dz2211( , )( )( , )( )( , , )( , , )x ybxzx yaxzf x y zdxdyf x y z dz821xyo1解解xyzc (0,0,1)oa (1,0,0)0 ,21, 0(bx+2y=1,121xdxdydzxyz 计计算算三三重重积积分分其其中中为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面所所例例围围成成的的闭闭区区域域。dxyxdxdydz xydyxddzx )(210 yxxdzxdydx21021010 21010)21(

8、xdyyxxdx 1032)2(dxxxx。481 92、 为母线平行为母线平行y轴或轴或 x 轴的柱体时轴的柱体时zxdxzxzyyxzy ),(),(),(:)1(21 ),(),(21),(),(xzyxzyddyzyxfdzdxdvzyxfzx yzdzyzyxxzyx ),(),(),(:)2(21 ),(),(21),(),(zyxzyxddxzyxfdydzdvzyxfyz 10222(1):,0,;xzryyh 22(2):1,0 xyzx 。( , , ),2f x y z dv 将将下下列列三三重重积积分分化化为为三三次次积积分分形形式式 其其中中例例为为(1)zox 及及

9、在在面面上上的的解解投投影影如如下下图图zxorxyzohrzxd11 dvzyxf),(zxor hzrzrrrdyzyxfdxdz0),(2222zxd zxdhddyzyxf ),(0 xyzohr1222(2):1,0 xyzxyoz 及及在在面面上上的的投投影影如如下下图图xyzo dvzyxf),(。 2222101111),(zyyydxzyxfdzdyzyo1yzd2210( , , )yzyzdf x y z dx dydz 133 计计算算下下列列例例三三重重积积分分(1)(),1,xyz dvxyz 其其中中是是由由曲曲面面和和三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的区区域域

10、。222(2),(0)x yzdvzxyzhh 其其中中是是由由曲曲面面与与所所围围成成的的区区域域。222222222ln(1)(3),:11zxyzdvxyzxyz 其其中中。14 空空间间区区域域如如图图所所示示。,: 由由于于空空间间区区域域对对三三个个变变量量是是对对称称的的 并并且且被被积积函函数数也也是是对对称称的的。因因此此有有xyzc (0,0,1)oa (1,0,0)0 , 1 , 0(b(1)()xyz dv 解解 zdvydvxdv dvzyx)( xdv315xyzc (0,0,1)oa (1,0,0)0 , 1 , 0(b1xyo1x+y=1dxy xdxdydzx

11、dv yxxdzdyxdx101010 yxdxdzdxy10 xdyyxxdx1010)1( 102)1(dxxx,241 dvzyx)( xdv32413 81 16hyxzo解解( , , )f x y zy关关于于 是是奇奇函函数数 yzdvx2)2( yzdvx2222zxzxzxdx zdxdzydy 20zxdx zdxdz 。0 )0(:22 hhzyx zox 区区域域是是关关于于面面是是对对称称的的17yxzoxoy 解解区区域域关关于于面面对对称称 dvzyxzyxz1)1ln(222222 2222112222221)1ln(yxyxddzzyxzyxzdxdyxy。0

12、 dvzyxzyxz1)1ln()3(2222221:222 zyx z 被被积积函函数数是是关关于于 轴轴的的奇奇函函数数 xyddxdy018二、奇偶函数在对称区域上的积分性质二、奇偶函数在对称区域上的积分性质1,zox 、若若空空间间区区域域是是关关于于面面是是对对称称的的 则则1( , , )02( , , )f x y z dvfyf x y z dvfy 关关于于 是是奇奇函函数数关关于于 是是偶偶函函数数1其其中中是是的的右右半半部部分分192,yoz 、若若空空间间区区域域是是关关于于面面是是对对称称的的 则则1( , , )02( , , )f x y z dvfxf x y

13、 z dvfx 关关于于 是是奇奇函函数数关关于于 是是偶偶函函数数1其其中中是是的的前前半半部部分分3,xoy 、若若空空间间区区域域是是关关于于面面是是对对称称的的 则则1( , , )02( , , )f x y z dvfzf x y z dvfz 关关于于 是是奇奇函函数数关关于于 是是偶偶函函数数1其其中中是是的的上上半半部部分分20 三、切片法三、切片法又叫又叫“先重后单法先重后单法” 设区域设区域 夹在平面夹在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之间之间,),( ),(21czcdyxzyxz 1c2c zdccdxdyzyxfdzdvzyxf)3( ),(),(21

14、zyxo 用竖坐标为用竖坐标为z (c1 z c2)的平面截的平面截 所得截面为所得截面为dz或或d(z)，即，即zd21 zyxozd zdccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21 类类似似地地可可有有;),(),(21 xdaadydzzyxfdxdvzyxf 。 ydbbdzdxzyxfdydvzyxf),(),(21 特别当特别当f (x,y,z)只是只是 z 的函数：的函数：f (x,y,z)= (z), f (x,y,z)在在dz上对上对x、y的二重积的二重积分简单，分简单，dz简单（圆、椭圆、长方形等）简单（圆、椭圆、长方形等）上式的适用范围：上式的适用范围：22解解

15、,),( ,:zdyxczc 。2222221:czbyaxdz 2222222,14z dvyzxabc 计计算算三三重重积积分分其其中中是是由由椭椭球球面面所所围围成成的的空空间间例例闭闭区区域域。d0dzzxyzaboczd221cza yxo221czb 23 dxdydzz2 ccdzzczab222)1( 。3154abc zdccdxdydzz2 cczdzdz)(2 d0dzzxyzaboczd221cza yxo221czb dz是椭圆域，较简单是椭圆域，较简单 f (x,y,z)=z2只是只是 z 的函数的函数用用 “切片法切片法”较方便较方便1:222222 czbyax

16、 。2222221:czbyaxdz 24类类似似地地可可得得到到 dxdydzy2 dxdydzx2 xdaadydzdxx2222(1)aaxxbcdxa ;1543bca ydbbdzdxdyy2222(1)bbyyacdyb 。cab3154 dxdydzzyx)(222)(154222cbaabc d0dyzxoydzxyabocy。2222221:byczaxdy 1:222222 czbyax 25解解法法一一 zdv xydyxdzdz )(122 xydyxdz 12222 xyddyx )(1 2122 10220)1(21rdrrd 。4 1yxo122 y:xdxyxy

17、dxyzo1用用“先单后重法先单后重法”1:22 zyx 22:1zdvxyz 计计算算三三重重积积分分练练习习一一。26用先重后单法。用先重后单法。解解法法二二222zy:xdz zozdxyzo1zdz ,zxoyd 用用平平行行于于面面的的平平面面去去截截空空间间区区域域得得平平面面闭闭区区域域 zdv zdzddz 10 zddzdz 10 102)(dzzz 103dzz 1044z 。4 1:22 zyx 274222(sin):2iyxz dvxyzrz 练练计计算算习习二二。解解0sin4 xdvy dvzxyi)sin(4 zdvy4sinx关于关于x是奇函数是奇函数xyzo

18、rzzyx2:222 关于关于yoz平面对称，平面对称，28用先重后单法。用先重后单法。解解法法一一ozd2222:zrzyxdz rzzyx2:222 zdz xyzo zdv 2032)2(dzzrz zdrdxdyzdz2020( )rzz dz rzrz2043)432( 。434r 29解解法法二二用用“先单后重法先单后重法”xyd222:ryxdxy rzzyx2:222 oxyxyzo zdv xyddyxrr 222421 xydyxrryxrrdzdz )(222222 xydyxrryxrrdz 22222222。344r rdrrrrrd02220421 307.3.3

19、柱面坐标系下的三重积分的计算法柱面坐标系下的三重积分的计算法 设设m(x,y, )为空间内一点为空间内一点一、柱面坐标一、柱面坐标 并设点并设点m(x,y, )在在xoy面上的面上的投影投影p的极坐标为的极坐标为( 这样的三个数这样的三个数就叫就叫做点做点m的的。xyzor zxym(x,y,z) ),(zrm ( , ,0)p r 31 xyzor zxym(x,y,z) ),(zrm ( , ,0)p r 三组坐标面分别为三组坐标面分别为r 常数，即以常数，即以z 轴为轴的圆柱面；轴为轴的圆柱面； 常数，即过常数，即过z 轴的半平面；轴的半平面；z常数，即与常数，即与xoy面平行的平面；面

20、平行的平面；规定规定r、 、z的变化范围为：的变化范围为：32 zzryrx sincos点点m的直角坐标与柱面的直角坐标与柱面坐标的关系为：坐标的关系为：xyzor zxym(x,y,z) ),(zrm ( , ,0)p r 柱面坐标系中的体积柱面坐标系中的体积元素元素dzrdrddv drdzxyzod rd r33二、柱面坐标中三重积分的形式二、柱面坐标中三重积分的形式( , , )( cos , sin , )f x y z dvf rrz rdrd dz axxdzyxzdydx022111022)1(。 22210221010)()2(yxxdzyxdydx,1 将将下下列列各各累

21、累次次积积分分化化为为柱柱面面坐坐标标的的累累次次积积分分 并并例例计计算算求求其其值值。34221122010(1)xaxdxdyz xy dz 解解 dvyxz22 azrdzrdrd01022 26a adzdzdxdyyxxy022 xydxyo1yxzo1a35 22210221010)()2(yxxdzyxdydxxydxyo1 dvyx)(22 21021020rdzrrdrd 。15 o1xyz362计计算算下下列列例例三三重重积积分分22222(1),zdvzxyzaxy 计计算算其其中中由由和和所所围围。2222(2)(),42zyx dvyzxx 计计算算其其中中由由和和

22、所所围围。37(1)zdv 解解22222zxyzaxy 由由和和所所围围。2ayxo 202220)2(21adrrard zdv 222020rarazdzrdrd 。48a yzxo2axyd38(1)zdv 解解法法二二44444()()4424444aaaaa 1222022zzaaddazdzdzdzd22222022()aaazz dzzaz dz。48a zyxozdyzxo2a12zdvzdv1 2 39解法三解法三 zdv 202220)2(21ardrrad xyddxdyyxa)22(22221 22222yxayxdzdzdxdyxy。48a xyd2ayxoyzxo2a4022(2)()zyx dv 解解2242yzxx 由由和和所所围围yzdyzd22zyo xxrzry sincosxyz dvxyz)(22 22053)8584(2drrrrr dxxrrdrdr 422220202)( 31282 。3256 yzxo22441为为旋旋转转体体或或的的边边界